장음표시 사용
121쪽
metris dicuntur similia, ve Ietiam quando in se retinent angulas aequam
PROPOS. I. PROBL. I. Dati circuli centrum reperire.
SIt datus circulus ADAE , citius centrum Dportet inuenire . Ducatur in datos circulo linea utcunque ΑΒ, ca quae bifariam diuidatur in C, de per C, ad AB, perpendicularis ducatur DE, utrinque in periseriae punctis D , E , te minata . Hac igitur bisariam se. Eha in dico T, esse centrum circuli propositi. Prob. In ipsa enim recta DE , aliud punctuin,
praeter T, non erit centrum, cum
omne aliud ptinctum ipsam DE, diuidat inaequaliter, nam solum in T, diuisa myt aequaliter. Si igitur T, non est centrum fit punctiim G, extra rectam DE, a quodu .antur tin ae G Α. GC, GR Quoniam ergo latera AC, CG, trianguli ACG, aequalia sunt lateribus BC, CG trianguli BCG, & basis AG, basi GA, sunt enim a centro ad circumferentiam b erunt anguli ACG, BCG, aequales ideoque recti: erat autem Mangulus ACT, remis ex constructione . Igitur duo
122쪽
afiguli recti AC R ACG, aequales erunt, pati, M to- ltum quod est absurdum . Non est ergo punctum G, centrum; eademque ratio erit de omni alio , praeterquam de ipso T; Quare dati circuli centrum reper,mus. Quod erat emiendum.
Ex hae Propos. manifestum est . quod si in eIreulo
recta aliqua linea aliquam rectam lineam pariter in circulo ductam secet bifariam , & ad angulos rectos, in secante esse centrum circuli. Nam ex eo quod DE, recta rectam AB, bifariam secet in C, & ad angulos rectos, ostensum fuit, punctum eius medium T , -- cessario esse circuli centrum .
PROΡΟ s. a. THEOR. a. si in circuli periseria duo qualibet puncta se rint acc ta; recti linea, quae ad ipsa pud'α adiungitur, intra circulum cadet.
IN circulo AEB, semantur quaelibet duo puncta Α,& B, in eius circumferentia. Dico rectam ex A. in B , ductam cadere intra circulum . itaut ipsum se cet. Probatur. Ducta recth linea AB, in ipsa assignetur quodcunque punctum nempe D, d inde a inueniatur centrum da-la 1 rarati circuli,&st C, a quo ducan-. - tiir rectae CA , C D T , & C B. Quoniam igitur in trianoulo ABC,duo latera AC, CB , sunt i aequalia , c siint enim a centro ad cireum sereni iam , angulus CAB, ba aequalis erit an-Ib 3. pari gulo CBA ; cum vero annulus GPB, o maior fit in-;c i. si ter-
123쪽
terno, & opposito C AD , d maior quodue erit an- eulo CBD. Q ita ergo in triangulo CDB. anguIus D, ostensus est maior angulo B, e etiam Iatus CB, maius erit latere CD, sed recta CB, aequalis est rectae CT, ob defin. circuli; ergo recta CT, maior erit re et a CD; quare cum CT, tota sit in circulo comprehensa, punctum D, erit intra circulum . Eodemque prorsus modo demonstrabitur reliqua puncta rectae ΑΒ intra circulum reperiri ; quapropter etiam linea recti AB, ab huiusmodi punctis constituta intra circulum erit. Quare si in circuli periseria duo quelibet puncta ,&c. Quod erat ostendendum. .
