장음표시 사용
361쪽
gent commoventque partes ulteriores; dc partes quae urgemur De ΜΠ fluidae sunt, ideoque recedunt quaquaVersum in regiones ubi minus premuntur : recedent eaedem Versus medii partes omnes . quiescentes, tam laterales XL & NO, qu in anteriores P s,sεcuso.
eoque pacto motus omnis, qPam primum per seramen BC transiit, dilatari incipiet & inde tanquam a principio & centro, in partes omnes directe propagari. O. E. D.
Curba tandem eoineidant eiam axe AS , eris ultima raria curvatura eadem qua ordina rarum. Due novam ordinatam s p eurvis
362쪽
S P α s b : s p , unde s C: sc s b: pras C - s b: s c-s p b C: peras B: SP, coincidam iam ordinatae s b, s B, α lianeolae evanel centes b C , p c , erum sub ten. ae angulorum contactus bBC, 13 Pe, dc ordinatis S B, S r in infinitum diminutis , ut curvae tandem coincidam eum axe A S , subten ae illae perpendiculares evadent ad urvas , fietque B b a riualis P p. Sed in hae hypothesi , anga a contactus
sum ad invicem ut , lib. I, D V pr. , hoe est, ut b C ad p C. QuariS cu vaturae in B dc P, quae angulis contactus Pr portionales liant I 2I. lib. r. γ erunt1 ubten is b C , p e , ac proii:dE ex dem. ordinatis S B, S P proportionales. Q. E. D. et '. ranima. Vir aerelaratim qua punctum quodlibes P nervi reui uniformirer era si urgetur, dum per brevissimum spa-
ιιm os. ιilatur, es ut nervi evmatura in eodem loco. Nervus A C pondere G temius oscillanio pervenerit ad positionem curvae AP C, cum axe AC sere coincidentis , & quia linea recta C A pondera G tenditur ubique aequaliter, aequalis quoque erit teusio omnium partium curvae Α PC quamproxime. Sumatur put actum P , puncto P quamproximum , & ductis tangentibus P t, p t concurrentibus in t , compleatur parallelogrammam Pt p r, ducanturque ad curvam normales P Ο , p oco. urrentes in O , vires aequales quis
arcus evane:cens P p , qui sumi potest pro artu circuli radio PO ae: cripti iit. lib. I. --cctionibas tangentium t P. t p, hine indὸ trahitur , exponamur per tangentes illas aequales , dc singulae teLlvuntur in eluas alias vires, vis quidem tPin vires t a dc Z Ρ, & vis t p in vires t E , seu E r & Z p vires 2 P, Z p, aequales dccppositae nullum ino:um in arcu Pp pro- dueent, at viribus tae Sc aer, simul, seu vi tota i r , in directione i r, sivὸ P o urgebitur. Erit igitur vis motrix qua particula P p in dilectione i r urgetur , ad fili tensionem in P vel p per quam ge 'ratur vis illa ut i r ad t P. Sed ex iratura circuli ) angulus t P r, aequalis est angulo P O p, cum arcus P p sit uti iusque mentura, dc prcptera triangulum tisic Ie P Ο p , simile est triangulo ii cessi Pr. Qua id Pp ist ad PO ut tr adi P, hoc est , ut vis trotrix a particula P pin directic ne i r seu P o urgetur ad fit tensionem datam G, α ide. xis illa est ut
s o. Cum igitur vis aeceleratrix si in ratione vis motricis direct E dc materiae movendae inverse per des . lib. I. dc materia movenda sit hie ut Pp, ob aequalem ubique nervi crassitudinem, erit vis acceleratrix ut , id est , in rati ne inversa radii circuli curvam osculantis in P, ideόque in ratione curvaturae in P Iii. lib. I. Q. E. D.; o. PROPOSITIO. Si etarda mus, ea AC uniformitere erat a ct pondere Gnnsa, ita inse fatur dum res nar, ιιι ejurelingario maxιma ab axe motus A C su fere infensibιIis O ideo vis tersonu non mu- letin ter aticiam chordae longist inem in majorius Iuir ab axe distantiu o inclinalis radiorum cum Murae ad axem n gligi possis, ea erat natura eum a AEP C in quam chorda osculando i ctitur, in qμ-ir aseticula motus ejusdim chorda tu ductis pro tibilia ordinaris ad alem normalibus V R , PS Iis curva ra in uia cur turam in
363쪽
deuntia oscillationes suas omnes e utim tem-rre peragant ad instar penduli Ueluamis in cycloide. o. r. Sit curva A QP C chordae os, eillamis distantia maxima ab axe Α S punctis omnibus jam qui eicentibus , eaque sit hujus curvae natura ut curvatura in Q sit ad curvaturam in P , in rarione cillnaliae Q R ad dis Lin: iam P s. Ho' potito erit aceeleratio in Q ad acce crationem
