장음표시 사용
381쪽
vires dem tales dic. DE MO vi pondetis, in subduplicata ratione BCaal 8PS-A. Atque adeo ad tempus desten ius ex altitudine I Λ, in subduplicata ratione BC ad 8ΡS in A& Iubduplicata
ratione S PS ad A, hoc est in ratione integra B C ad A. Sed tempore unius vi brationis pulsus progrediendo confieit la. titudinem suam BC. Ergo tempus quo pullus pereurrit spatium BC est ad tempus deleens sis ex altitudine I A., ut B Cad A. Tempus autem quo pullus percurrit spatium A est ad tempus quo percurrit spatium BC, ut A ad BC, adeoque aequale tempori descensus ex altitudine , A.
Ille notandum, quod absurda sit, &tie ilὰ resilianda hypothesis hic assumpta ,
quod nempe pullus propagetur, particulis euntibus 8c redeuntibus pro lege gravis al-cendentis Zc de scaendeniis. Verum id ipsum est quod Demonstrationem NEWT N AN AH evertit, ostendendo nimirum eam
ipsam absurdae hypothesi probandae aeque
Hactent Vir Docti mur ; sequuntur ea quibus resisui pose die tomanam demon-
I. Impsi hesis. Suppono medium Elam. eum constare punctis, quantitate exigua sed finita a se dissitis, & vi repultiva d natis quae distantiae illorum punctorum sit, reciproce proportionalis; nee ad alia puncta praeter ea quae immediatE proxima iunt seleextendit: Hoc enim modo quaecumque sit partium medii Elastici natura, satis seliciter repraesentantur effectus qui ex eorum Elaterio pendent. a. Cor. I. Medii Elastici status naturalis eli ut puncta eius Elastica , se m iud aequaliter distent.
3. Cor. 1. Puticha elastica velocitatems: .itam luscipere possunt vel per immedia tum contactum corporis moti, velocitatu sua finita punctum elasticum urgentis vel' per actionem continuatam vis repullivae
punctorum elasticorum si ab una partesdrtior sit Plan ab alia. Reliquas caesas
hic non consideramus. . TU COR- . Iheor. I. Si velocitas finita quo Pollu M. modocumque exestetur in puncto Ela: li' ω αα , , dii alitiae ejus a proximo pumilo veritis quod movetur minuetur finita quani i- SECUN D. t te antequam in reliquo medio factus Srcr.VIl Lia ullus motus ullaque compressior Sini P a o P. A , B, C , tria puncta medii Elastici aequidistantia
- XXXVII. locitate finita, dc tempore A B Cinfinit/ parvo describat sp sium infinite parvam primi ordinis A a, Vis motrix puncti B erit di fierentia virium repulsivarum pulicti A & C , est autem vis repulsiva pancti R ubi pervenit in a , ad vim puncti C si immotum supponatur ut BC ad Ba , & dividendo vis motrix puncti B, ad vim repulsivam puncti C, ut BC - Ba Ra ad Ba. Sed A a , est infinite parvum ex Hypothesi & B a est finita quantitas, ergo vis motrix puncti B , est infinite parva vi respectu vis repulsivae puncti C, quae vis repulsiva pro ipsa vi naturali elaterii assumi potest; Vis autem Elasticitatis est ex genere pressionum , tempore infinito parvo velocitatem infinite parvam generaret, quae velocitas infinite par o durante tempore infinitὸ parvo, si atrum infinite parvum feeundi ordinis describere laceret: Ergo siquidem vis motrire puncti B hujus vis respectu est infinitὸ parva, tempore infinitὸ parvo spatium infinit8
parvum duntaxat tertii ordinis destri bere faceret , nullus ergo motus in puncto B generabitur nisi spatium descriptum A asit finita quantitas, nulla ergo erit color presso inter puncta B dc C. Q. E. D. . Cor. i. Nullus ergo motus ex puncto medii Elastici in punctum proximum transfertur nisi poli tempus finitum, nam spatium finitum ' a , nonnisi tempore finito percurri poteit per velocitatem finitam.
