장음표시 사용
71쪽
ctum numeri primi in Aritbmetica dispo sitisne, π disserentia consequeunum.
SInt in A, dispositae in infinitum, & aggregatae unutates denominatae planis Arithmetice dispositor sta B, cum differentia C;& si D, unitas denominatta plano BC. Dico A, esse aequalem D. Alias erit A, niFCoroIL - ior, v ct minor D: sit maior ; igitur in aliqua multitudi-Pxψp-3 ne stim piga prima unitates dispositae in A, implent Ἀ-st huiusmodi multitudinis numerus E, qui adiecta uni- Des io. late fiat F ι ergo aliquot unitates A , sumptae in muli, Prop. 38. tudine F, sunt minores D, quod est absurdum; igitur Prop. 39. non est A , malor D. Sit minor, dc data proportione minoris inaequalitatis A, ad D, inueniatur altera minoris inaequalitatis maior data, quae sit numeri G,multiplicis plani B C, ad numerum H, excedentem ipsum G, qu drato numeri B; sit autem G, multiplex plani BC, s cundum I; & unitatum denominatarum in A,sumantura prima totidem secundum numerum I; & sumptatum Prpp. 37, sit aggregatum Κ ; constat Κ, aequalem esse I, denom
nato per H ; & quoniam I, multiplicando planum B C, facit Gi ergo ut unitas ad planum B C, ita se habet I, ad G ; sed unitas ad planum B C, est ut D, ad unitate sergo vi I, ad G, ita est D , ad unitatem; & G, ad
maiorem habet proportionem, quam Α, ad D; ergo ex aequo in perturbata I, ad H, maiorem habet proportionem , quam Α, ad unitatem; sed vi I, ad H, ita est Κ, ad unitatem , ergo Κ, ad unitatem habet maiorem pro
72쪽
portionem quam A , ad eamdem unitatem, maior ergo est Κ, quam A, pars, quam totum, quod est ab irdum: non est ergo A, maior D, neque minor. Ergo A,aequa
C Int A, numeri Arithmetice dispositi a B, cum dis rentia C; & D, unitates denominatae planis A, in infinitum dispositae,& aggregatae. Dico D, aequaleScsse unitati denona'natae plano BC. Sumantur D, a prima tot, quot sunt unitates in B,& assumptas proxime sequatur E, cuius ordinis inter numeros A, sit F; &ab E, sumantur D, totidem semper secundum num rum B, sicut a prima; & iterum ab eadem Ε, sumantur totidem semper secundum numerum F: quia D, sumptε Prop. s. ab E, secu ndum F, semper totidem ad easdem D, sumptas a prima secundum B, semper totidem sunt ut B, ad F; ergo colligendo, omnes D, ab E, ad omnes D, sunt ut B, ad F; & per conuersonem rationis primae sumptae D, a prima secundum numerum B, ad omnes D, a pruma sunt ut excessus F, B, ad F; est autem cxcessus F, B, toties multiplex excessus C, quot sunt primae sumptae D,videlicet secundu numerumB; quare excessus F,B,est aequalis plano B C ; & F, est compositus ex plano B C,& B; sumptae vero primae D, seeundum numerum B, Prop. 3, sunt aequales B, denominato per productum ex B,&plano BC, auctium quadrato B; videlicet diuidendo per B, unitati denominatae per planum B C, auctum B, vel
73쪽
uel unitati denominatae per F ῆ ergo unitas denominata per F , ad D, est ut planum BC, ad F uel ut unitas dein nominata per F, ad unitatem denominatam plano B C: ergo sunt aequales D,& unitas denominata plano B C. Quod, &c. ii d
Vnitates denominata planis Arithmetice dispositorum quotlibet assumpta a prima ad succedentes in infinitum sunt, ut planum sub numero risumptarum, s disterentia dispositionis Arithmetica ad primum eiu-srim dispositionis numerum.
