장음표시 사용
371쪽
Corol. I. Igitur aquae ascendentis & desceta dentis, si- DE V ve motus intensior sit sive remissior, vices omnes sunt iso 'TI
Corol. a. Si longitudo aquae totius in canali sit pedum Pa-s blbrisiensem 6ἰ. aqua tempore minuti unius secundi descendet , Sget.viii.& tempore minuti alterius secundi ascendet; & sic deinceps vicibus alternis in infinitum. Nam pendulum pedum 31-xLvi. longitudinis tempore minuti unius secundi oscillatur. THEOR. Corol. 3. Aucta autem Vel diminuta longitudine aquae, au- . Jκ. getur vel diminuitur tempus reciprocationis in longitudinis ratione subduplicata.
Undarum velocitas est in subduplicata ratisne latitudinum. , Consequitur ex constructione propositionis sequentis.
Constituatur pendulum cuius longuudo, inter punctum se pensionis & Centrum oscillationis, aequetur latitudini undarum & quo tempore pondulum illud oscillationes singulas peragit, eodem undae progrediendo latitudinem suam propemodum conficiunt.
Umnali & in eloide aequantur resipemuδ. Sed observandum est superficiem A B, esse Ioeum aequilibrii, ad quem eum aqua pervenit, nulla ampli ira vi acceleratrice umgetur , sed velocitate tantum acquisita es- aerias descendit vel ascendit, sicuti eorpus pendulum P dum pervenit in Ioeum cycloidis insimum P sola veloritate acquia
sita movetur. Unde quo tempore aqua descensum unum absolvit in erure alterutro eanalis, eodem tempore pendulum os-
ἀitauonem uium ex descensu Δ ascensu compositam perficit, duas vero oscillati nes absolvit intereadum aqua e loco Edescendii & ad eundem redit. m Nam pendulum ped. 3, , seu ped. 3. & Iin. s. quamproxini E I .
Clariis. Ηιτ--- tom. 3. Comm. Acad. Petrop. motum aquae in tubis crura quo
modolibet ad basim inclinata habentibus definivit. Rem generalisis pertractavit Celeb. D. Bernovimu in Hydrodynamica. Ius auctores, si lubet, adeat lector.
372쪽
Undarum latitudinem Voco mensuram transversam, quae vel
vallibus imis, vel summis culminibus interjacet. Designet BCDEF superficiem aquae stagnantis, undis successivis as.cendentem ac descendentem I sintque A, C, E, &c. undarum culmina, oc B, D, F, &C. Valles intermedii. Et quoniam motus undarum fit per aquae succeisvum ascensum lc des. censum, sic ut eius partes A, C, E, dcc. quae nunc abiissimae sunt , mox fiant infimae; oc vis motrix, qua partea aliisIimae descendunt oc infimae ascendunt, est pondus aquae elevatae; alternus ille ascensus oc descensus analogus erit motui reciproco aquae in canali, easdemque temporis leges observabit: oc propterea per prop. XLiv. si dist intiae inter undarum loca altissima A, C, E dc infima B, D, F, aequentur duplae penduli longitudini; partes altissimae A, C, Ε, tempore oscillationis unius evadent infimae, de tempore oscillationis alterius denuo ascendent. Igitur inter transitum undarum singularum tempus erit oscillationum duarum; hoc est, unda describet latitudinem suam, quo tempore pendulum illud bis oscillatur; sed eodem tempore pendulum, cuius longitudo quadrupla est, ideoque aequat unuarum latitudinem, oscillabitur semel. O. E. I.
mdιni. Quoniam, ex dictis, unda percurrit latitudinem suam A C vel B D i tereadum altitudo Α tratissertur in C, vel eavitas B in D, quod fieri non potest nisi aqua ab altitudine undarum descendat, bc deindὸ ad eandem altitudinem ascendat, Sc quia cavitas quae eli infra quae quiescentis su iiiciem quam in figura exhibet tinea punctis distincta, est cisteiter aequalis elevationi Mim supra eandem superficiem quae est aequilibrii locus, patet 3x 3 γ totius aquae movendae longiis tudinem aequalem esse Iongitudini eavit iis vel elevationis aquae inis, vel supra locum illum aequilibrii, ac proinde cum longitudo eavitatis vel elevationis illius aequalis sit distantiae AB, vel BC, pendulum cujus longitulo est A B vel; B C,
373쪽
. Coral. I. Igitur undae, quae pedes Pari enses τῖ latet tempore minuti unius secundi progoediendo latitudinem suam conficiunt ; ideoque tompore P minuti unius primi percurrent pedes 183ἰ, & horae spatio pedes rio oo quamproxime.