snita in puncto Elastico excitata n mutabitur nisi post Z Α Β tempus finitum re postquam 'quantitate finita processerit. a Sint enim medii particulae Z, A, B, procedat punctum
Λ velocitate finita utcumque in id punctum
382쪽
DE Mo- eivin producta , & temtiore infinite parvo τυ Coi, describat spatium infinite parvum Aa , vis
qua sis mur ea velocitas orietur ex dic
POTU J--ψirium Elaflicarum pur ii Z dc Ll BZR picisti B, estque vis puncti B ad vim pun- SECUN D. cti Z ut AB - - Α a ad AB - A a, ct di-SEcr.VIII. videndo. Vis sistens punctum A ad vim P R o P. puncti Z , ut Σ Α a ad A B - Λ a, sed Α a XLVII. est infinitὰ irarvum restinctu quantitatis THEOR. AB - Α a, ergo, vis sistens punctum A est XXXVII. infinitd parva, resimis vis puncti Z, quae est vis elaterii naturalis, ideo eodem Z A Bmodo ae in Theorematis de mouistratum suit probabi- atur , in illam tempore in-
finite parvo spatium infinit dparvum tertii ordinis producturam: Quare etiamsi singula puncta a parte B posita aequali vi egerent corumque numerus infinitus foret, vires illae omnes non nisi sjiatium
insuit E parvum secundi ordinis infinita pamvo tempore eX spatio A a eodem tem: ore deleripto detraherent , maneret itaque idem , velocitates ergo Pulicti A non mutabitur ex actione omnium punctorum medii Idastidi , nisi post tempus finitum de
postquam finita quantitate frocesserit. . Cor. 3. Si considerentur innumera. puncta Elastica ordine in linea recta posita ,
nec attendatur ad alia quae circumquaque solidum spatium constituunt, si unum
velocitate finitia quacumque ex caraa urgeatur , quae constans in eo mancat, qiι clam tempus finitum requiretur ut eadem vel ccitas in proximo puncto excitetur, paulo longius tempus ut in tertio producatur, sicque deincepε, nam per Cor. I.
nullus motus ex puncto medii Elasti iin punctum proximum transfertur nisi Pla γso finito tempore, velecitas ergo primi puncti ad secundum non transit nisi post finitum tempus ab initio motus primi pam ii & veloestas secundi puncti ad tertii imnon transit nisi post finitum tempuς ab initio motus secundi eius puncti. Breviori
autem tempore Oxcitari ecbet data vel citas in secundo puncto per aeitcnem comtinuatim ab initio motus primi puncti, quam in tertio per actionem ccntinuatam
ab initio motus puncti secundi: cum enim
velocitas primi puncti sit finita & aequabilis, compressio exinde orta ab initio et is motus est major quam compresso quae per motum secundi puncti ab initio ejus motus acquiritur, siquidem ad celeritatem primi puncti non nisi per gradus pervenit, ergo vis motrix quae urget secundum punctum ab initio, idnior est quam ea qo urgetur tertium punctitari ab initio, ergo tertium punctum datam illam celeritatem tardius aBuirit, dc pari ratiocinio, cum vis motrix secundi puncti sub initio somtior sit quam vis motrix tertii, compressio inter secundum dc tertium punctum maior erit sub initio qu im inter tertium & quartum , unde vis motrix quae urget tertium
punctum sub initio , salior est quam ea qua urgetur quartum punctum , Ergo climpunctium sequens aliqualem velocitatemiuscipere non possunt ii postquam Winctum praecedens spatium finitum descripserit, dc longiori tempore ab initio moriusii scepti datam vel oritatem possit suscipere, liquet quod ea dati velocitas nocinia
successiτὸ ad luccesssiva medii Elastici practa pertingit. s. Sehes. Hinc patet discrimen inter motum in medio Elastico excitanun Semotum qui excitatur in medio non Ela:Η-CO cujus partes contiguae iura, inriti enim medio, pressio cuidam particulae applicata ad omnes partes in directum Natas, aut divaricantcs, princto temporis extenet debet ; Motus vero instanti in circulium propagari debet; At in medio Elastico, Pleiasio ab uno puncto ad alterum non cominuatur nisi per accessum punctorum medii, sive per realem mctum, qui antro ui propagetur, dc post tempus finitum a pulmeto primum moto ad reliquas partes fiuidis cessive perveniat.