in Ρ in eadem ratione Q R ad P S proram si perius is s.) ide6quo initio motus; alia simul percuria Qq, Pp, erunt in eadem ratione, dc divisim l patia percurrenda q R , p s , erunt in eadem ratione Q Rad PS ; undε etiam accelerationes ruriae in punctis q& p, erunt in eadem ratione Q Rad P S et sy, as 8. atque erunt ad accelera
tiones priores in Q dc Ρ, ut distantiaeq R dc p S ad dis ianitas Q R dc PS 199a 291. . Eringb puncti euiusvis P , vel in eadem curva A Q P C vel in diversis Α QP Coc Αqpc,
spectati acceleratio semper est ut ejuidem distantia ae axe incius A C. Quar ἡ perprop. I. lib. I. puncta omnia nervi adaxtim simul perveniunt, simul redeunt &otaliationes singulas peragunt dato tempore ad instar corporis in cycloide oscillantis. Q. E. D. . Cas. 2. Si chorda plectro modo percussa nondum induerit formam curvae in primo caIu descriptae, erit curvatura in Pad curvaturam in Q in maiori vel min
ri ratione qu1m distantiae 1' S ad dii lai tiam QR. Sit in majori ratione, & erit velocitas in P, ad velocitatem in Q, iuratione majore quam PS ad Q R , s 199 di spatium P p tempore minimo descriptum ad ij atium Q q, eodem tempore descriptum in ratione majore quam P S ad Q K, ideriue divisim erit p s minor re
quia curvatura cum distantiis ab axe minuitur ae coincidente curva cum axe nulla evadit, erit etiam curvatura in p , minor respectu curvaturae in P, quam curvatura in q , reii cctu curv. turae in Q , Ninde ass) acceleratio in p, mitior respectu accelerationis in P, quam acceleratio in ' , rei pectu acceli rationis in Q. Majoris igitur velocitatis acculerdupae
semper decrescente δc minoris uel Italis acceleratione d contra lcmper crei centa , respectu dillantiarum ab axe AC, tvotus inter se tandem ita temperabuntur , ut pun ctis Ρ & Q pervenientibus in loca quaedam m & n , tum velocitates, tum accelerationes suturae sint distatii iis m S, n RProl ortionales , idei que curva A n m C , iam existente eadem quam descripitinus in cal. i' , motus dehinc omnes coni pl-rabunt, atquὰ idem eveniet, si sit curvatura in P ad curvaturam in Q in minore ratione quam distantiae P S ad distantiam Q R. Quarc quocumque modo percutiatur chorda mulio , quam citissimὰ induet serniam curvae in calia primo descriptae , atque perget moveri more ibidem descripto. Q. E. D. Caeterlim inflexiones seu distantias admodum parvas ab axe motus tam in chordis musicis quam in laminis elasticis ex quibus corpora lonora compacta es e singi potest, viribus acceleratricibus plosor tionales & proindὸ oscillationes esse ii chronas experimentis ostendit Clar. ι' Gra--Defandim in Elem. phys. N Mersenniuin harmonia iniiversali longiorum chorda rum vibrationes ilia hronas oculis obse vavit. Si verδ chorda nimia vi pulsetur, vis acceleratrix in experimentis res it in maiori ratione quam dist intiae ab axe motus 5c oscillationes breviori temtor ab iolvuntur
364쪽
3 I. Cor. I. Datis axibus AC & BD curva musica sie potest destribi. Centro D & radio D B describatur circuli quadrans B N E; dueatur ad B D , perpetrescularis Μ N eirculo occurrens in N, Scyrodudatur ad P, ut sit M P ad D C , an ratione arcus B N , ad arcum quadrantalem BN E, dico pummim P eslle incurva musica A B C. Sit enim P puta bim curvae musitae ABC,& dicantur B D a, A C L, DC BM α x, Ρ M αν, areus B P αι, PSm MD α κ -a-κ, radius curvaturae in Βαν:& si fluxio d ι siqe Ρ p eonstans lumatur aerit iis. lib. r. radius curvaturae in - - ds d E didὰ P, seu P o α' - α - - . Sed exa a I a ardem. γ B D est ad P S ut curvatura in B ad curvaturam in P, id est, ut radius curvaturae in P ad radium curvaturae in
ferd eoincidit cum axe A C per hyp. ae ides quantitas , b minima est respectu
altera ordinata m n priori Μ N proxima, 3c ex puncto N demittatur ad m n perpendiculum N t ; evanescente Μ m, erit ex natura circuli )NΜ:N DαNt: N n,
siuentibus . α BN κ - , cui aequationi
nihil addendum vel subducendum est , cum arcus B N , evanescente P M seu ν evanescat. Verum ubi P Μ coincidit cum
curvae puncto P , est' sui γ Mproindὸ νr , L BN: BNE, hoe este M est ad C D ut arcus B N ad quadrant tera BN E. Q. E. D.
