Nouae quadraturae arithmeticae, seu De additione fractionum : Petri Mengoli

81쪽

A. 2. I. 8. II. B. I . C. F. D. q. E. RSed esto C, impar,& unitate dempta fiat D, par: quia excessus extremorum est multiplex excessiis consequentium per D , ergo excessus extremorum A, B, est par; &duplum A, est par, ergo aggregatum extremorum A, B, est par; cuius dimidium sit E : igitur E, medius est inter 'Arithmetice dispositos ab A , ad B;& ad E, bini thmia extremi A, B , aggregati, tum aequaliter distantes ab extremis dupli sunt; ergo omnes aggregati praeter E, ad Ε, sunt ut D, ad unitatem,& componendo omnes ad NE, sunt ut C, ad unitatem, ergo omnes aggregati sunt

aequales plano sub E, & C; dimidio videlicet plani sub aggregato A, B,&C. Quod,&c.

Theor. 3. Prop. 3

Dissositis iarithmetice quotcunque numeris, differentia planorum sub primis, sultimis ad aggregatum omnium prater primum, oe ultimum sunt, ut duplum excuses ad unitatim. l

NVmerorum Arithmetice dispositorum duo primi sint A, B, duo ultimi C, D,& consequentium excessus E. Dico differentiam planorum DC, AB, esse ad

82쪽

Arithmeticae. 63

ad omnium aggregatum praeter A, D, ut duplus E, ad unitatem. Quomas an .r in alas excessus D, C, B, A, vicissim etia sunt aequales excessus D, 3, . C, As sit F, excessus D , B, vel C, A ; ergo excessus planorum D C, AB, est planum sub I ,& aggregato A, D, vel B, C: fit G, multitudo omnium praeter A, D, cuius dimidium Hiergo aggregatum Omnium praeter A, D, est planum sub H, & aggregato B, C; & est planum sub F, & aggregato B, C, ad planum sub H ,& aggregato B, C, ut F,adH : & quoniam F, toties continet E , quot G, unitates; ergo F, ad G, est ut E, ad unitatem ; est autem G ad H, duplus ι videlicet ut duplus E , ad E ; ergo ex aequo inperturbara F, ad H , est ut duplus E, ad unitatem ; ergo excesius planorum D C, A B, ad aggregatum omnium praeter A, D, est ut duplus E, ad unitatem . Quod, &c.

Theor. 4. Propos .

Dipositis Arithmetice quotcunque numeris, unitates denominata solidis eorum de consequentium sunt aquales aggregato ex iu-c termedist dispositis denominato per pla planum ex binis extremIs.

Sint unitates quotcu nque A, denominatae solidis com sequentium Atithmetice quomodolibet dispoctorii. Dico A,aequales esse aggregato eorumdem dispositorum Praeter extremos denominato per plano planum binorum extremorum. Sint B, totidem excessus alternorum in eadem dispositione ij Idem solidis denominati:& quia

83쪽

eonsequentium Arithmetice dispositorum exeessus sunt aequales s etiam alternorum excessus aequales inter se sunt; & singuli dupli sunt ad excessum consequentium; ergo singulae B, ad singulas Λ, sunt ut duplum excessus eonsequentium ad unitatem; & colligendo omnes B, ad omnes A, sunt ut duplum excessus consequentium ad Prop.3.2. unitatem , videlicet, ut excessus planorum sub binis extremis ad aggregatum omnium disipositorum praeter extremos ; & diuidendo per planoplanum ex binis extre. mis, ut excessiis planorum sub binis extremis eorumdeplanoplano denominatus ad aggregatum omnium pra ter extremos pariter denominatum: sunt autem omnes B,aequales excessui planorum sub binis extremis eorum dem planoplano denominato;ergo omnes A,sunt arquam les aggregato omnium praeter extremos denominato per planoplanum binorum extremorum. Quod,&c..

Unitatum, qua denominantur solidis Omniu

consequentium ab unitate, quotlibet a priama sunt aquales producto numeri multitudinis ipsarum in numerum ternario maι rem , denominato per quadruplum eiusdem

producti, addito semper δ.