s. P R O B. Si punctam medii Elastidi
finita velocitate movcatur quae cc astans maneat, dc finire motum punctorum sequentium in linea recta positorum, ominis Eliis sphaerice circumquaque Irasci g. Primus Cafur. Sint ordine runcti A , B, C, D, δέ c. fingatur ea omnia ad ara
les distantias in navi posita, & punctum B ita
adtraert rct malo in N ejus motu, navis mo
tum fiaseipiat Ad reliqua puncta vehat ; Recipiat verb punctum A velocitatem finitam
383쪽
eam versus B tendere , ex Rc . cssu Palicti
A vir:us B vis repulsiva particulae A sertior fiet vi re misiva particulae C, quare ex differentia virium naidetur vix mortiri partiaulae B , Procedat enim A ad B quantitate A a , erit vis particulae C in B , ad vim particulae A in B , ut a B ad B C sive A B quia particularum intervalla AB, BC in iio erat i aequalia a & dividendo, vis particulae C, ad disseremiam virium quae cli vis motrix puncti B ut a B ad A B - a B sive A a , sed vis particulae Cest vis ipsa elaterii in statu naturali, cXHypoti Ergo Vis elaterii eth ad vim in ventem punctum B, ut a B ad A a. Re- praetentet itaque I H tempus quo distat tia A B punitorum elasticorum per vel citatem datam puruli A percurritur , dicaturque illud tempus a, dacatur deorsum ad angulos rectas linea H G quae vim et allicam sita gulae particulae medii in statu naturali designet, ductaque F G parallela I Η, asymptotis F G dc G H dc dignitate moli a κ H G describatur Hylaeibaa, uansbit per punctum I, siquidem IFil G dc FG αIH α a, ideoque I FκFGα HGκ a &si I P repraetentet tempus quo durante Amotum ell, dicaturque x, Dico quod P Vrepraelemabit vim motrieem putasti B eo
temporis momento. Erit enim ex natura
is G : P M ; spatia vero uniformiter descripta sunt ut tempora ; ergo A B: A a IH. IPSc dividendo aB: Aa H P: Iri sed a B ad A a ut vis e latcrii ad vim in tricem puncti B, ergo HΡ: IP α IIG: PMα vis elaterii ad vim motricum puncti B, sed H G repraesentat vim elaterii, ergo P Mubique repraetentat vim motricum puncti B. Repraesentabit ergo ei iam linea P Μvelocitatem momento P genitam, & area I P M totam vel talem a puncto B a quisitam tempore I P sive tempore quo pereurritur Α a a puncto A. Desieribatur vero ex puncto F Logarit, mica cujus axis sit linea H G producta , sit blangens linea quaevis G X quae dicatur1-. II
Ratione data, ob datum P R & ratirnem FR ad R T datam , ut pote aequalem ra II S.
itolii F G ad G X, est ergo T S in I P Μ,
sive ut velocitas puncti B, 3c elim perpen. dicula inter ordinatas T S sint aequat a m mentis temporis in linea I P ihmptis, area F T S erit ut spatium a pancto B percuri linia Eodem modo coiistabit, quod si vis et
sti ea ageret more gravitatis tempore a, velocitas quam eo tempore generaret, de
signaretur per subtangeniems, & Ipauum descriptum sordi - , dicatur vera m v I tas data puncti Α, data erit ratio ead m, intervallum particularum A B erit ma , ct spatium Α a velocitate data percursam est m x, notaniam um cIl quod ea A a a vellae
384쪽
mus te minus, primae seriei sit acearat) triplus pr mi termini a terius ierim, reliqui vcro pluiquam. tripli; Pane rum A. totam tuam eclaritatem puncto B ta,mmunicat alitequam ad 'metum B te mi im partem ejus lpatii descripserit quod deleriplit punctum. A. Tempus vero x exprimetur per Radi-
12, fictilius eli , nihil est necessi .