SInt A, unitates denominatae planis Arithmetice diaspositorum a B, cum differentia C, quarum assum p a prima quotlibct secundum numerum D,sint compositae in E ;&reliquae in infinitum dispositae sint in F. Prop. 8, Dico E, ad F esse ut planum C D , ad B. Sunt enim E. aequales D, denominato per productum ex D, & plano Prop. V. B C, auctum quadrato B ;& A. aequales unitati den minatae plano BCi ergo E, ad A, sunt ut D, denominatus per productum cx D, & plano BC, audium quadrato B, ad unitatem denominatam plano BC,&di uiden-
74쪽
uidendo per D , ut unitas denominata per productum ex D , & plano BC, auctum quadrato B, ad unitatem denominatam per productum ex D ,& plano B C; uidelicet ut productum ex D, & plano B C , ad seipsum auctum qu adrato B;& diuidendopci B, ut productum ex D, in C , ad se ipsum au ctum numero B ; & diuiden. do, E, ad F, sunt ut planum D C , ad B. Quod, dic.
mitatum denominatarum planis Arithme- tice dispositorum quotlibet assumpta a prima ad ultimam assumptarum sunt, ut
planum nuwert multitudinis a mptarum numeri ordinis eiusdem cum asipta inter Arithmetiee dispositos ad eorum. dem primum
SInt secundum numerum A , totidem in B , dispositae
unitates denominatae planis numerorum Arithmetice dispositorum a C, cum differentia D , quarum a Gsumpti rum ultima E i& eiusdem ordinis inter Arithme. tice disipositos sit F, quem sequatur G. Dico B, ad Ε, se habere ut planum A F,ad C. Quoniam B,sunt aequa, Prop. mles A, denominato per productum ex A,& plano C D, auctum quadrato C; & E , est unitas denominata pla, Prop. stino
75쪽
s 6 Nouae duadratureno F G, productum autem ex A, & plano C D, audiunx quadrato C, est planum C Gῆ ergo B, ad Ε, sunt ut A, denominatus plano CG, ad unitatem denominatam plano F Gi & multiplicando per G, ut, A denominatus per C, ad uninatem denominatam per F; & diuidendo PerA, ut unitas denominata per C, ad unitatem denominatam per planum A F i uidelicet ut planum A F, ad C. Quod,&c.
Unitatum, qua denominantur planis Ariathmetice di positorum, qualibet assumpta ad Accedentes in in nitum est, ut disserentia ad numerum ordinis assumpta inter Arithmetice disposito . ,
R του τὼ - - E G. F. VN tatum, quae denominantur planis Arithmetice
dispositorum ab A , cum differentia B, sit assum pta C, cuius ordinis inter Arithmetice dispositos num rus D i & succedentes ipsi C, sint dispositae in infinitum,&uggregatae in E; quae uero praecedunt una cum eadem assumpta sint compositae in F, quarum multitudo G.D, Prop. 42. co C, ad Ε, se habere uti B, ad D. Quoniam C, ad F, riosi. i. est ut A,ad planum G D; & F, ad E,sunt ut planum G B, ad A; crgo ex aequo in perturbata C,ad E,est ut planu G. ε B,ad plana G D:& diuidedo per G,ut BAd D.Quod,&G
76쪽
Duarum fractionum , denominatores
eodem numero excedunt aequemultiplices numeratorum, maior en, qua maioribus
numeris exprimitur, oe exc/sus est fractio , in qua productum ei dem numeri
oe disserentia numeratorum denominatur plano denominatorum.
Int duae stactiones A, B, quarum denominatores o C, D, superant eodem numero E, numeros G, H, aequemultiplices numeratorum I, K;& I,excedat Κ, per L ; ergo G, excedit Hi& adiecto E, communi, etiam C, excedit D. Dico A, maiorem esse B. Quia G, H, sunt aequemultiplices I, Κ ; ergo I, ad G, est ut Κ, ad H ; &quia G, maior est H , maiorem habet proportionem G, ad Ε, quam H, ad E; & componendo, G, ad C, quam Η , ad D ; & ex aequo I, ad C, quam Κ, ad D ; ergo fi ctio A, maior est B. Dico praeterea excessum esse planum L E, denominatum plano CD. Quoniam I, ad
77쪽
s 8 Noua euadraturasus planorum ID, I H, vel l D, Κ G: & eadem ratione planum ΚΕ, est excessus planorum KC, HG; ergo idem este essu, tum planora in I D, Κ'C, tum etiam planorum I Ε, Κ E ; cum autem L, sit excessus I, Κ ; ergo L E, est excessus planorum I E, KE; videlicet excessus planorum I D, Κ Ci; sed excessiis A, B, est aequa, lis excessui planorum I D, Κ C, denominato per planum D C ; ergo excessus λ, B, est planum L E, deno minatum plano DC, Quod, &c. '
Unitatum, qua denominantur planis dispositorum Arithmetice, quci libet Uumpta ad Iuccedentes in infinitum punt, ut multi. plex disterentia in Arithmetica dispositione secundum multitudinem assumptarum ad . multiplicem eiusdem disserentia secundum multitudinem pracedentium auctum primo eiusdem dispositionis numero.
