장음표시 사용
71쪽
Ex hac Propos. colligitur , tres angii Ios etiaiuslibet trianguli simili sumptos aequales esse tribus anetulis cir uscunque alterius trianguli simul sumptis. Quia omnes sunt aequales duobus rectis. Unde si duol anguli unius trianguli fuerint aequales duobus angulis alterius trianguli, erit & reliquus illius, reliquo huius aequalis. aequiangulaque erunt ipsa triangula.
Constat etiam in ivnni triangulo i scele, cuius amgulus a later bus aequalibs comprehensis rectita fuerit,l quemlibet reliquorum esse semirectum. Nam si reli- a1,.ν i. duo simul conficiunt unum rectum , a cum om- ' ' nea tres sint aequales duobus rectis, & tertius ille po-b-l natur rectus. marecb cum reliqui duo sint aequa-lles, erit quilibet eorum semirectus. Si vero angulus fuerit obtusus, reliqui duo anguli aequales , semirectoi minores erunt, & e contra si erit acutus.
Pariter perspicuum est in triangulo aequilatero, qtiemuis angulum esse duas tertias partes unius recti, vel tertiam partem duorum rectorum; nam duo angu-m guli recti diuisi in tres angulos faciam duas tertias Par . - tes unius resti,
72쪽
Rei e lilaeae, quae squales, & parallelas lineas ad easdem partes coniungunt ; & ipsesquale , di paralleis sunt.
SInt rectae linae AD, BC, aequa Ies, & parallelae, ip-
fas autem coniuno ant ad easdem partes rectae AB, DC. Dico ipsas AB, DC, aequales quoque esse,& parallelas . Probatur. Ducatur enim recta BD. Quoniam igitur BD, incidie
erunt anguli alterni ADB, DBC, inter se aequales .Quare clim duo latera AD, DB, tri anguli ADB, aequalia sint duobus lateribus, CB,BD,triangilli. CBD, utrunque vir lque;& anetuli quoque dictis lateribus inclusi aequalent. - . . b erunt bases AB, DC, aequales, & angulus ABD, 'ε' pr angulo BDC, aequalis. Cum igitur hi anguli sint alterni inter rectas AB, DC, c) erunt AB, DC, par l, s elelae : Probatum autem iam fuit easdem esse aequales. lRectae ergo lineae, quae aequales, & parallelas, &c. Quod erat demonstrandum.
PROPOS. 34. ΤΗΕΟ R. 24. Parallelogrammorum spatiorum squalia sunt inter se, que ex aduerso & latcra, & anguli; atque ilia bifariam secat diameter.
SIt paralleloerammum ABCD, quale definiuimus desinitione 31. Dico latera opposita AB,DC,nec D 4 . non
73쪽
non etiam AD, BC, inter se esse aequalia. Item ans, los oppositos B, D,& A, C, esse inter se aequales : De- nique ducta diametro BD, parallelogrammi im ipsum bifariam 4cari. Prebatur. Cum enim AD, BC, sint j parallelae 9 erunt anguli alterni ADB, DBC, aequa. Ies. Rursus quia AB, DC, sint parallelae, ba erunt ,&anguli alterni BDC, DBA,
CDB, DBC, trianstuli CDB, aequales sint duobus angulis ARD, BD , trianguli DAB, l Vterque utrique: & latus BD, dehis angulis adiicens , commune utrique triangulos i caerit recta AD, aequa lis oppositae rectae BC , & recta AB, oppositae rectar DC, quod est primum . Erit rursus eadem de causa angnius A. angulo C, aequalis. Ee quia si aequalibus angulis ADB, DBC, addantur aequales anguli ABD, BDC, d)toti quoque anguli ADC, ABC, fiunt aequales : constat secundum, angulos oppositos esse aequales . Quoniam vero duo latera AD, DB, trianguli ADB. aeqv lia sunt duobus late ribus CB, BD. trianguli CBD, utrunque utrique , &angulus ADB, aequalis angulo CBD, ut ostensum est; erae triangula D AB. DCB, aequalia , ideoque parallelogrammum ABCD, diuisum erit bifariam a di metro BD, quod tertio loco fuit propositum . Parallelogrammorum igitur spatiorum aequalia sunt inter se , &ς. ostendendum erat.