. Sint

84쪽

A. I. a. E. 3. D. q. C. F. F. 6.

SInt A, numeri consequentes ab unitate 3 & B, unitates denominatae solidis consequentium A; & num tarus multitudinis B, sit E , qui ternario audius fiat F ; &productum ex E , an F, sit G; cuius quadruplum au ctum numero 8. sit I , & ex denominatione Gi per l, fiat fractio K. Dico , quod aggregatum omnium B, est ar tu Ie K. Numerorum A, sint D, C , duo, qui sequuntur Et quoniam numeri A, terni denominant singulas Bi ergo multitudo numerorum A, qui denominant B, binario superat multitudinem B; videlicet numerum E; est autem C, qui binario excedit E ; ergo C, est multitudo nume. rorum A, qui denominant B; & sunt in A, omnes num ri ab unitate ; ergo dispositorum in A, usque ad C, sunt vltimi C, D; primi unitas, & et 3 & extremi unitas, & C rst M, planoplanum sub D, C, a. & unitate; & L, sit aggregatum reliquorum, praeter unitatem,& Cir ergo B, psunt aequales L, denominato per M: & quia C, binario, '& F, ternario excedunt E e, ergo F, excedit C, unitate;&F, aequalis est C,& unitati; vel D,&binario; ergo planu piopE F, videlicet numerus G, duplus est Lr item excessus p plani D C, super binarium planum videlicet unitatis, di binarij) duplus est eiusdem L, ergo C, est excessus plani DC, super binariti; & planii DC, excedit G,per binariu;& quadruplia DC , excedit quadrupluG, per 8: est auteI, qui excedit quadruplum G , per 8: ergo I, est quadruplum plani D C, vesdupsum planopiam 4sub D,C, a.&vnitate: ergo I, est duplum Mi, & G,ad L, est vi I, ad M. & permutando, G, ad I, est ut L, ad M* πgo L,denomi- . . natus per M, videlicet agi regatum omnium B, est aequa-la G, denominato per I, videlicet fractioni R. Quod, c. . I Theor.

85쪽

Theor. 6. Propos S

Vnitatum,qua denominantur solidis omnium conseras sentium ab unitate , quotlibet assumpta aprima sunt minores quarta parast

vnitatu. Sint C,quotlibet v nitates denominatet solidis omnium

colequentium ab unitate sumptae in multitudine numeri D. Dico C, aggregatas minores esse quarta parte unitatis. Fiat B, ternario maior D & planum BD, sit, ; cuius quadruplus E; qui auctus numero Rsit F: ergo A, ad F, minorem habet proportionem, quam ad E dc est Λ, ad Ε, ut unitas ad q. ergo A, ad F, minorem habet, quam unitas ad 4. & A, denominatus per F, est m Prop. 1. nor quarta parte unitatis; sunt aute C, aggregatae aequales A, denominato per F; ergo C, aggregatae sunt mino res quarta parte unitatis. Quod, &c.

n. 31. 3. 'de eonnat uritates , qua denominantur solidis omium numreorum ab unitate dias se in

. a. 3. D. q. D

Corollarium Primum.

86쪽

spositas in infinitum, oe aggregatas esse

finita extensionis.

Corollatium Secundum.

Paut etiam, quod etnitates denominata Ioli- pr. 1 r. sis omnium numerorum a b unitate sunt

in aliqua multitudine a prima , qua impunt quamurit propositam extensionem minorem extensione dispositarum earum dem in infinitum.

Probi. i. Prop. I.

Datis duobus numeris alium inuenire, qui non minorem uno dato metiatur 'r se ipsum auctum astero dato.

SInt dati Α, Mi opportet numerum inuenire. qui non minorem dato A, metiatur per seipsum auctuin dato M. Fiat B, dati Α, quadruplus;&C, summa ex qua drato M,& Bi& numeri C, sumatur latus, vel radix

87쪽

Novae Gadratura

quadrata D; & sit numerus E, non minor Di a quo subtrahatur M ; I residui F, dimidium sit Gi& Η, sit num rus non min6r G: Dico Id ounicium hon min rem A, per seipsum auctum numero M ; fiat Κ, aggrega

tum ex H, & M ; & ex ductu H, in Κ, fiat L; ergo L, est mmpositus ex quadrato H i&plano MM : dc quoniar. H, non est minor G; & est duplus G, aequalis F. I & F, auctus M, est E; &'E, non est minor Di ergo duplus Η, auctus M, qon est minor D; & quadratum dupliH,alactilia, non est minus C;est autem quadratum dupli H,aucti M, equale quadrato M, quadruplo quadrato R,& qua druplo plano MIAE& sunt quadruplum quadratum quadruplus planus M H, aequales quadruplo L; srgo quadratum dupli H, aucti M, est aequale quadrato M, &quadruplo L; ergo quadratum M, & quadruplus L, non sunt minores C i & ablato communi quadrato M, qua druplus L, non est minor B ; & duidendo per q. numerusL, non est minor A. Inuenimus ergo numerum H, qui metitur L, numerum non minore A, per seipsum auctum numero M. Quod,&c. χι 'οῦ ,