385쪽
ne initiis punisti D erit in hoe Ca:uvid rc pulsiva A ad vim tepullivain C ut ΑΒ - Bh in Cead AB Aa in Bbdc differentis virium sive vis motrix puncti B ad vim res,ulsivam puncti C , ut A a - 1Bb Cead AB-R:ΦBb; est praeterea vis repulliva puncti Gad vim Elaterii ut
m ; bc denique vis A a s b C e DElastica est ad vim
tum B in primo casu ut AB - Aa ad Aa; ideoque ex aequo vis vera motrix puncti Bad ejus vim in primo casis ut
In eadem autem Hypothesi vis motrix puncti C , hoe modo determinatur , est vis resulsiva puncti B ad vim repulsivam puncti D ut D e ad b e sive ut A B - C e , ad AB - BbH-Ce, ergo vis moeriκ pun m C ad vim repulsivam puncti D , ut Bb - , Cc ad AB - Bb--CC. Haee vis remissiva puncti D ill ad vim Elasticam ut AB ad AB- Ce, denique vis Elallica ad vim moventem punctum B in primo Casu, ut L B - A a, ad A a, ideoque ex aequo via motrix puncti C, ad vim m. ventem punctum B in primo Casia ut
curvae quae transibunt per aes X erunt linti virium motricium punct: B & i uncti C , areae I P Q , ID X erunt ut velocitates per illas vires dato tempeWe I Pgentiae, oc si sumantur ordinatae T V & T Y , tales ut
dc eadem fluxio T S ad fluxionem T Y at
In his preportionibus multiplicatis ex tremis & mediis dc terminorum collati ne iacta, invenient ut lineae T V dc T Y de areae FTV dc FTY, sicque tempora quibus acquiruntur velocitates T U, T Y α spatia descripta dum acquiruntur, obtinerii erunt , Calculum i tum prolixit limum in compendio exhibebo , primo invenit quod fluato TS NABκλB - Α a ras m a d x, est praeterea Α a - Bb in Ce
386쪽
387쪽
388쪽
tam horum sequentium monu determinari possent simili ratione I Etenim vires m trices nunctorum B, C, D, E &e. stat ut A a- 2 Bb, Bh- χ Cc, Ce-χ Dd, D d a Ee, 6ce. Uis enim cuiusvis puncti ut C est ad vim puncti E ut d e ad c d sive ut A B--Εe - Dd ad ABH-Dd Cc&di dei Ido vis motrix puncti D ad vim puncti Evi Cc- χ D d- - E e ad c d t, vis puncti Eest ad vim Elalliram naturalem ut A B ad e d, ergo vis motrix puncti D ad vim Cc-I Dd--Ee Elasticam naturalem ut ad
sive ut Cc--2Dd--Εe adio. Si, missis caetcris casibus, quaeratur intervallum tempotis quo velocitas datam , in punctis tuo . eis vis B, C, generetur, ut & ratio lpatiorum Aa, Bu, Cceo tempore desdriptorum; Fiat TV α m, α utroque ducto in -, em - a m a TU dicatur-α a & in serie -
edκ de . . in - - , ergo alienando est vis motrix
pauld maiori ratione quam vis elastica ad A B quia tam c d qu- d e paulb nores zum quam AB, sed vis motrix puncti D est ad C e - 1 D d in maiori ratione quam eadem vis motrix ad C c et D d -- E e , ergo vis motrix puncti Dest semper ad Ce-x Dd in majori ratione quam vis elastica ad A B, ctimque id verum sit in omnibus punctis & haeeuhima ratio sit Gestum , Ratio vis m tricis purcti cujusvis ad spatium a Precedenti l unetodelcriptum dempto duplo spa. sit ab ipsis hoe puncto descripti, erit semper
maj r rarit ne constante, non lamen multo, ideo Phylicd i ro coinstante assuma potest , hine alternamio vires illae motriora, pia chorum successivorum, 1unt in ratione inis dicata Sed calculum pro illis punctis instituere necesse non est , per Analogiam enim ex motu duoruni priorum pui ctorum B S Creliqu: rum morum Ita: re , Italiaem vi
Iuxta Analyteos Newtoniana Methodum sumamur omnes termini in quibus disere tiae exponentium ae dc a minimum effetivitva'orem, stuatque aequales Σ rellaui te
mam seriei --- negligi possint , quia per dignitates quantitatis - respectu e rum qui assumpti fuerunt multiplicantur ;s in Hypothesi quae velocitatem ni alicuius momenti assiumeret hi termini negligendi non scrent, sed in casu praesenti velocitatemm minimam supponere nobis lieex eum de tali tantum in ivtutum simus acturi erit er-
Iam vero in area F T V quae spatium
B is exprimit, loco - ponatur ut prius m& assumantur termini in quibus differemia ponentium quantitarum x dc a minima
389쪽
sve C eα m x κ .cir sive circiter sexta pars intervalli a puncta B deseripti eodem tempore quo acquirit celerita
Et Celeritas a puncto C runt temporis aequi ita erit iisdem substitutionibus lactis p. 7NI. 7 2κ3. 7X3. 7κ3. 7.