74쪽
clinem parallelis constituta, sit iter se cum aequalia. INter duas parallelas AB, CD, silper basi CD, mi stant duo parallelograinma CDEΑ, CDBF , di-Cuntur alitem parallelogramina in eisdem esse paral-Ielis, quando dua latera opposita partes sint parallela- Tum, ut in exemplo proposito cernitur . a Dico ipsa para llelogramma inter se esse aequalia,
aequale erit; ablato ergo communi triangulo EGF, g, i gremanebit trapezium ACGE, trapezio FGBD, aequa-lle: Quocirca addito communi triangulo CDG, fiet totum parallelogrammum CDEA , toti parallel grammo CDJ F, aequale. Parallelogramma igitur1uper eadem bas, de in eisdem parallelis constituta, inter se sunt aequalia . Quod erat ostendendum.
non quo ad angulos,& latera , sed quo ad
aream, seu capacitatem. Probatur. Quoniam igitur in parallelogrammo CD EA, recta ΑΕ, aa aequalis est rectae CD, oppositae,&e, dem CD, aequalis est opposita FB, in parallelo ram- Φmo CD FB ; b; erunt AE , FA, inter se aequales; si icommunis addatur EF, ca erit tota AF,toti EB,aequa- Iis 3 nec non etiam angulus BED, d aeqtialis est in terno, opposito FAC ue est autem AC, e ipsi ED, aeriualis.ouare trianoulum BF D. triangulo FAC, e f
75쪽
PI 'O POS. 36. THEOR. 26. Parallesogramma super aequalibus basibus, &in cisdem parallelis constituta, inter se . sunt aequalia, e Int duo parallelogramma ACEII, G D ; super
I amitates bases CE, & FD, inter easdem. parallelas AB, CD. Dico ea esse aequalia. Probatur. Connectantur enim extrema rectarum CE, GH, ad easden partes lineis rectis CG, EB. Quoniam igitur recta CE, aequalis ponitur rectae FD, & eidem FD,ca aequalis est G B, in parallelogramnq GF DB, oppos,la; πι erunt CE, GB, aequales inter se: sene autem & parallelae per hypothesin. Quare MCci, Eli, ipsas conitingentes, scJ parallelae erunt, & aequales,ideoque CEBG, parallelogrammum erit. Itaque cum parali clogramma ACEH, GCEB, sint inteleasdem parallelas , & super eandem basin CE, da erit parallelograntinum ΛCEΗ , parallelogrammo G c ΕΗ, a qtiale. Eu susquia patallogramma GCEB, . GFBD, sunt inter easdem parallelas , & super ean- idem basin GB; e erit quoque parallelogrammunal GF DB , eidem parallelogrammo GCER , aequale. Quare de parallelogramma ACE H, GF DB, cf inter se aequalia erunt. Parallelogramma igitur super aequalibus basibiis ,& in eisdem parallelis constitii-ta, &c. Quod ostendendum erat.
76쪽
Triangula super eadem basi constituta, & in
i cisii parallelis,inter se sunt
INter parallelas AB, CD.& superbasin CD , sint
constituta, duo triangula Λ C D , B C D, cdicitur autem triangulum inter duas esse parallelas
' constitutum, quan is basis est pars
n unius, & angulus oppositus alteram attingit. Dico ea triangula esse aequalia. Probatur. Perl
DB . M Erunt igitur parallelogramma ACDF, IbECDB, aequalia; lunt enim super eandem basin CD, i Q ' '& inter easdem parallelas AB, CD. Sed horum pa-lrallelogrammoriim dimidia sunt triangula Α D, BCD; e quod AD, BQ diametri bifariam secent parallelogramma ACDF, ECDB; Igitur & triansula ACD, CDB, cd a aequalia erunt. Triangulald 7.trr. vitur super eadem basi, & od erat demonstrandum
77쪽
p Ropo So 38. PROBE ag. Triangula super qualibus basibus conssii tuta, & in Esdem parallelis, inter se sunt et qualia.