365쪽
3 1. Cor. 1. Quia PS ad B D stuM a , ut radius r ad radium P Ο , erit POκ PS ar. Sit diameter circuli ad Circumseremiam ut i ad e & ideo a
a 3. P Ropos Tio. Sι diameter cloculi sit ad earcumfreni iam ut i , ad e, Oeharda musica un or ων erassae longitudo H L, pcndus P, pondus quo tenditur Gpenduli iis ot He osei laniis Iovisu D, tempus quo chorda illa oscillationem nam perfitu , reiι as tempus unius Ucu- attondi ponduli in ratione subduplicata P Lade DG, numerus vero ψciliationum chordae tempore unius Hilarianu penduli eru
Nam vis qua particula Pp in loco Ρ, existens urgetur dicatur ejusdem pondus B & s per dem. 199 erit A ad G , ut P p ad P O , oc ob uniformem chordae Gai situdinem est P ad B , ut L ad P p , dc his rationibus eonjut iis, P κ. A ad Bκ Gut L , ad P O ; undit fit A ad B ut G κ Lad Ρ Ο κ P. Iam si particula P p vi matrice
eeu pondere A sollicitata oscillaretur in cloide cuius perimeter tota aequaret duplam distantiam PS, tempus unius vibrationis in cycloide aequale esset tempori vibrationis unius chordae musicae seu particulae P p; quia vis paniculae Pp, in cycloide ostillamis semper decrescit in ratione distantiae ejus a punisto infimo seu medio cycloidis, qnemadmodum vis illa decrescit an ratione distantiae a putino S cum particula P p vibriationes suas agit in reis a PS, & vis motrix particulae in puncto cycloidis alti Tino aequalis est vi motri i A, per cor prv. I. ιd. r. . Si vero pamti, uta P μ pondere tuo absoluto B oscill tur in eycloide cujus perimeter tota sita D, erit huius penduli longitudo D c pereor. prop. O. lib. & tempus unius vi-hrationis chordae musicae erit ad tempus uis
posita ex Iubduplicata ratione Icngitudinis DE M F S ad longitud: nem D, & subduplicata Co ratic ne pondcris B ad vim A ec . F. Irop. 24. lib. M , id est , in ratione sit du- - 'plicata quantitatis P ο κ P .s κ P , ad quam litatem GLD, atque ideo ob P ο κ ΡS α SECUN D. LL ' MCr. VIII. ior. in ratione subduplicata P L ad P a oce GD. Q. D. E.
