장음표시 사용
91쪽
Prop.s .i. ipsarum, A ; ergo A, sunt aequales plano B D, denominata per quadruplum B Q, auctium 8 ; sed quadruplum BD, auctum 8 est quadrup tum plani R D , aucti a ; vide licet plani E F, ergo A, sunt aequales pla no BD, denominato per quadruplum E F: quia etiam B, est numerus multitudinis A, qaφrum v Itima C; constat B, esse: num rum ordinis C;& binario, ac vilitate minorem esse numeris , qui solidum producunt denominatorem C ι ergo C, est unitas denominata solido sub B,& plano E F; ergo A, ad C , est ut planum B D, denominatum qua druplo plani E F, ad unitatem denominatam solido sub B , de plano P Fi& multiplicando per planum E F, ut planum B D , denominatura per q. ad unitatem denom, natam per B, & iterum multiplicando per B, ut solidum sub quadrato B, & D , videlicet aggregatum ex cubo B, & triplo quadrati B, denominatum per q. ad unitatem;&multiplicando per Α, ut aggregatum ex cubo B, &triplo quadrati B, ad 4. Quod, &c.
latum, qua denominantur solidis omisiunumerorum consequentium ab unitate,
qualibet assumpta ad succedentes in infini
92쪽
V Nitatum, quae denominantur solidis omnium numerorum consequentium ab unitate sit assumptari s euius ordinis numerus B ; & succedentes in infinitum M. Dico A, ad C, esse ut binatius ad B. Sit D, aggre. satum earum, quae praecedunt C , a prima ν quarum erit H, v Itima I & numerus multitudinis ipsarum D, idem, qui ordinis assumptae, vide licet B: ergo Α, ad D, est ut ad compositum ex cubo B, & triplo quadrati B ι sunt autem D, ad C, ut planum sub B,& ipso B, ternario auctorvidelicet ut compositum ex quadrato B,& triplo B, ad binarium; & multiplicando per B, ut compositum
excubo B ,& triplo quadrati B, ad duplum B; ergo ex aequo A, ad C , est vi q. ad duplum B ; & diuidendo pera avt a. ad B. Quod,&e. V
Vimtatum, qua daenominantur solidis omnia
numerorum ab unitate , quotlibet assumpta non a prima ad succedentes in infinitum sunt, ut productus ex numero multi
rem auctus duplo piam sub eodem numero, er multitudine praecedentium, ad productum ex numero multitudinis praecedem
93쪽
74 Nase de draturatium innumerum ternario maiorem auctum binario.
U Nitatum, quae denominantur solidis omnium n merorum ab unitate sint assumptae H,non a prima in multitudine numeri B; quibus in infinitum succedentes I; & praecedentes G, in multitudine numeri A; &productus ex B, in numerum ternario maiorem ayctus duplo plani BA, sit Κ; sit etiam O, ternario maior A, &planus Ao, sit C, qui auctus binario fiat L. Dico H, ad I, esse ut Κ, ad L. Fiat M, ag regatum vi A, B , & P, ternario maior M; & planus PM, sit Ei cuius quadruplus au ctus numero 8. sit F: ergo M. est multitudo ipsarum G, H,& sunt G, H, aequales E, denomin to per F: fiat etiam D, quadruplus La quoniam L, excedit C, per binariam ; etiam D, excedit quadruplum C, per 8; ergo G, sute quales C, denominato per D; ergo excessus G,& Η, si pra G , videlicet hi , sunt aequalas excesses numeri Γ, denominati per F, supra numerum C, denominatum per D quia D. F, excedunt per 8. quadruplos C, E; ergo . excessus fractionu E, per F,&C, per D, est octuplus excessus E ,C, denominatus per planum D F . quoniam etiam 3. est idem excessus tum P, M, tum O, A ; vicissim excessus P, O, est aequalis excessui M, A; videlicet nume- .. ro B ; ergo excessus planorum PM, OA, videlicet excessus E, C , est aequalis plano sub B. & aggregato A, P; est autem P, aequalis ;& M, aequalis A,&B; ergo aggregatum A, P, est aggregatum ex B, 3, & duplo A;& planum sub B, & aggregato A, P, est aggregatum eS
94쪽
εArithmetice. 7 quadraist B, triplo B, & duplo Hais' A B; videlicet productis AB,rn humerum ternario maiorem auctus duinito plani BAit cuiusmodi est numerus Κι ergo Κ, c st ex cc Lus E, G; & H , sunt aequales octu plo Κ, denominato per planum DF; ergo H , ad H, G , sunt ut octu plus Κ, denominatus plano D F, ad E, denominatum per F,&multiplicando per F, ut octu plus Κ, denominatus per D, ad E; sunt autem G, H, ad I, ut E , ad 2 : ergo ex aequo PropFi , ad I, sunt ut octu plus Κ, denominatus per D, ad as& diuidendo per a. ut quadruplus Κ, denominatus per D , ad unitatem 3 vel ut quadruplus Κ, ad D ; ergo quia D , est quadruplus L, diuidendo etiam per q) Η, ad I, sunt ut K, ad L. Quod,&c.