Colol. a. Et undarum maiorum Vel minorum velocitas augebitur vel diminuctur in subduplicata ratione latitudi-
Haec ita se habent ex livpothesi quod partes aquae recta ascendunt vel recta descendunt; sed ascensus & descensus ille r) verius fit per circulum, ideoque tempus hac propositione non nisi quamproxime definitum esse affirmo. PROP.
semel oscillabisur eo tempore quo aqua ascendit, δc iteratin oscillabituri intereadiunmtis deicendit 313. atque ii, oscilla-hmu bis quo tempore unda deleribit lati tudinem suam. Quoniam igitur numeri oscillationum quas pendula eodem tempore peragunt , iunt in ratione subduplicata longitudinis pendulorum inveraἡ 47 . lib. I. pendulum cujus longitudo est
Α Β C D, quadrupla longitudinis I A Bsemel ostillabitur quo tempore unda latitudinem suam percurrit. In undis verblatioribus quae altilis non eleetantur, linea curva ABC, vix differt , recta AC, quae est undae latitudo, & propterea in eo ca su unda latitudinem suam describit, intereadum pendulum cujus longitudo est recta AC, si mel oscillatur. Ο Tempore minuti sinitis seundi r. Iib. I. is p Tempore minuti unius pr mi. Quia undarum datae latitudinis velocitas aequabilis est ex dem. Si undae latitudo data ped. 3μ, ducatur in tempus fio , factum i83 γ red. erit spatium quod unda tempore mInuti un ux Irimi seu minu rum secundorum G, describit de ducto
rursus h numero Is 3, inses, produre tur spatium Irow laed. quod unda tem pore horae unius conseit.
q) Cis. a. Undarum velocitates sum ut earumdem latitudines directe Sctempora qaibiu latitudines illas percurrant inverse s. IV. t. Sed tempora illa sunt in subluplicata ratione lati: inum unda rum seu longitudinum pendulorum quae eo tempore quo undae latitudines suas deseribunt, semel oscillantur c47 . lib. I. . Undarum igitur velocitates sunt in rati ne eomposita ex ratione latitudinum dire- dc ratione subduplicata earumdem l titudinum invers/, ideoque lunt in ratio. ne lubduplicata latitudinum directὸ.
arcum curviliiteum qui maris aecedit ad figuram ar. iis circularis quam ad figuram
canalis rectilinei in quo aqua, rejia ascendit de descendit.
374쪽
PROΡ. XLVII. THEOR. XXXVII., Pulybus per fluidum propa aris, Detruis fluidi par-
ricula, motu reciproco breυissimo euntes ct redeuntes, accelerantur semper o retardantur pro
lege oscillantis penduli. Designent AB, BC, CD, pulsuum succestavorum aequales distantias; B C plagam motus pulsuum ab A versus B propa 'ti ; E, F, G puncta tria phγsica fὶ, medii quiescentis in recta ad aequales ab invicem distantias sita; E e, , Gg spatia aequalia perbreVia per quae Puncta illa motu reciproco singulis vibrationibus eunt & redeunt; a , φ, γ loca quaevis intermedia eorundem punctorum; &E F, FG lineolas physicas leu medii partes lineares punctis illis interjectas, dc successive translatas in loca a φ, φ γ & ef, H. Rectae E e aequalis ducatur recta P S. Bisecetur cadem in O , centroque O & intervallo O P describatur circulus SIPi. Ρet hujus
circumferentiam totam cum partibus suis exponatur tempuS to
tum vibrationis unius cum ipsius partibus pro por,
Medii qiii semiis, id est, nondum agitati vibrationibus
cor p. iis tremuli, aut indd productis aPris pulsibus. t 3 . Singulis vibraιionibιυ ιιιm ct redeum. Si cor ristremuli aut chordae musicae oscillantis panicula incipiat moveri in Ε, & eundo 1 ecum transierat medii punctum E , in locum e, di deinde particula illa chordae musicae vi propria bc punctum e , me dii inter e , & C compressi ac condensati dilatatione redeant in to cum Et unicus in medio elastico pulsus secundum directionem BC. producetur, Sc singulis aliis vibrationibus corporis tremuli vel clicidae musicae ex itu & reditu compostis, singuli excitabuntur sulsus v. 43. atquὸ adeo pullus latitudii em iliam describit ictu tradum punctum E , vibrationem unam ex ira bc reditu Perbrevissimura spatium E a compositam, ab olvit.