Vnitates rinominata solidis omnium numerorum ab unitate in infinitum disposita, gregata sunt aquales quaria parti

unitatis. Sint

88쪽

S Int in A , dispositae in infinitum, & aggregatae unita

tes denominatae solidis omnium numerorum ab uni. tate. Dico A , aequalem eue Alias erit Asemaior, vel minor sit hiator, igiturim aliqua uirilistudiue sumptae a Cor. a. prima unitates in A , dispositae implent O. sit huiusmodi py'ps multitudinis numerus B, qui adiecta unitate fiat C; er o

aliquot vn tales in A. dispositae rumptae a prima in iam

tu dine numeri C, sunt maiores quod est absurdinson Prop-9 r. Est igitur A, maiord sit minora datu proporticinemi- Pr. 1 f. a. tisis inaequalitatis:A,ado, inueniatu altera natior, qu siit numeri J, quem numerusq. methatur per D,RAE' ni, late maiorem ; & ipsius D, sit tityliis F ι & inuentatur Prop. 7.z. numerus G, qui Uetiatur numer i hon minorensa per se ipsum auctum ternarios Alamantur unitate iis, dispositae a prima in multitudine numeri cis assum usumma sit sq: constat H,esse portionem ipsius A; & aequa. Prop. .et. lem producto ex meto G, in se ipsum ternario auctum denominato perquadrupluim eiusdem producti addito 8. quia autem productum ex G , in se ipsum ternario aucta non est minus F ; eriain denominatum per quadruplussi Pr. 44. i.

eiusdem producti addito S non est minus F,denominso per quadruplum F, addito 8; & diuidendo utrumque

numerum fra ctionjs per. 8. non est minus D,denominato per quadrupluD , auctu vntrate, ergo H, non est minor, D, denominato per quadruplum D, assctum nitates est .a. . oret autem I, quadruplus D; & I, auctus , nitate est EI zrgo. r. . et M lH , non est minor D, denominato per Er sed quia D ad I , est ut unitas ad εἰ vel ad unitatem i&I, ad Ε, malin rem proportionem habet, quam Α, ad ἔ, ergo ex aequo in perturbata D, ad Ε, vel D, denominatus per E, ad unitatem habet maiorem proportionem ,quam Ai maior C. i igitur

89쪽

Igitur in D,denominatus per E , quam A ι di non est Himinor D, denominato pera ergo H, est maior A, pars, toto i quod est absurdum: non igitur A, minor est i ι n que maior; ergo A, est aequalis ἔ. Quod , &c

Τheor. 8. Propos. 9.Vnitatum, qua denominantur solidis omnia

numerorum consequentium ab unitate,

quotlibet assumpta a prima ad Iuccedentes in in itum sunt, ut productum ex num re multitudinis ipsarum in si inum urna ris auctum ad binarium.

im T Nitatum denominatarum solidis omnium numero V rum consequentium ab unitate sint Α, assumptae a prima in multitudine B ; & residuae in infinitum sint diaspositae, & aggregatae in E & B, ternario auctus sit C sdi ex B, in C, fiat D. Dico A, ad E, esse vi D, ad bin Prop. o. rium. Fiat F, quadruplum D , auctum 8: constat A, Prop.8.1. aequalem esse D, denominato per F; & aggregatas A, E, aequales esse unitati denominatae per g. sed quia, ut uni eas ad ita se habet D, binario auctus ad F; unitas d nominata per que videlicet aggregatae A, E, sunt aequales D , binario aucto denominato per F; ergo A, ad aggre satas A, E, est ut D , denominatus per F, ad D, bina

90쪽

rio auctum denominatum per F ; & multiplicando per F, ut D , ad D , binario auctum, e go di.idendo, A, ad E , est ut D, ad binarium. Quod, &e.

Vnitatum, qua denominantur Iolidis omniunumerorum ab unitate, quotlibet assumpta a prima ad ultima assumptarum sunt, ut aggregatum ex cubo numeri multitudinis Usarum , ου triplo quadrati eiusdem ad quaternarium.

SInt unitatum, quae denominantur solidis omni uni merorum ab unitate, quotlibet assia mptae A , secundum numerum B & vltima assumptarum sit C. Dico A , ad C, esse ut aggregatum excubo B,& triplo quadrati B, ad A. Sit D, numerus ternario maior B; & sint E, F, qui proxime succedunt ipsi B, in ordine omnium num rorum ab unitate r constat F, E, dispositos esse Arithm tice, ut binarius,&vnitas;& permutando. F,& bina. rium esse Arithmetice, ut E,& unitas,& communem excessum esse B; ergo planum F E, excedit planum sub Prop. 1.1. binario, & unitate, plano sub B,& aggregato ex F, &vnitate ; videlicet plano B D ergo planum B D, auctum binario est aequale plano F E: di quia B, est multitudo ipsa-