Unitates vinominata solidis omnium imparium ab unitate, quotlibet assumpta a prima sunt aquales producto numerι multitudinis ipsa um in numerum binario maiorem,denominato per duodecuplum eiusdem,
Sint A, impares ab unitate; quorum solidis denominatae sint unitates B λ quarum multitudo a prima sit numerus C;&C, auctus binario fiat D ; & planus CD, sit E; cuius duodecuplus auctus o sit Gi& ex denominatione E, per G , fiat fractio H . Dico B , csse aequales H. Sint I, Κ, ultimi, qui adhibentur in denominatione
95쪽
C. 3. D. I. E. II. G. I 89. H. m. B, ergo B, sunt aequales aggregato ex omnibus dispositis in A , usque ad K, praeter unitatem, & Κ, denominato per planoplanum sub K, I, 3 , & unitate: & quia terni A, denominant singulas Bl multitudo dispositorum in
A, usque ad Κ, binario maior est multitudine B, videliacet numero C ; ergo numerus C, est multitudo omnium A, vsq, ad Κ, praeter duos extremos unitatem, & Κ ; &. aggregatum eorumdem, praeter extremos, est dimidium plani sub C,& aggregato extremarum unitatis,&Κ λ& quoniam inter unitatem ,& Κ, tot sunt interinedii,
quot unitates ιn C ι ergo excessus extremorum unitatis,& Κ, ad a. excessum consequentium est ut C,auctus unitate ad unitatem , & componendo. excessus unitatis,&Κ , auctus binario, vel aggregatum ex Κ, & unitate ad a. est ut C, auctus a, videlicet D , ad Unitatem; permutandoq; & conuertendo, D, dimidius est aggregati ex M& unitate ;&planum CD, vel numerus E, dimidius est
. P a ii sub C, I aggregato ex Κ, & unitate ; ergo E, esta 'gregatum omnium A, usq; ad Κ,praeter extremos unitatem, & Κ: eadem ratione, quia excessus unitatis, &Κ, ad a. est ut C, auctus unitate ad unitatem ; diuiden do, excessus I ,& unitatis ad a. est ut C, ad unitatem spermutandoque ,& conuertendo, C, dimidius est exceGiust , & unitatis; & duplus C, auctus unitate est I,&a uetus ternario est & compositus ex 3. & quadruplo quadrati C, & oetu plo eiusdem C, videlicet compositus
cx 3. & quadruplo E, est planus I Κ, & multiplicando
res 3. planum unitatis & 3. compositus ex ς, & du decuplo E , videlicet numerus G , est planoplanum sub ,. Κ, I, 3, & unitate : ergo B, sunt aequales E, denominato p et G, videlicet fractioni H.Quod,&c. Theor.
96쪽
Unitatum, qua denominantur solidis omnium . imparium ab unitate, quotlibet assumpta a prima siunt minores duodecima parte uni
D. q. B. 6. A. 2q. E. 288. F. 297. SInt quotlibet unitates denominatae solidis omnium imparium :ib unitate sumptae in multitudine numeri D, a prima. Dico C, aggregatas minores esse A. Fiat B, binario maior D ; & planum B D, sit A cuius duode. cupi is E; qui a uetiis 'imaeroς. sit F. Ergo Α, ad F,m norem habet proportionem, quam ad E; & est A, ad Ε, ut unitas ad ia. ergo A, ad F, minorem habet proporti nem, quam unitas ad ia. & A , denominatus per F, est minor et . ' unt autem C,aggregatae aequales A,denominato per F;ergo C,aggregatae stit minores Quod, &c
Unde connat unitates denominatas solidis omnium imparium ab unitate in infinitum
dispositas, oe aggregatas esse finita extem
97쪽
Pr- ε, 3. Patet etiam, quod unitates denominata βο- dis omnium numerortim ab unitate sunt in aliqua multitudine a prima, qua impleur propositam extensionem minorem extensione dispositarum earumdem in infinitum.