375쪽
portionalibus; sic ut completo tempore quovis P Η ves PI Sh, Mosi demittatur ad perpendiculum vel hi, oc capi 'tur U Ε . aequalis P L vel Pl, punctum physicum si repcriatur in ε. Hac lege punctum qu Vis si , eundo ab E per e ad e, Secu, D.
oc inde redeundo per a ad Ε, iisdem accelerationis ac retarda-SεCr.VIII.
tionis gradibus vibrationes singulas peraget μ cum o :llanto pendulo. Probandum cst quod singula medii puncta physica T v r o R. tali motu agitari debeant. Fingamul igitur medium tali motu causa quacunque Cieri, oc videamus quid inde sequatur. In circumferentia PHSh capiantur aequales arcus HI, I x vel h i, i k, eam habentes rationem ad circumserentiam totamquam habent aequales rectae E F, FG ad p il suum intcrvallum totum B C. Et demissis persaendiculis I AI, Ic A vel im, k n; luoniam puncta E, F, G motibus similibus succestive agitantur, ic vibrationes sua ' integras ex itu re reditu compossitas interca peragunt dum pulsus transfertur a B ad C; si P H PelPHSi sit tempus ab initio motus puncti E, )erit PI vel P HSi lcmpus ab initio motus puncti F, dc PK vel PHSktempua ab initio motus puncti G; dc propterea Eε, F p, G γerunt ipsis P L, P AI, P N in im punctorum vel ipsis Pl,
P m, P n in punctorum reditu, ν) aequales respective. Unde a γ seu E G G γ-E ε in i tu punctorum aequalis erit si G-LIU, in reditu autem aequalis EG in. Sed ιγ latitudo est seu
dilatationem communieatis surceisive agi tantur, pulsitu per aequalia spatia EF, F G&α aequcilibus tempori hns prop: gatur, ideZque CInpias quo tramicrtur ab L ad F, vel ab F ad G, est ad tem tuna quo translemara B ad C, & quo singilla puricta E , F, G vi irationes suas lineΠΜ eκitu ec rediis compositas perficiunt, ut fp
tium E F vel F G ad spatuim B C, in qua
ratione etiam est artus H I, vel I Κ, ad totam cir una serentiam PH S P, per hyp quae tempus totum quo pessiis , B ad Crim. I Liri insertur, exponit, & dissimentia inter te mi us stiniptuni ab initio moriis puncti EM tempuς silini tum ab initio metus suncti F, est tempus illud quod puitu trans. fertur ab T. aut F. Quare si P H MI PHSh
Pten iam inter temptri ab ini: io moriis
376쪽
Da Mο- expanso partis medii E G in loco ι γ ; dc propterea cxpansio Tu C0M partis illius in itu est ad eius expansionem mediocrem , Ut L II h E G - L ' ad E G; in reditu aut cita ut si G in seu EG LN Saeuun Qaare h cum sit L A ad ΚHut Iu ad radium SLcr. VIII. O P, & fc Id ad EG ut circumferentia P HSh P ad B QYLV L est, si ponatur V pro radio Circuli Circumferentiam habena Tu κοκ. tis ae Falem inter allo pulsuum BC, ' ut GP ad V; & ex XXXIII. aequo L A ad Ε G ut 1 M ad V : crit cxpansio partis E G punctiυe physici F in loco ε γ ad expansionem mediocrem, cluam pars illa habet in loco suo primo EG, ς ut V - IM ad Uin i tu, utque V - - ina ad V in reditu. Unde vis elastica puncti F in loco ιγ cst ad vim ejus clasticam mediocrem in
loco E G, ut ad 'o in itu, in reditu Uero ut ad
Et eodem argumento vires elasticae punctorum physico