Quia verb numerus vibrationum is tiro- XXXIII. narum quas chorda vel pendulum tempore quovis dato peragunt suia inversὰ ut oscillationum tempora , erit numerus vi brationum quas chorda musica tempore unius Olcillationis penduli praedicti peragit ad unitatem ut tempus unius oscillationis penduli ad tempus unius vibrationis chordae, ideoque in rati ene subduplicatae e GD, ad P L, α proinde numerus via brationum quas chorda musica peragit eo tempore quo pendulum cujus longitu-
G Ddo est D semel oscillatur est e PLQ. E. D.ῖΟ4. Cor. I. si Iongitudo chordae Edigi iis pedis Parisiensis exprimatur, numerus vibrationum quas chorda tempore minuti unius lecundi peragit, erit Isbos a
las oscillationes tempore minuti unius se
eundi abibluit i. Ii. i. & praeterea ut iit ad 33s i ita diameter I ad circuisti circumferentiam e, quae proinde erit Quarὸ si lois D & e scribantur ipsorum
ros. Cor. 1. si tonserantur varἰarum chordarum oscillationes , quia quantitates
numeri vibrationum dato tempore peram Grum erunt ut , & ideb tempora quabus
366쪽
datum si re pondus P sit ut chordae longitudo L , tempora qu bus singulae vibrationes fiunt, erunt ut , L L , leu ut chordarum longitudines , Quod experimentis confirmavit Clariis r Grawsanti in Elem. Physices. Sehocion. Quae de chordis vibrantibus hue usque diximus, ea serὸ omnia, nonnullis tamen immutat s , mutuati sumus ex iractata de methodo incrememorum Clarissi TayIον. Formulas nostris similes de-dεre Celeberrimi Viri , Smυων in Μ nu- metitia Acad. Paris. an. III 3. x Danies B νηοulli tum in Actis Petropni. tum in Dissert itione de Propagatione Lucis, ab Academia regia Paris. praemio condecorata an. 17 s.;o7. PROPOSITIO. Si mimeri vibrationum quar chorda musca dato tempore
peragrant , fini inire se in numeri 14 , 27 ,ῆO, 32, 4O, AF , 68 , chordae illaetonos edent qui his notissmis vocibus tagnificantur , UT, RE, MI, FR, SOL,LA, SI, in , initio sumpto a tono graviori. Haec propositio experimentis demonstrata est , nam nervi musici homogenei, aeque crassi eodemque pondere tens , quorum longitudines sunt inversε ut numeri illi , tonos quos diximus edunt , &horum nervorum longitudines sent inver-ιὸ ut numeri vibrationum quas dato tempore abselvunt & directὸ ut singularum via
bratio.rum tempora ideoque ut ISO, is ,1 4 , 13s, 1 ιο, δοῖ, 9s, sto: φωλῖo8. Cor. Sonarum disterentia secun-dlim grais N actuum, , minori vel majori numero vibrati num quas chordae musicaedato tempore peragunt, pendet, & eb graviores sunt soni qub tardiores sunt singulae chor larum vibrationes & eontrat . PROPOSirio. Corpora soriora iam genea O si mitia quartim lasera hain
edimi, UT, RE, MI, FA, SOL,LA, SI, in. Hanc propossionem probam experiis menta quae in campanis , cylindris & ptis,matibus honiogeneis de similibus habu runt Merientius in harmonia univer: Mi x,
motus ex ictu O vi castea creas us, remo iis obsaculis, per sipersiciem corporis pra pagatur: quod quidem leviora citariae sta-itula sit perficiei corporis rei antis impinsita, tremore siro indicant. Ir. ΡRo Post Tio. Canva ann a δει elava ita mutari oeulis remitur ut cum rotunda esses, fit συara andiu audis ιιιν sontu, alternis mimarur scillarioribus. I A. Cor. Eri tribas ultimis propositionibus concludere licet , ut in Aordis ita dc in aliis corporibus resonantibus , tonos pendere a numero vibrationum seu me utionum quae dato tempore peraseatur.
367쪽
PROPOSITIO XLIII. THEOREM A XXXIV.
Corpus omne tremulum in medio. ela lico propagabit motum pul- LIBER suum undique in directum; in medio velo non elastico motum Shς'NP.
Cas. r. Nam partes corporis tremuli vicibus alternis do oc redeundo , itu suo urgebunt & propellent partes medii 'sibi proximas, & urgendo compriment casdem & condensae-bunt; dein reditu suo sinetit partes compressas recedere & Ω- se expandere. Igitur partes medii corpori tremulo proximae ibunt & redibunt per vices, ad instar partium corporis illius tremuli: & qua ratione partes corporis hujus agitabant irascemedii partes, hae similibus tremoribus agitatae agitabunt partes sibi proximas, eaeque similiter agitatae agitabunt ulteriores, &sic Geinceps in infinitum. Et quemadmodum medii partes pri. mae eundo condensantur oc redeundo relaxamur, sic partes reliquae quoties eunt condensabuntur, & quoties redeunt sese ex- Pandent. Et propterea non omnes ibunt ic simul redibunt sic enim determinatas ab invicem distantias servando, non rarefierent & condensarentur per vices sed acccdendo ad invicem ubi condensantur, oc recedendo ubi rarefiunt, aliquae earum ibunt dum aliae redeunt ; idque vicibus alternis in infinitum. Partes autem euntes ic eundo condensatae, ob motum