Unitates denominata solidis omnium impa- rium ab unitate, dispostia in infinitum, er
tes denominatae solidis omnium imparium ab uni . di tale. Dico A, aequales esse . . Alias erit A, maior, uel Cor minoi . . Sit maior igitur in aliqua nil illitudine sumpxερ ' ' prima unitatὸs in A,dispositae implent A: sit huius m - di paultitudinis numerus B, qui unitate adiecta fiat C; Des io. ergo aliquot unitates in A, dilpositae sumptae a prima in Pr. 1 . i. multitudine numeri C, sunt maiores quod est absuro dum:
98쪽
εArithmeticae . Isdum: non est igitur A, maior . . Sit minor, & data pro Pr.11.1. portione minoris ins lualitati S A, ad , Ψ, inueniatur altera maior,quae sit numeri I, quem numerus I a. metiatur Per D, ad Ε, unitate maiorcm ; & ipsius D, sit nc nuptusF; & inueniatur numerus G, qui metiatur nues erum non Prop.7.i.
minorem F, per seipsiam auctu in binario,& sumantur unitates in A, dispositae a prima in multitudine numeri G ; & assumptarum silmina sit.H: constat H, escte portionem ipsius A i& aequalem producto ex numero G, in se Pr.M. r. ipsum binario auctum denominato per duodecuplum eiusdem producti addito 9: quia autem productus ex G, in se ipsum binario auctum non est minor F; etiam deno. Pr. 4. r. minatus per duodecuplum eiusdem producti addito 9.no est minor F, denominato per duodecuplum F , addito ς, di diuidendo utrumq; numerum fractionis per9. non est minor D, denominato per duodecuplum D , auctum unitate; est autem I , duodecuplus D ;&I, auctus uniata te est E; ergo H, non est minor D , denominato per Esed quia D, ad I, est ut unitas ad Ia ueli, ad unitatem; . i& I, ad Ε, maiorem proportionem habet, quam Α, ad , ergo ex aequo in perturbata D, ad Ε, uel D, den minatus per E, ad nnitate habet maiorem proportione, quam Aunaior igitur est D ,denominatus per E,quam A;& non est H , minor D, denominato per E ; ergo H, est maior A,pars toto, quod est absurdum:Non igitur Λ μnor est neque maior;ergo A,est aequalis di. Qu9d,&c. .
Unitates denominata silidis omnium imp rium ab unitate, quotlibet astumpta a pri
99쪽
ma ad succerinus in infinitum fiunt, ut quadruplum plani sub numero multituriis nis assumptarum, oe numero tinario ma
VNiratum,quae denominantur solidis omnium imp rium ab unitate sint quotlibet assumpte A,in multitudine numeri C, & succedentes in infinitum Planus etiam sub C,& numero binario maiore sit D, cuius quadruplus F, & duodecuplus E. Dico A, ad B, esse ut F, ad 3. Et quia C, est multitudo magnitudinum A; ND,est planus sub C,& numero binario maiore,& E,du Pr. 18. x. decuplus D; ergo Α, sunt aequales D, denominato per ripr. s. a. auctum novenario, & aggregatae A, B, sunt aequales unutati denominatae per Ia. Ergo A, ad aggregatas A, B, sunt ut D, denominatus per E, auctum 9. ad & mutitiplicando per I a. ut E, denominatus per seipsum auctum 9. ad unitarem, videlicet ut E, ad Ε, auctumst. de
diuidendo per 3, ut F, ad F, au ctum 3; ergo diuidendo, A, ad B, sunt ut F, ad 3. Quod, &
iratum, qua denominantur solidis imparaum ab unitate, quotlibet assumpta ad viatimam sunx, ut productum ex quadruplo
100쪽
quadrati multitudinis asiumptarum unitate minuto in idem quadratum auctum
duplo lateris, ad sexcuplum eiusdem lateras
C. 3. E. q. G. 2q.M. I S. L. 27. D. II.
A A aeo etiam B τὴν H. 297. Κ. 8 I. F. I 89. SInt in multitudine numeri E, assumptae A , unitates denominatae solidis omnium imparium ab unitate; quarum ultima Βι& sit G, quadratum ipsius E, auctum duplo lateris eiusdcm; & M, quadruplum ciuidem quadrati unitate minutum ; & L, sex cuplum ciusdem E,auctum 3. Dico A, ad B, esse ut planum G M, ad L. Sit Η , duodecuplum G, auctum novenarior constat A, Pr. ι squales esse G, denominato per H : fiat C, unitate minor E; & quadratum C, audium duplo eiu Idcm sit D; cuius duodecuplus a uctus s. sit F i quia C, est unitat minor E, numero multitudinis A , constat C, csse multitudinem A, praeter B ε, & Α , praeter B, aequaleS, esse , Pr. 13. 1. D, denominato per F: tandem fiat Κ, nonu plus excessus G, D; constat etiam B, aequalem esse Κ, denominato Per pro . taplanum F Η : & quoniam C, in aequalis E, unitate minuto; quadratum C, est aequale unitati, & quadrato E, dempto duplo E; & adiceto communi duplo C, uel dupla E, binatio minuto quadratum C,una cum duplo C, uidelicet numerus D, aequalis est quadrato fi , unitate minuto ; est autem C aequalis eidem quadrato audio duplo E ; igitur excessias C, D, est duplus ri auctus unitate; . Martis tr Flu est lex cu plus E, auctus 3; huiusmodi est numerus L; ergo L , est triplus excessus G, Ι); I cxcessus G, D , est nona pars numcri Κ; ergo ex aequo L , ad