장음표시 사용
101쪽
PROPOS. 6. THEOR. Si recta linea bifariain secetur , & illi rectit
quaedam linea in reettim adiiciatur. Reet gulum comprehensum Iub tota , & adiecti tanquam una linei. & adieeta, tanquam autera, Una cum quadrato a dimidia destris pio , laequale est quadram quod ex dismidia, & adiecta ; tanquam una linea, de
SEcetur recta AB , bisariam in C. ti ei in rectunt adiiciatur BD. Dico rectano uicinu comprehhri sum sub tota composta AD, & adici i DB, una citu quadrato dimidiae CB,aequale esse quadrato lineat CD, ou quae G d simia Cis, & adit eta AD , flamiram una linea
componitur. Probatur. De. scriblinir nanque C E , ca I quadratum super CD,&du-ὼiametro DF, ducatur ex B, recta BG, cb parallela rectae DE, secans diametrum DF , in H, puncto,per quod punctum rursus ducatur I Κ, parallela rectae CDc Item ex A,rectae CF,a Gatur parallela AL , secans IK . productam in puntio L. Erunt igitur per Corollarium I. Propos. . huius lib. BI,ΚG, quadrata , ideoque recta DI, rectae DB , aequalis : cc est aurem & ΚΗ, rectae CB , aequalis : quare rectangulum AI, comprehendetur sub rectis AD, DB ; & κG, erit quadratum rectae CB . Probandum itaque est rectangulum AI, una cum quadrato RG , aequale esse quadrato C E, quod tali er demonstratur. Quoniam
102쪽
vero parallelogrammiam AK , cd aequale est paralis Iograivmo CH quod sin' super aequalibi is basibu , Rin eisdem parallelis : Est autem & parallelaoram. mum ΗΕ, feJ eidem CH, aequale, sunt enim duo complementa ; erunt ΑΚ,& HE, aeqiralia inter se. Addito ergo communi CI, erit rectangultim AI, Gnomoni v No, aequale. Quocirca cum Gn imon MNO, &quadratum ΚG , quadrato CE , sint aequalia , partes omnes,& totum ; erit Ze reviangulum AI. una cum eo- idem quadrato ΚG , eidem quadrato CE aequale. Ita. lque si recta linea bifariam seeetur , & illi recta qua dam linea in rectum adiiciatur &c. Quod erat ostemdendum.
si recta linea utcunque secetur; Qtaod a tota, quodque ab uno segmentorum utraque si- mul duo quadrata, aequalia sunt & illi, quod' his sub tota, & dicto segmento chmprςhen diitlr , rectangulo , di illi quod a reliquo segmento fit, quadrato.
SEcetur recta AB, utrunque in C. Dico quadratum totius r&quadratum unius segmenti sive'
maioris , liue minoris, tagmpe
AC, aequalia esse rectangulo bis comprehense sub to a AB, & dicto segmento AC, una clim qua orato reliqui segmenti CB Probatur . Describatur enim si per AB, ca quadratum AD, ducia '' qque diametro BE, ex C, b)du 's A scatur CF, parallela rectae ΑΕ, secans diametrum in puncto G, F a pςr
103쪽
per quod agatur ΗΙ,parallela ipsi M .Erunt i me in Coroll. I. Propos. 4. huius lib. CI, & ΗF, quadratat Et quia recta GH, c aequalis est reme AC, eris HGquadratum segmenti ΛC Ralsus quia AE , aequalis est ipsi ΑΒ, et it rectangulum AF, comprehensium sissitota AB, 3 segmento AC. Eadem ratione rectangulum ΗD, comprehensitim erit sub eisdem rectia ARAC, eo quod rectae DE, EH, ae uales sine rectis AB, AC, ob Madrata AD, & FΗ. Quoniam igitur retanstulit AF, FI, hoc est Gnomoni XIM.*na cum quadrato CI, aequale eit quadratum AD, scilicet partes omnes, totum; si apimatur commune ciuadlatum H F, erunt quadrata AD, ΗF, aequalia quaqraeo , , una cum rectangulis AF, FI, & quadrato CI; sed quadrato H F, & rectanguinis AF, H, a lia sunt duo rectangula ΑF,BDquorum quodlibet,ut visum est, comprehenditur sub tota AB,& segmento AC; ir mr duo suadeata AD, H F aequalia erunt duo nisi re ctangulis seb tota ΑΒ legi' to m,compreheosis, una cum quadrato reliqui segmenti CB. .Si ergo re cta linea secetur utrunque, &c. Quod erat oste
quater comprehensum sub tota, & uno seg- mentorum, cum eo, quod a reliquo segne to
fit quadrato, aequale estes, quq d a tota, S: dbω segmento, tanquam una linea Ocribitur,
104쪽
i inmeiato, nempe CB, una eum quadrato reliqui seg. menti - , aequale esse qua- . Π drato lineae, qtiae ex recta AB,& dicto segmento CB, com- 'M Ponitnr. Prob. Pr eatur - m enim AB, versus partem seF menti CB, nempe ad D , ita
ut BD , producta sit aequalis lsegmento CB; & postea seper
dratum AE. Ducta autem diametro D F, ducanturimi.