Rum progressivum, quo seriunt obstacula, sunt pulsus; dc propterea pulsus successivi a corpore omni tremulo in directum pro pagabuntur; idque aequalibus circiter ab invicem distantiis, s ob aequalia temporis intervalla, quibus Corpus tremoribus suis singulis singulos pulsus excitat. Et quanquam corporis tremuli partes eant & redeant secundum plagam aliquam certam & determinatam, tamen pulsus inde per medium propagati sese dilatabunt ad latent, per propositionem praecedentem S
368쪽
tem; & a Corpore illo tremulo tanquam centro communi,
secundum superficies propemodum sphaericas & ConCentri-Cas , undique propagabuntur. Cujus rei exemplum aliquod habemus in undis, quae si digito tremulo excitentur, non solum pergent hinc inde secundum plagam motus digiti, sed, in modum Circulorum concentricorum, digitum statim cingent &undique propagabuntur. Nam gravitas undarum supplet locum vis elasticae. Cas. 2. h Quod si medium non sit elasticum : quoniam ejus partes a corporis tremuli partibus Vibratis pressae condensari nequeunt, propagabitur motus in instanti ad panes ubi medium facillime cedit, hoc est, ad partes quas corpus tremulum alioqui vacuas a tergo relinqvcret. Idem est casus cum casu corporis in medio quocunque projecti. Μedium cedendo projectilibus, non recedit in infinitum; sed in Circulum eundo, pergit ad spatia quae corpus relinquit a tergo. Igitur quinties corpus tremulum pergit in partem quamcunque , medium Cedendo perget per circulum ad paries quas corpus relinquit; ει quoties corpus regreditur ad locum priorem, medium inde repelletur & ad locum suum priorem redibit. Et quam Vis Corpus tremulum non sit firmum, sed modis omnibus ste-xile, si tamen magnitudine datum maneat, quoniam tremor,bus suis nequit medium ubicis urgere, quin alibi eidem simul cedat; efficiet ut medium, recedendo a partibus ubi premitur, pergat semper in orbem ad partes quae eidem Cedunt. Corol. Hallucinantur igitur qui credunt agitationem partium flammae ad pressionem, per medium ambiens, secundum lineas rectas propagandum conducere. Debebit ejusmodi pressio non ab agitatione sola partium flammae, sed a totius dilatatione derivari.
369쪽
Si aqua in eanalis cruribus erectis K L, Μ N vie lus alterni, ascendat re deficendat; construatur autem pendulum cujus Sacr.viII. longitudo inter punctum Iuspensionis di centrum Ostillatiscisae uetue semissi longitudinis aquae in canali: dico quod aquai v. o..Heendet o descendet iisdem remporibus quibus pendulum ofelliatur. Longitudinem aquae mensuro secundum axes canalis & crurum, eandem summae horum axium aequando ; & resistentiam aquae, quae oritur ab attritu canalis, hic non considero. Designent igitur AB, CD mediocrem altitudinem aquae in crure utroque; & ubi aqua in crure ML ascendit ad altitudinem E R descenderit aqua in crure M N ad altitudinem G H. Sit autem P corpus pendulum, VP filum, V punctum suspensionis, R P cylois quam pendulum describat, P ejus punitium infimum, Psi arcus dii tudini AE aequalis. Vis,
qua motus aquae alteri us vicibus acceleratur & retardatur, est
370쪽
DE Mo excessus ponderis aquae in alterutro crure supra pondus in al-τVC0 telo, idcoque, ubi aqua in crure KL ascendit ad EF, & in yd: crure alte to descendit ad G H, vis illa est pondus dupli sedu9n. Catum aquae L ABF, & propterea est ad pondus aquae totiuss,em. III.ut seu ad VP seu PR. Vis etiam, qua pon-kLV P quovis s acceleratur & retardatur in cycloide Tu stox. per corol. Prop. LI. est ad ejus pondus totum, ut ejus di-
stantia a loco infimo P, ad cycloidis longitudinem P R. Quare aquae & penduli, aequalia spatia A E, P O describentium, vires motrices sunt ut pondera movenda; ideoque, si aqua dc pcndulum in principio quiescunt, vires illae movebunt eadem
ae Ualiter icmporibus aequalibus, emcientque ut motu reciproco simul eant redeant. O. E. D.
cis 3 i 3. Ide Uue svua dis redu- Iam die. Id evidentissimum fit si pondus
P quod, manente oscillationis unius tempore potest ad arbitrium assumi, capiaturae male ponderi aquae totius in catinii; tum enim vires motrices, in ta movendae, bc spatia describenda, ideoque S tempora qcibus spatia illa describuntur . in e