Si in circulo recta quaedam linea per centrum duet quandam aliani , non per centrum era, telisam bifariam secet; & ad angulos rectos ip- fainsecabit. Et si ad angulos rectos emta: .. talariam quoquς eam secabk. P Er centrum T, circuli ACBD, recta AB, extensa
diuidat rectam CD, non per centrum ductam,bia fariam in E. Dico rectam AB , esse ad angulos rectos ipsi CD. Prob. Ductis enim rectis TC TD, erunt duo latera EC, duobus lateribusTE, ED, aequalia; Se bases TC, TD, aequales. ca 3 Igitur anguli TE TED, aequales erunt, hoc est recti. Quod primo erat propositum ., it iam AB, ad angulos rectos ipsi CD, dico reetam CD, bifariam secari in E , a recta AB. Prob. Duc is enim iterum reis.ctis TC, ΤD; cum latera TC, TD, trianguli Τ CD, sin aequalia, b eruat anguli TCD, T DC, aequales.
124쪽
Quoniam igitur duo anguli TEC, WE, trianguli TCE, aequales sunt duobus anstulis TED, TDE,triansuli TDE, & latera TC,TD, quae rectis angulis aequalibus opponuntur, aequalia quoque: cco Erunt latera EU, ED; aequalia . Quod secundo proponebatur. Si igitur in circulo recta quaedam linea per centrum ducta , &c. Quod deinonstrandum erat. L Co ROLE ARIUM. Ex hac demonstratione sacile inseremus , in quovis triangulo duorum laterum . aequalium , lineam , quae hasim bisariam imat, perpendicularem esse ad balam Et e contra, lineam , quae ad basim est perpendicularis, basim saeue bifariam: ut patet in triangulo ae CD.
PROPOS. q. THEOR. s. Si in circulo dus recta line non per centrum
extenta sese mutuo secent: sese mutuo bifariam non secabunt. DVae rectae BC, DE, se mutuo in Α, sisne in cir lculo BDCE , non per centrum extensiae . Dico fieri non posse, ut sese mutuo bi. lfariam secent. Si enim una earum Per centrum transit, certum est eam bifariam non 'secari: solam enim in centro , per quod altera ponitur non trangre, bifariam diuiditur: si vero neutra per cen trum extenditur , quamuis una earum nonnunquam bifariam ab εaltera diuidatur , tamen a Itera minime secabitur bis a-
Tiam. Diuisa mini sit tam BC, quam bifariam i
125쪽
in Α, si fieri potest. ca) Inuento igitur centro cireuli, nempe T, ab eo ad A, dupatur recta TA . moniam ergo recta T Α, ponitur secare rectam BC, bifariarni in A, ba secabit ipsam ad angulos rectos. Eadem ratione secabitur DE, ad angulos rectos, cum etiam ipsa ponatur bifariam diuisa in A. Quare rectus ahelitus ΤΑR, recto angulo TAD, aequalis erit, para toti. Fodest absurdum. Itaque si in circulo ditae rectae lineae non per centrum extensiae, M. Quod erat demonstrandum .
PROP. s. THEOR. q. . 'si duo circuli sese mutuo secenis non erit illo n
i idem centrum. 'DVo eircuri AAC, ADE, se mutuo is ni 'la Α, Se
E. Dico ipsas non habere idem centrum. Prob. Sit enim, si fieri potest, idem centriim utriusque λβ quo duae rectae ducantur: TA. quidem ad puntium sectionis Αιm, vero secans utrainque eircumferen
niam igitur T. ponitur centrum circuli ABC, erit recta TC , rectae TA , aequilia. Rursiis quia T, centrum qu que ponitur circuli ADE. erit & recta TE, eidem rectar TA , aequa- Iis. Quare rectae TC, TE, ca) aequales intei re erunt, pars , & totum quod. Si igitur duo circuli sese mutuosen i cs. in ostendendum erat. PRO
126쪽
si duo circuli sese mutuo interius tangant 3 e rum non erit idom centrum. DVo circuli'B C , A D Ε, ad Ihulaein se interius tangant in A. Dico eos non habere idem centrum . Probatur. Habeant enim, si fieri po-eest , idem centrum T , a quo duae rectae ducantur, ΤΛ, 4uidem ad contami ci cuIorum Aa Αt TC. secans utramque sidicumserefitiam in E,&C. Quoniam igitur T, ponitur centrum circuli maioris ABCι erit rectam, rectae TA, aequalis . Rursiis quia T, ponitur centrum circuli minoris ADE erit recia TE, eidem rectae TΑ, aequalis. Quare recte TC, TE, /inter se aequales erunt, pars, fle totum , quod est ab serdum. Si igitur duo eirculi sese mutuo interius inn
127쪽
. PROPOS. 7. THEOR. 6. Si in diametro circuli q od piam sumatur pum
ctum, quod circuli centrum nota sit, ab inque plancto in circulum cadant quaedam rectat lineae: Maxima earum illa erit, in qua centrum reperitur , minima vero reliqua; aliarum vero propinquior illi, quae . per cem. trum ducitur , Iemotiore ducitur semper maior est : solum autem duae rectar lineae aequales ab eodem puncto in circulum cadunt , ad utraque partes minimae, vel ma.