cs & vitium differentia ad medii vim elasticam mcdiocrem, ut
puncta tria medii quieueentis seu motu Ampresso nondum condensati vel rarefacti, palasio medii in loco E G, mediocris seu quasi media est inter micii mam ipsius expansionem in locis pulsivum deiisissimis, di maximam in locis rarissimis. b ) ais. Cum D L N ad X H. An xuli ad centrum 1 o P mensura est arcus I P aequalis dimidio areui I Pi , s eu Κ Ρh, dc anguli ad circumserenitam Κ Η k , mensura est etiam dimidius arcus X P h, dcideb anguli I O Ρ ec Κ H L , aequales sunt. Hinc si ex purusto X., demissum intelligatur ad H L , perpendiculum aequale L N ,
hoc perpendiculum cum ordinatarum H Lde Κ N differentia dc cum arcu minimo K H triangulum conitituet simile triangu-
s ponit NEWTONus vim elasticam medii densitati proportionalem, quam quidem hypothesim in aere nostro, taeteris paribus , quamproximὸ veram esse experimen iis constat. At, data medii mas, , densitas eit ut expansio seu volumen inverse; Quarὁ ctati hie data sit masta medii in volumine EG vel ε τ, contenti, vis elas tica est ut expansio reciprocὰ dc ideo viselasica puncti F, in loco ε γ , cte.
g ' Li virium disseremia, id est a
377쪽
ΗL N . I ad V , sive ut HL - Κ Λ ad V, si modo ob h angustos limites vibrationum supponamus HL dc ΚΝ indefinite minores esse quantitate V. Quare cum quantitas V detur, disserentia virium cst ut HL-ΚA , hoc est ob proportionales PII. MN ad HK, deo M ad O I
Ff bisecetur in n ut si Et codem argu mento disterentia virium clasti Carum punctorum
physicorum e dc γ , in reditu lincolae physicae ε γcit ut sὶ φ. Sed disterentia illa id est, exccssiis Vis elasticae puncti . supra vim clasticam puncti γ
exerita vis elastitae puncti Ε, supra vim elasticam purasti Gerit ad medii vim elasticam mediocrem &c. h ob avi sita limites vibra mim. Quoniam eo tempore quo punctum G vibrationem un.ini ex itu & reditu per brevi iamum spatiam Ee composit im ab olvit & quo pullus transfertur a BRd C, innumerae sere me ii partieulae per medii coinprelsionem& diIatationem successive agitantur, spatiam illud Ε e, seu aequale P S , perbreve erit, u conferatur cum pulsuum intervallo B C, ut etiam cum radio V eir liqui cirrum-ser. miam habet aequalem B C. Reeri igitur siupponitur, quantitate HL & RN, longe minores ei e quantitates V.
ut lit o P F Ω, erit O Μ α o si. Est igitur H L - Κ N ut e n. D eodem argumento. Nam in reditu, vis elastita puniti F in loco ε ω est ad xim eius elasticam mediocrem inlo. EG, ut ad v, dc vires elasticae punctorum phγsi- eorum G&Ε, in Ioco ιν , sunt ut - d
378쪽
eit Vis qua interjecta medii lineola physica
s γ acceleratur in itu bc retardatur in reditu ;& proptcrea vis acceleratrix physica εγ , est ut ipsius distantia a medio vibrationis loco n. . Proinde tempus per prop. XXXVI ll. lib. I. recte exponitur per arcum P I; dc medii pars linearis a γ lege praescripta movetur, id est, lege oscillantis penduli: estque par ratio partium omnium linearium ex quibus medium totum Componitur. E. D.