BG, CI, parallelae ipsi DE,secantes diametrum inli, 3r.DI. punctis Α, & Κ, per quae durantur denuo cel LM,OP,le parallelae ipsi AD, quae secent priores parallelas in N,& in trunt ieitur per Coroll. r. Propos 4. huius ii, Mi ΟΙ, Nin BM, LG, CP,cirea diametrum DF,qtia-drata. Et quia Κ, N/aequalis est rectae AC, erit d 3 pN OI, quadratum segmenti AC. Rursus quia NH, eyle 3 ea'ualis est rectae CB, erit N i. Quadratum stementi CB, ideoque quadrato BM, aequale, eam rinae CB, BD, aequales sint. Quare rectae BH,HQ, aequales sunt segmento CB; atque adeo duo rectangula AH, LQ, sita in parallelogrammo. Eadem ratione erunt duo rectangilla NG, HE, comprehensa sub ΑΒ, & CB, elim Nu, ΗΜ, rectae g mauales sint rectis CB, Biniis ... at 3 3& rectae GH, EM, rectae ri, hae est rectae LΗ, hoc est rectae AB Et quia quadrata Nin BR aequalia sunt; si addatur eommune ΚG, erunt ΒΜ, ΚG, smul taequalia rectangulo in . Qiapropter quinque re- I
elangula AH. LQ, HE, BM, & xG;gnomonem RST, componentia aequalia sint reci angulo quater Compre- 'henio sub tota AB, & segmento CB. Cum igitur gnomon RST, & quadratum OI, aequalia sunt quadrato AE,erie rinangulum quater comprehensum subdara recta AB, & segmento CB, una cum quadrato re . I F s
105쪽
tinui dimenti Ac , aequale quadrato Iineae AD, eon positae qx AB,& dicto seg nemo CR. Quare si rectalis*a utcunque se lux, &c. Quod erat demonstra,
Si recta linea secetur in aequalia, & non aequalia: Quadrat , quae ab inaequalibus totius linh. ' inmitis fiunt simul, duplicia sunt & eiii quod a dimidia, &eius quod ab intermedia' scisti um fit, quadrati.
SEcetur recta AB, bifariam in C, & non bifariant in D. Dico, quadrata segmentorum inaequalium AD, Bia, simul dupla esse quadratorum , quae fiunt ex dumidia A &dic inter media fiationum CD, simul.