Sint A, assumptae unitates denominatae planis nume rorum Arithmetice dispositorum a B, cum differentia
78쪽
tia C; & multitudo sint E infinitae succedentes ipsis A ; & F, praecedentes, quarum multitudo C; & ex ductu C, in G, da, fiant l, Κ,& I, Ructus B, sit L. Dico A, ad Ε, se habere ut K, ad Lia Flat.1 as' gregatum numerotum G, D s & N, productum BCM, auctum quadrato B. Constat F, A,smul aequales esse Prop. 37. M, denominato per Ni ducatur etiam B, in L , di fiat Q: quia L, est compositus ex B, I; videlicet ex B & plano G C, etiam Q, composmiscst ex producto Be G ,&ex quadrato B : constat pariter F, aequales esse G, deno. Prop. 3ν. minato per i& A, excessui dictarum fraction vis vide- Prop. 44.
licet producto sub D, & quadrato B, denomi irato per Planum QN; ergo A, ad F, A, simul sunt ut productum ex D, & quadrato B, denominatum per Q N, ad M, denominatum per N ; & multiplicando per N C, ut pro ductu explano DC, & quadrato B, denominatum per Q, ad planum M C s sunt autem F, A, simul ad E, ut M P QP I C, ad B, ergo ex aequo A, ad Ε, sunt ut productum explano DC , & quadrato B, denominatum per Q. ad B;& diuidendo per B, ut productum DC B, denominatu per in ad unitatem; videlicet ut productu DCB,
ad Q; est autem Κ, aequalis plano DC; & Q, aequalis plano BL ; ergo A, ad Ε, sunt ut productum K B , ad productum B L ι & diuidendo
79쪽
In quo de Fractionibus agitur, quas denominant mimeri solidia Demonstrantur Additiones in propositionibus S.I .LO.
Quadraturae vero in η. II. L ,2 . . i
Si quatuor magnitudines bina steaqualiter excesserint,planumsub maioribus excedit planum Ab minoribus plano sub eodem excessu, re aggregato maxima, re minima.
SIx E, excessus A, B, aequalis excessiti C, D. Dico excessum planorum AC, BD, a qualem esse plano sub E, & aggregato A, D . Quoniam E, est excessis
80쪽
Arithmeticae. 6 IE. A. I. B. a. .' et D. D. . .
C, planum E A , est excessus planorum C A, D Ar& quoniam E, est excessus A, B, planum E D, est excessus planorum DA, DB; ergo colligendo plana EA, ED, simul sunt squalia excessibus planorum C A, DA, DA, DB; videlicet uni excessui planorum C A, B D , plana vero E A, E D, sunt aequalia plano sub E, & aggregato A, D; ergo excessus planorum C A, B D, est aequalis plano sub E, & aggregato A, D. Quod,&c.
Numerorum Arithmetice dispositorum argregatum est aquale dimidio plani sub multitudine , se aggregato extremorum.
L A. a. I. 8. II. Iq. B. II. C. q. D. 2.SInt numeri Arithmetice disposti, quorum primus A, vltimus B, & multitudo C. Dico aggregatos aequales esse dimidio plani sub C, & aggregato A, B. Sit primo C, par cuius dimidium D ; quoniam numeri A, B, &int crine iij totidem sunt, quot unitates in C; ergo bini totidem sunt , quot unitates m Dpbini autem tum extremi A , B., tum ab extremis aequaliter distantes inter se sunt aequales; ergo omnes aggregati sunt ad aggregatum extremorum A B, ut D, ad unitatem;& Omnes aggregati sunt aequales plano sub D, & aggregato extremo rum , videlicet dimidio plani sub C, & aggregato A, B. a Sed -