IN diametro BE, circuli BCDET, cuiuscentrum G.
punctum assumauir quodconque Α , praeter centsum , A ex Α, cessat in circulum qtiotcunque lineae AD, AC. Dico omnium, quae ex ri, ad circumferentiam ducuntur, maximam ese' se AB, in qua est centrum , nai .nimam vero reliquam AE, qtrae diametrum perficit: Deinde rectam AC , quae rectae ΑΒ , percent mmductae propinquior est, . ' maiorem esse recta AD, quae ab eadem AB, plus distat s atque ita de alij, si ducantur in infinitum. Demum ex Α, ad utrasque Partes minimae lineae ΑΕ, vel maximae AB, tantummodo duci pone duas linea inter se aequa Ies. Ducantur ex
centro G, ad pi ucta C, & D, duae rectae GC, GD. Quoniam igitur duo latera AG, , caa maiora sunt reliquo AC, in triangulo AGC , sunt autem duae rein
128쪽
ctae AG, GC, duabus rectis AG, GH, aequales, hoc est toti rectae AB, quia GC, GB, sunt ab eadem centro; erit & ΑΒ, maior quam AC; eademque ratione recta ΑΒ, maior erit reeia AD ,& sic de reliquis. Quare B B, maxima est omnium, quae ex A, in circulam ca
Deinde quoniam in triangulo DG A. latus DG, b minus est duobus lateribus GA, A D. Est autem GD, ipsi GE. aequalis 3 erit & GE , minor quam GA,&AED. Quare dempta communi GA, remanebit adhuc ΑΕ, minor quam A D. Vnde ΑΕ,minima ast omnium, Piae ex Α, in circuli circumferentiam cadunt. Rursus quia duo latera AG,GC,in triangulo AGC, aequalia sint duobus lateribi is AG. GD. in triangulo AGD, & angulus totus AGC, maior est sua parte AGD, ca erit basis AC, maior basi AD, & sic de reliquis, ii ductae fuerint. Quare linea propinquior ei,
quae per centrum ducitur, maior est remotiore. Tandem lineae AD , ex altera parte aequalis ponatur ΑΠ quod facile erit , si ad centrum G, versus alteram partem ponatur unus angulus aequalis antulo
AGD, ut docet Propos. 21. lib. primi, qui angulus intelligati ir comprehensus sim AG,&alia ex G, nT, ducta, unde si postea coniungantur puncta A, & 'per retiam AT, erit AT , aequalis ipsi AD, quia sunt duo triangula, quae habent conditiones 4. Pro sprimi libri, unde basis AD, basi AT, aequalis erit. Quod autε nulla alia his duabus ADIAT.possit esse aequalis constat. Nam si ex A, ducatur alia , quae ςadat supra punctum T , iuxta demonstrata erit maior quam AT, si cadat infra , erit minor , unde nunquam poterit ense aequalis ipsi AD. Duae igitur dumtaxat rectae lineae aequales ad utrasque partes minina ae AE, vel maximae ΑΗ, cadunt. Itaque si in diametro circuli quod piam sumatur punctum &c. Quod erat demonstrandum.