t rt Prob. Educatur enim ex C,
ad AB, a perpendicularis CE, quae sit aequalis dimidiae AC, vel CR ducanturque rectae EA, EB . Deinde ex D, ducatur quoque ad AB, perpendicularis DF, secans EB,: in punctos, per quod ducatur FG, parallela ipsi AB. sς Pns CE, in G, puncto, 8e demum ducatur AF. muniani igitur in triangulo Α , latera CA, CE, aequalia sent per constructio nem, O erunt anguli CAE, CEA, inter se aequales: Esti autem anpilus ACE, rectus, cum CE, sit perpen dicularis; reliqui igitur c angulii alium rectum eoar. ficiene ; ideoque AEC, semirectus erit. Eadem ratione angulus BEC, erit semirectusne propterea totis Angulus ΑΕΒ, ex duobus semirectis repositus,rectus erit. Rursiis, quia triaguli FGE, angulus EGF,aequalis est recto ECB, cd externus interno , & opposito: γ . ce erunt
106쪽
ea eriint reliqui duo anguli GFE, G SP, uni recto aequ ales : ostensem autem est, angulum GEF, esse sem rectum; igitur & GFE, semirectus erit, proptereaque anguli EFG, GEF, aequales erunt, ideoque& latera EG,GF, aequalia inter se erunt. Eiaem prorsus modo ostendetur in triangulo BDF, latera BD, DF, aequalia esse . Nam angulus p DF, est rectus, cum DF, sit perpendicularis, & B, scinirectus , &c. Itaque cum in triangulo ACE, angulus C, reetus sit,cga erit quadratum Iateris ΑΕ, aequale duobus quadratis laterum AC, CE. A qui haec duo quadrata inter se sunt aequalia, quod & lineae AC,CE, sint ostensae aequales. Igitur quadratum lateris AE, duplum erit quadrati lateris AC. Rursiis quia in triangulo EGF, angulus C, rectus est h) erat quadratum lateris EF, aequale duobus quadratis laterum EG, GF : At duo haec quadrata sunt inter se aequalia ob aequalitatem linearum EG, GH Igitur quadratum lateris EF, duplum erit quadrati lateris GF , hoc est quadrati Iineae CD, Est enim recta CD, i aequalis rectae GF; eum CF, sit parallelogrammiam . Gare duo quadra. ta restartim AE, EF, dupla erunt quadratorum linearum AC, & CD: sint autem duo quadrata rectarum A E,& E F, aequa lia va quadrato rectae R F; &quadratum rectae AF, aequale est duobus quadratis rectarum AD, DF ; Igitur & duo quadrata rectarum AD, DF, dupla sunt quadratorum rectarum Α CD. Atqui quadratum rectae DF, aequale est quadrato rectae D ostensum enim est, rectas DF , DB , esse aequales. Quare duo quoque quadrata rectarum AD, DB, segmentorum inaequalium dupla sunt quadrat mira rectarum AC, CD, dimidiae scilicet lineae , &inter mediae sectioniim. Si ergo recta linea secetur inaequalia.&non at pialia, &α inia' erat demon strandum.
107쪽
PROPOS. Io. ΤHEOR. Si rei ta linea bifariam secetur, & es in rectunt alia quaepiam linea adiiciatur: Quod a tota, cum adiuncta tanquam una linea,& ab adiuncta, utraque simul quadrata, duplicia sunt. δρeius, quod a dimidia, & eius, quod a compinsita ex dimidia, & adiuncta, tanquam ab Vn
j linea, descriptum sit, quadrati.
t c Eceuir recta AB , bifariam in C , & ei In rectum
I addatur BD. Dico, duo quadrata rectarum AD,& BD , simul, dupla esse duorum quadratorum fimul, quae ex rectis AC, CD, describuntur. Probatur. S per ΑΒ,ex puncto C, ca) eri-
πε 'na gatur perpendicularis C E, , . ' quae sit aequalis dimidiae AC,
vel CB, iunganturque rectae; AE, EB. Deinde per Dra M. ducatur D F, ipsi CE , --α rallela, occurrens rectae EB, protractae in G , puncto a L . & per E , rectae C D , p rallela ducati ir E F , secans DF. in F, puncto, iunga- tui qtie recta AG . Ostendetur iam, angulum Ata, esse rectum , ut in praeredenti Propos. & CΕΒ, semi-reetiina ; ideoqtie Q eius alternum EGF , quoque Omireetum : est autem angulus F, cea rectus , cum in Parallelogrammo CF, opponatur angulo C,qui factux est reditu : Igitur d & reliquus FE G, semirectus erit, ac propterea ipsi EGF, isqualis. Quare et rectae. EF, FG, aequalibus angulis oppositae, inter se aequaIesierunt. Eodem modo ostendes ,rectas BD , DG , esse aequales , ea eo quod angulus BDG , sit rectus, BGD,
108쪽
semire. M. Quoniam igitur quadratuin re AE , aequale est quadratis aequalibus rectarum aequalium AC, CE s erit quadratrum rectae AE . dupliim quadrati rectae AC. Rursus quia quadratum inctae EG , g est aequale duobus quadratis aequalibus rectarum aequalium EF , FG s erit quoque quadratum rectae EG , duplum quadrati rectae EF , hoc est rectae CD , cum CD , ch recta aequalis sit rectae EF. Duo igitur quadrata rectarum AE , EG, dupla sint quadratorum ex rectis AC, CD deseriptorum. Ainai duobus quadratis rectarum AE , EG , e i aequale est quadratum rectae lineae ma & qiiadrato rectae lineae ΑG, aequalia sunt duo quadrata, quae ex duabus lineis AD, DG . describuntur c angulus enim D est rectus. Quadrata ergo rectarum AD, DR, dupla sunt quadratorum ex rectis AC, CD, descriptorum . Demum cum quadratum rectae DG, aequale sit quadrato rectae BD, ob linearum aequalitatem, erunt quoque quadra ea rectarum AD, DB, dupla quadratorum, quae ex re ctis AC, CD, destribunenr. Itaque si recta linea smeetur bifariam dec. Quod demonstraadiun-
Datam rectam lineam taliter steare , ut rectam gulum comprehensum sub . tota , & altero segmentorum, aequale sit e, quod a iniquo segmento fit, quatiata.