l U Us qua laterjala lineola. Μedium in a & in Mui sua elastica sese dilatue in plagas oppositar C & B nititur, his viribus interjecta lineola physica ιγ, seu punctum physicum ς, urgetur in utranique plagam , & excessii vis elasticae in a, supra vim viasticam in γ, acceleratur in ita ἐκ retardatur in reditu. Dpe cripa m eiur. Demonstratum est quod si puta tum phyli eunt E ad legem oleillantis penduli moveatur, utis vibrationibus partium corporis tremuli aut nervi musici quemadmodum in not. Ir . expotuimus agitetur, thm sola vi et insti ea medii punctum physicum F, & alia deii 1dὸ puncta secundum eandem legem oscillamis penduli succesDE movebuntur. t Iam pridem Vis Acinissimus Eeserus, hane NEWToxa Theoriam sisspe iam habuis ,
alia nque simulam didii qua soni relaritalem determinaret a Ne toniana ditarisam , sed sua formula dems ybarionem , aut visium Ne*tonianae, palam non seris , quo clami Observationes suas hane in rem nobis eoumrtinnieam a Vir Decli vi GABRIEL CRAMER ,
Vir in hir rebus expertissimus , sagacissimiqire ingenii, quar sus eum venia, publici juris tacimtu, quasque Doctorum attentione dignissimur credimiu; Certe planispms ostendit aliquod subreptimiis vitium in ae Demonserandiforma , quam NEWTONus adiuuet, latere; sitiues demons sionem ipsam non ex rei naturά, sed ex Hypothesi assumpta ι re. Ipsi vero minus atris secundum methodum Nexutonianam assequi conabimitri nam ipsam ejus Impositionem veram esse, es ejus demonstrario vitio quodam laboret, persuasum habemur, sed eam ex naturά motus punctii Elastici sotiori esse deducendam, ritur quam ex motibus aerir, qui variis modis pro ratione aegirationis ipsi impressa peragi posην. Hae autem sunt Viri Alusril mi verba. . Propositio XLVII. Lib. II. Prineip. Philol. NEWTom, mi- lnus firma demonstratione nititur, ut ex eo patet , quod si diveriae , prorsus conclusioni demonstrandae applieetur, eodem successu gaudeat. Id ego cum pluribus diversis tentassem modis, lubet unum , i empli gratia, apponere. Sit, verbi causa, hoe Theorema a Ne in- ωniano omnino diverIum a eadem tamen Demonstratione muni-
379쪽
Pulsibiis per Fluidum eLis teum pro rogalis, si gu Iae Fluidi parti ti-Le, motu uniformiter retardato θaceeIeriato euntes o redeuntes, oscillantur pro lege Gravis asce Identis oe descendentis. De ignem AB, BC, CD, &c. puIstum luccessivorum aequales distatutas, ABC plag.im motus pulsuum ab A vertiis B propagati , Ε , F , G , puncta tria Physica medii quiescentia in recta B C ad a quales distantias sita, Ee, Fs, Gg, spatia aequalia perbrevia per quae puncta il
la motu uniformiter retardato moventur ,
ε ιγ , loca quaevis intermedia illorum punctoriis , & E F , F G sineolas physicas seu partes medii lineares punctis illis imteriectas dc successiσε traiillatas in loca, dc e f, fg. Rectae Ee aequalis ducatur recta P S, qua tanquam axe describatur parabola S H l K. Per basim T rex primatur totum tempus unius vibrati nis, & per ejus partes, partes temporis pro- Portionales exprimamur, sic ut completo tempore quovis TR, vel Tr, si erigatur normalis B H aut rh, dc capiatur Et sequalis R H vel P L, aut rh vel Pl, punctum Physicum E reperiatur in a. Hae lege punctum quodvis E eundo ab Ε pera ad e, & inde redeundo per ε ad Ε, iisdem retardationis & accelerationis gradibus vibrationem unam peraget cum ascendente Bc descendente Corpore gravi, Probandum est quod singula medii puncta physica tali motu agitari debeant. Fingamus igitur medium tali motu a causa quacunque cieri , 5c videamus quid inde sequatur. In recta Tt, amamur aequales partes O Q, QR, veloq, qe, eam habentes rationem ad rectam totam Tt, quam habent aequales rectae E F, F G ad puli uum intervallum B C; Et erectis Ο Κ, Q I, R H, vel Oh, qt, rh: demissis etiam si placet ΚΛ, 3Rn,im, hi; quoniam puncta E, F, G, motibus similibus sileeensive agitamur, dc vibrationes sitas integrasitv dc reditu compositas interea peragunt dum mulsiis transfertur ex B ad C , si T Rvel T r sit tempus ab initio morus puncti E, erit T Q vel T g tempus ab initio