129쪽
PRO POL 8. THEOR. 7. Si extra circulum sumatur aliquod punctum, a
quo ad circulum deducantur rei be quaedamiliam, quarum una quidem per cerurum pro tendatur,resiquae vero vilibet: In cauam pertinfriam cadentium rectarum linearum mari. ma quidem est illa, quae per centrum ducitur, aliarum autem propinquior ei, quae per cen trum transit, remotiore semper maior est; Insonueram vero periseriam cadentium redi, rum linrarum minima quidem est illa,quae imter punctum,& diametrum interponitur; alia. Tum autem ea, quae propinquior est minim, remotiore scinper maior est. Duae autem tam tum rei, linea: aequalas ab eo pucto in ipsum circulum eadunt ad utrasq; partes minimae, Vel
maximae. s It datum irinctiun A, extra circulum EDBLI' Dius centrum si, lineae secantes et rculum ducantura puncto Α , quarum AB, per
centrum transeat, relictuae vero ΑC, AD, utcunque. Dico ramonium maximam esse Α B, quae per centrum transit: Deinde rectam AC, quae rectae AB per centrum ductae,propinquior ex, sit , maiorem quoque esse rem Α', quae remotior est ab eadem ΑΒ,& sede reliquis,si extarent.
E contrario autem rectam Α omnium , qtiae extra circilliim sunt, minimam esse: Deinde re
ctam AF, quae vicinior est mini.
130쪽
AI, minorem esse recta AE , remotiore. Denique ex Α, a4 utraque partes maximae Πneae AB , vel minimae ΑΙ , duci posse tantummodo duos lineas rectas inter se aequales. Probatur. Ducantur ex centro G,
ad puncta C,D, E, F, rectae GC, GD, GE, GF. Quo- ἔn am igitur duo latera AG, GC, trianguli ΑGC. maiora sunt recta AC ; sunt autem rectae A G , G C, aequales rectis AG, GB, hoc est toti rectae AB ; erit &M , maior quam AC . Eadem ratione erit AB, maior quam AD , &c. Quare AB , est omnium , quae ex Α, in cauam periseriam cadunt, maxima, quod primo ffuit propositum. lDeinde, quoniam latera ΑG, GC, trianguli AGC, lanualia sunt lateribus, AG, GD , trianguli AGD,N
totu, angulus ΑGC, maior est angulo AGD; ba erithasis AC, base AD, maior. Eademque ratione de re Iiquis erit dicendum. Quare linea 'propinquior ei, quae per centrum ducitur, maior est remotiore. Rursus, quia in triangulo AFG, recta AG , minor est o duab is AF,FG; si aequale auferantur FG,.IG, remanebit adhuc AF, maior quam AI. Simili prorsus ratione erit AE, maior quam AF, &c. Quare ΑΙ, omnium linearum extra circulum , quae ex Α, duclin-tur, minima est.' Ru sis cum intra triangulum AEG. cadant duaerpeiae AF, FG, ab extremitatibus lateris Ata, ductae; lcda erunt AF, FG, minores ipsis ΑΕ, EG; ablacts igitur aequalibus GE ,& GF, remanebit adhue AE, maior quam AF. Quare linea prppinquior minimae lineae AI, minor est , quam remini'r ab eadem.
. Demum ducatur AL, aequalis ipi, AC, & AH , i AF, quo posito. Dico hanc solam duci polle atquestem ipsi AC. Prin. Si alia praeter AL, potest diss*qualis ipsi AC, necestario ducenda erit supra,vel i4fra AL; D ducatur supra, litata superius demongrata, arit minor ipsa AL, si vero duratur supra, erir maiora quare nulla praeter AL, ipsi AC, aequalis erit. Quo quo modoetiam probandata erit, autum praeter AH,