ix. Quod si eventus quaeratur in hypo thesi velocitatem m non esse quammini Inam , sepponatur illa aequalis ipsi s ; si quaeratur spatium deseri suam , pum'o B, dum eius velocitas fit m, fiat series T Vmm, di utroque ducto inae , erit x T Ummae, ergo collata serie x T V , & FT V habebitur ratio spatiorum percursorum A a &Bb, sed illae erim posito -- α I. sutu
magis quam triplum spat. i per puncia in Bdeleripti utque dum celeritatem in reci- , piat Ex quo ccnsecta. tur, quod siquidem B eo momento no i est in medio inter fpuncta A N C, sed vicinius puncto A ad minimum texta parte spatii a puncto Α 'deicripti ab e 3 ulterius urgetur dc accel tyr , celeritatemque majorem quam m irecipit donec ad medium inier A bc C Perveniat, ibique cum celerit te maiore quam A seratur , versus C magis accedet, sicque vim re:rullivam puncti C semiet, dumque ultra medium inter A sc C pr movebitur sensim t.irlab tur, tandem destruct , ejus excessu celeritatis supra celeritatem m, clam sit vicinius puncto Cqu pulicto R diminuetur ulterius clas celeritas m , ideoque puncto A vicinius gradatim fiet , in medio inter A bc C itotum occurret , sed cum veloritate dimζmita , quare perget vicinius fieri puta ', , fitque ab ipso velteitatis in renisti lim de novo accipiet, sicque per 'mu , oso:llain cur punctum B circa m diuin intor piri - Α & punctum C ad mcreni fibraes antis I LIque ratione fit ut Preticulae aeris magna velocitate ira: is sonum et intsponte, ut in tonitru , pu: vere sal mirante , flagellis, tapetibus aut lodicibim foristiter excussis &eia Sed ubi ni minima fit, punctum B eam celeritatem m aequisivit eo temporc quo partim abest a medi inar pure a A de C, per hujas n. io. uni Cliciter vi- celima spatii a puncto A descWipti, idemque agit.itione et stiora d.ctus ex eura it: cipit quas pro nullis hab re Phylleis licere debct, quata vis Mathemat' te non omnino nullae sint. II. Supposito ut prius velocitatem do- tam m esse minimam, ut oluineatur intervallum temporis quo punctum C celeritatem eam datam m acquiret sumpto uca m . a 4 m prius 2 α -- fiat T X m Ec--T X
ma ε & ponatur ubique in serie T X
390쪽
luci m enitur x si ζ Et lei tum F TX ulterim celatinuando dc calc uiuiu institue oo ut ierio F T V 1.1ciuin est, iiij iiit ut quod via , puncto A etne iiI., dum rus tum C velo itacem m aequirit, est ad viam quam iptio punctum C emetitur, utico ad si . sive sere ut ad i. Quod indem paulo ninius est vero , quia omissae t consid ratio in otus punm D, quod cum diicedat a pulicto C cdicit ut vis Bin ipsani C sit ibtitor , breviori ue tem-laCre ii totum m ipti in Peniatur. I Hinc a ccciii tempus quo punctum Beesellia tela datum m acquisivit sit E 3. 17 dc icini vi quo pu .ctam C cum celeritatem
acquisivit sit et ' , , tempora sunt ut 3 . I Ea s : sive ut is ad 3o scie ut 1 ad 3 i ccun ergo pinu tum
iiuncti tu A deI libit dum C aequirit velocitat u m, est ad spatium quod idem punctuni R deIciiseiat dum B caindem velocit tum m acquisverat, sicut 3 ad 2 ; pati uni vero qued C de cribsit dum uam coleriauicin acquisivit , est ploxime tertia para ipatii eodem tempore
bit cum iamdum ccleritatem m acquirit est sere dimidia i ars spatii eo tempore ab A dei crapti , ergo illa lpatia a punctis Cα B delcri ina, donec velocitatem m fingula acquirant lum aequalia.