&loli vel pti in reditu aequales respective: Unde εγ iEu ΕGH-Gγ - Ea in ita punctorum aequalis erit EG-LNe in reditu autem aequalis L G H-l n. Sed ι γ latitudo est seu expansio partis media E G in Iozo ιγ, 6c proPterea e pansio partis illivi in lin, est ad ejus expansionem mediocrem ut E G-LN ad EG; in reditu autem ut E G - - 1 n
natur V ad semiparame trum ut B C ad T l, vel si sit T t aequalis i emipar metro & aequali, B C in ut semiparameter ad V,& ex aequo L N ad E G ut I M ad V ; erit expansio
ei F in loco ι γ ad expansionem mediocrem quam
pari illa habet in loco ssio primo E G, ut V - III ad V in ira , utque V - - i mad V in reditu. Uinle vitelastiea puncti P in loecia γ est ad vim ejus elasticam mediocrem in loco
SECUN D SECT. VIII. PRO P. XLVII. T Η Ε o R
380쪽
ut KN-HL ad V , si modo ob angusio; limites vibrationum supponamus H L& Κ N indefinite minores esse quantit .ue V. Quare clim qu antitas V detur, disserentia virium est ut K N - H L seu Κ X,
seu O R , hoe est , ob proportionales o R, E F, dc Tt, BC, dat atque E F, T l dc
B C constans. Et eodem argumentU, differentia virium pun torum playsicoruma dc γ in reditu lineolae physicae a γ est etiam constans. Sed differentia illa id est, excessus vis citasticae puncti e silpra vim elasticam puncti γ eli vis qua interjecta medii lineola physica acceleratur
aut retardatur, di propi ea vis acceleratrix lineolae physicae εγ est constans. lyrorterea tempus re stἡ exponetur per ordinatam I M & medii pars linearis a di lege prancripta movetur, id est , Iege a cendentis descendentisque Gravis , estque par ratio omnium linearum ex quibus medium totum componitur. Q. E. D.
Sed quod salia mirum Prop. XLIX. in qua ex sua hypothesi NERTONLs Soni
velocitatem computat, eandem dabit conclusionem in nostra, dc, ut arbitror, in alia quacunque. Sic Fingamus medium ab inrumbente pondere, pro more aeris nostri, comprimi, sitque Α altitu lo medii limogenei, cuius po a ius idaequet pondus lincumbens &euius dei: sitas eadem sit cum deiisitato medii compressi iii quo pullus propagatur. Et quo tempore corpus cadet ex altitudine aequali dimidio ipsius A eodem tempore pulsius percurret spat uni aequale t
ii altitudini A. Id quod congruit cum Corol. r. dictae Prop. X L I X. Nam stantibus quae in Propos XLVII. eonstructa sunt, si linea quaevis physica singulis vibrationibu describendo spatium PS urgeatur in ita & reditu a vi Elasti
ea quae ipsius ponderi, aequetur, peraget semivibrationem quo tempore corpus cadet ex altitudine P S , adeoque vibrationem, quo tempore corpus grave caderet ex altitudine 4 P S. Quare, cum tempora desirentiis sint in subduplicata ratione longitudinum percurii rum, fiet tempus vibrationis unius ad tempus descentes ex altitudine l. in subduplicata ratione longitudinis 4 P S ad 2 Α , seu 3 P S ad A. Sed vis qua in singulis pundiis
urgetur particula E G erat ad ejus vim mediocrem elasticam , ut K N - H L
& vis illa mediocris, hoc est pondus incumbeis quo lineola EG eomprimitur, est adpo. idus lineolae EG, ut A ad EG, adeoque ex aequra , vis qua lineola E G in singulis punctis urgetur, est ad ejus pondus ut O R κ Α ad E G κ V , lira ut lemi p. ra
meter in A , ad V V est enim o R ad E G ut T lad B C , atque ideo ut te mi palameter ad vel ut 8ΡSκΑ ad BC , ob qad B C q ut semiparametri quadratum ad T t quad. atque ideo ut 8 P S ad semiparametrum. Quare
chin tempora quibus aequalia corpora per aequalia spatia impelluntur, situ reciproce in subduplicata ratione virium, erit tempus vibrationis unius, urgente