I er parat telas AB, CD, & super aequies hasct
CE, FD, sint constituta triangula ACE, BFD. Dico ipsa esse aequalia. Probatur Ducatur enim ex C, linea CG, parallela ipsi FB, deinde a puncto G, ad punctu E , ducatiis linea GE . Quoniam vero CG, FB , sunt latera opposita in parallelogrammo GCF B;
L. Lia ae M aequalis est interno, &οP- posito GCE: iam habemus duo triangula BFD, GCE quae ha bent duo latera BF, FD, duobus lateribus GC , CE , aequalia alterum ait ri , & angulos dictis lateribus comprehensos aequales: o Quare ista duo triangulae aerunt aequalia. Sed etiam triangulum ACE, aequale est eidem triangulo
GCE quia sunt super eadem basi , & in eisdem p p . . tallelis a ergo etiam triangula ACE, & BFD, cd serunt inter se aequalia. Triangula igitur super aequalibus basibus, & in eisdem parallelia &c. Quod fuiti propositum .
78쪽
THangula aequalia super eadem basi, &adi easdem partes constituta in eisdem sitiat parallelis.
SInt duo trisngilla aequalia ABC , DBC, seper eandem hasin BC , & ad easdein partes. Dico ipsa esse inter easdem parallelas constituta, hoc est rectam ductam a puncto A , ad punctuin D , parallelam esse ipsi BC . Probatur. Si enim non est, caJ ducatur ex Α, parallela ipsi BC , quae
vel cadet supra Ala, vel infra Cadat primum supra,& st AE , coeatq; cum BD, protracta in E , ducaturque recta EC. Quoniam enim parallele ponuntur AE,BC b I erit triangulo B AC, laequale triangulum BEC . Est autem per suppositi Nem eidem triangulo BAC , aequale triangulum B . lIgitur c erunt triangula a 'EC, BDC, inter se aequa. Ita , quod est impossibile, quia BDC , est pars ,BEC. vero est totum. Si vero parallela cadit infra AD , ut in data figura est alia AE , facile erit eisdem rationi-hus demonstrare aliud absurdum , nempe triangulum BEC , aequale esse triangulo, quod est impossibile cum unum sit pars & iuiua totum . Erit igitur AD, parallela ipsi BC. Quare triangula aequalia super eadem basi &c. Qtiod erat ostendendum.
79쪽
Triangula aeqtraliasesuper aeoualibus basi; hus, &: ad easdem partes constituta, in eisdem sunt parallelis.
SInt dito tria oula BAD, GFC , super aeqirales bases BD, GC quae in eadem recta linea collo. centur a & ad easdem partes constituta. Dico ea esse 4n eisdem parallelis, hoc est rectam ex A, ad F, eo eatque cum CF , producta in E , & diicatur recta. 33.pH.l EG Quoniam igitur parallelae sunt AF, BC a aerie 'l triano ultim GEC, aequale triangulo BAD ; ponituri autem & triangulum G FC, aequale triangolo BAD: b X. p F. t Igitur triangula GEC, GFC , i b)erunt aequalia interi se, pars & totum. Quod est absilrdiim . Quou si vel ro parallela ducta per A , cadat infra AF , qualis est denuo alia A E , ducatii lia recta GE , erunt eadem,prorsus argumentatione triangula GFC, GEC , aequa- Iia , totum , & pars. Quod est absurdum . Est ipitur AF, parallela ipsi BC ; quare triangula aequalia super aequalibus basibus &c. Quod erat demonstrandum. ductam paralle
tam esse rectae BC. Probatur . Si enim non est, cadet parallela ducta ipsi BC,ex
80쪽
Si parallelograminum .cum triangulo eandem basili habuerit, in eisdemque fuerit parali lis ; duplum erit parallelograismum ipsius
INter parallelas AB, CD, & super basin CD, eonstituantur paralleloorammitin AC DE, & triangultim CBD . Dico paralle Iosia inmtim ACDE, duplum este trianguli CBD. Probatur. Ducta enim diar metro C E, in parallelox rammo ACDE, aa erunt ACE , ECD, aequalia: quare parallelogrammima AC DE, duplum erit tri-anstuli ECD : sed triangu- .
. . est triangulo C B D , cum rint si per eadem basi, S: in eisdem parallelis: Quare&trianstuli CBD, cc duplum erit parauelinram-mum AC DE . Quapropter si parallelograin mum cum triangulo, &c. Quod erat demonstrandum .
PROPOS. 42. PR OB L. II J ato triangulo ς quale parallelogrammum
constituere in clam angulo re itineo. DAtum triangulum sit BCD, & datus angulus l