spatium quod punctum quartum D deteribit, dum velocitatem m attingit, erit qε. pars spatii :.b A descii siti, siquident spat um a et ... I uncto deleriptum est dimidia pars si alii ab A dei cri p. i, spatium 19 . pucelo deis trium telii a pars spatii descri1κi ab A dcc. In:o eum ordinem ac cur Elius obici vari in rutactis rimini olibus statuere licet quod punctum C uitiam rictui spari, ab A duio isti dum vclaci- talean m acquirit , ac. in attias deicribat qu. B dimidiam partem spatii ab A delcripti dum velocitat cui in sulcipit. Calculum ictistare potest qui hae Analogra rem siussicienter domor:sst ri non ccnlctae, S B. L. t 'noicere rcsamus quod talem lisortim labite piguerata Et eade iv Analogia curi. II.) deducetur,spa .a quae pri currunt Iii cccssiva puncta D, Eduin velo italem m acquirunt, a qualia ei eiis quae puncta singula B dc C descriptetulit. 11. Quiba; adinitiis .equitur drmn tivuem iniervalli inter particulas medii, cum motu commuia cum mach γ A seruntur , esse ubicvimque eamdem, & aequalem dimidio spatio ab A desἰri Ino dum B eeleritatum m acquirit.
Nam elim Α bis id dimidium sipat umdvicti serit Sc B semel dum B communem eum A motum suscipit, contrahitur spatium inter A N B dimidio illo spatio; Aprocessi: ter illo dimiaio spitio & C se. mei dum C communem cum B & Α -- tum saccipit, ergo in ervallum inr r A& C duplo ejus dimidii spatii climinutum est, sed inter A & C duo sum parti larum intervalla Α dc B, Bdc C, & pH-mum iiii vallum est contractum dimidio illo spario, ergo intervallum inter B dc Ceodem dimidio intervallo dimininum esse debet, sicque de canetis. 6. Ideo si quolibet tempore elapse
sumatur via tota puncti Λ, ea via aequa lis erit summae diminutionum intervallorum inter omnes particulas ad quas celeritas incommunicata fuit; cum ergo motus purassi Asit uni 14rmis, uniformitet etiam crustat nis merus particularum ad quas celeratas mcommunicatur ἱ dc numerus carum par
cularum aequalis erit viae 1 puncto A percuriae divisae per diminutionis intervalli
I 7. Manente autem fluido eodem , sed mutata celeritate puncti A, tempora quiabus puncta successiva medii celeritatem ejus irai ti A lulcipiunt eadem tamen nia-ῖ. a uinent: Nam si in formula x
qua determinatur quadratum temporis quot iunctum B recipit celeritatem pinacti Asubitituani ut loco m de s quantitates ipsis aequi ollcntes , s,mula haec fiet quantitas constans manente Elaterio medii Sc i tervalIo particulatum quaecumque sit velocitas puncti A ; Etenim ditauur f Viselastica medii, quoi iam, ex Ηγ pothesi Probleniatis hujusce, ut iis, ter ag re cea iesue tempore quod exprimitur Per a ut celeritatem a generet, erit 3zzza I , pr - erea quoniam Particularam intervallum