m sit recta AB, quam secare oportet in duas partes, ita ut rectangulum comprehentum Iuditota, di altero eius segmento, nempe minori, misit quadrato reliqui Iegmenti, nempe uiator . V l
109쪽
. producta aequalis sumatur EF; de ipsi AF , abscindatur ex dat ea recta AR aeqvali, AG Quod I fieri pol ut cum AA , maior sit quam A R: nam cum E B , fid. aeqlialis ipsi EF, ex construelio es nes ca) sint autem latera ΛΕ, AB, mistra latere EB : erunt quoque rectae EA, MAB, Daim es recta E F a ac proinde ablata corimunt ΑΕ, 'liqua AB, maior erit rAiqua M .i Dico retiam ΑΗ , esse in G, taliter . At re,ngulum sub AB, , - , comprehensum, aequale id quadrato reo diae AG : adeo ut Aa, firmarias mentum , & BG, minus . inobatur A Dacatur enim petra recta HI, paralle u rςctae lassi , secans CD , itaret, aper FMMais tur inhui, AG, parallela secasu puncto. Erit igitur parallelograminum AH, quadratum segmenti AG , cum omnia eius quatuor latera sint aeqlla. lia , cum ib) FΗ, ΗG. aequalia sint oppositis AG, AF, pariter muψibus, omnes gangsi Hii' inaetii ob rectum Α, et in Corollisio i,. Propos. Illi primi habetur. Rectangulum quoque CG , comprehensum
letit hib ΑΒ , di segmento BG , quiri AB, aequalis set ipsi hC. Quare probandum est rectangulam CG &Α ., aquaila eM . Quoniam igitur recta . DA,est secta bisaris in vidita fuit in rem ΑF, c erit reetangulum sud DF,& sA, hoc est rectangulum D H, c cum FH, sit aequalis ipsi FΑ a una cum quadrato dimidiae ΑΕ, aequale quadrato retiae EF,hoci citi drato rsetae EB, quae e EF . aequalis est pero 67-ρυ- l dobstrudi,onem. Est autem quadratum re EB, do aequale quadratis revirum ΑΕ, ΑΒ. Quare rectan Mum DH, a cum quadrato rectae ΑΕ,aequale quo
110쪽
commani quadrato rectae AE , remanebit rerungu- .ium DΗ, aequale quadrato rectae AB, hoc est quadra- tolACs Ablato rursus communi rectangulo AI , re-- manebunt rebangulum CG , &quadi,uin AH , in-at ter se aeqtialia. c d fuit prophsitum . Datam igi-a; . tur rectam ΑΒ taliter scedimus 3α.Quod erat facien
ι Hoe problema nulla ratione numeris aecomodari potest , ut monet Clauiux in hoc loco, & demonstrat ad Propos. I . lib.9. Siquidem numerus nullus potestraliter in duos diuidi, o numerus proiitinus ex doto id alteram partem aequalis sit quadrato alterius partis. Quod sine non accidis in ro. antecedentibus theorematibus, quae lib. s. in numeris clarius demonstran- i
In ambimonias triangulis , quadratum, quod fit a latere angulum obtusum G endente, maius est quadratis , quae fiunt a lateribus obtusum angulum comprehendentibus, re ,. elangulo bis comprehenis; & ab uno lat . rum, quae sunt circa obtusiim angulum, in quod cum protractum fuerit cadit perpen-l
dicularis, & ab assumpta exterius linea subi perpendiculari prope angulum obtusum, f
sum , & ex Α, in latus BC , ad partes angi l l Dbtusi protralium cadat perpendicularis A l . Uco qua'