Sex priora Euclidis geometrica elementa, denuò clarioribus auctorum demonstrationibus, ... eddita , H.R. ..

131쪽

iri et EVCL. ELEM.

duci posse aequalem ipsi AF, nam etiam ista , ducanda erit intra, vel eκtra AH; si ducatur intra minor erit lipse ΑΗ, ex modo visis; si ducatur extra erit maior; quare nunquam poterit aequalitatem habere cum ipsa AF. Dilae igitur solum rectae lineae aequales ad utras que partes minimae, Vel maximae cadunt. Si igitur extra circulum sumatur aliquod punctuni, a qlio ad circulsim deducantur rectis quaedam lineae, quariunt una, &c. Quod erat demonstrandum.

Si in circulo acceptum fuerit punctum aliquod, & ab eo puncto ad circulum cadant plures, Quam duae rectae lineae aequales 3 acceptum punettim centrum est ipsius circuli.

N circulo BCD, a puncto assumpto Α, cadant pIures , quam duae rectae AB, AC, AD, inter se aequales.. Dico Punctum A, esse criti ruincirculi BCD . Prob. Connectantur enim puncta B, C, D, rectis BC,CD, aa quibus bifariam diuisis in F,& F, ducantur ex Α, rectae AE, AF. Qii niam igitur latera AE, EB, trianguli Αm, aequalia sunt lateribus ΑΕ, EC, trianguli AEC; & bases AB, AC , ponuntur etiam aequales; b erunt anguli AEB, AEC, aequales, ideoque recti. Eoisdem modo ostendemus, anpulos ad F esse rectos. Quare cum rectae AE, AF, dividant rectas BC , CD, bis riam , & ad angulos rectos, transibit utraque proclii-etari ereentrum circuli, iuxta Corol l. Propos. I. huius libri. Plinctum igitur Α, in quo se mutuo secant, centrum erit circuli. Si enim aliud ptinctum essee centrum, non transiret utraque per centrum. Si ita, que

132쪽

qM in eireulo aereptum fueritpunctum M. Quod erat demonstrandum.

Circiam circulam in pluribus, quam duinpudetis non secat. SMentse,si fieri Wrest,duoeimili EchD, EBG,

intribus plinctis E, F, G, ca inuentum aurem sitia 1. rast in H, centrum circuli AFGBE , amo ad dicta tria puncta duc mtur rectat HE, ΗF, HG, quae per circuli definitionem aequales inter se erunt. Quoniam igitur intra circulum Α E B G F, assumptum est punctum Η , a quo cadunt in circumferentiam plures ham duae resta lineae, aequales 3 N erit H centrum i , circuli AER ι. Est autem idem punishum H, ob ean- . 'dem rationem centrum circuli EFDGC a Duci ergo lcirculi se mutuo secantes habent idem centrum . si te Quod est absilrdum.' T

PROPOS. ar. THEOR. io, Si duo circuli Be intus contingant, atque,

' cepta fuerint eorum centa at ad eorum cem l . tra adiuncta recta linea, & producta in com v.i tactum circulorum cadet.

T Anga: circulus ABC, circulum ADE , Intus in

133쪽

rra EVCL. ELEM.

diuertum erit, cum duo circuli sese interius tanσen. a C ter. , non possint idem

centrum habere . Dico Iineam extensam per G.& F, ad selum contactum Α, esse rectam. Probatur. Si enimis lineo GF, producta ad Comtactum Α, non est recta,ad 'aliud purctum , si fieri potest, nempe ad C , ducatur FC, quae simul clim G seonstititat recta GFC. Quoniam io itur in circulo ABC , assiimptum est punctumh 7.rre. F, quia non est centrum , co erit recta FC, residuum i illius ;qtiae per centrum transit , omnium minima tmaior istitur erit FΑ , ipsa F Cs sed F Α . per circuli definitionem, est aequalis ipsi FD 3 quare FD. maior erit ipsa F C , quod est absurdum , nam F D , est una pars ,& FC , totum. Non igitur GF , simul cum FC, . o facit unam lineam rectam, at solum FΑ. Quapropter . si duo circuli sese intus contingant. Q sed erat devit monstrandum.

PROPOS. Ir. ΤHEOR. II. Si duo circuli sese exterius contingant, Iinea recta, quae ad centra eorum itingitur, percontactum transibit.

i Irculi duo DCF, FCG, tangant se exterius in C;¢rum circuli DCF. st Α , circuli vero E C G, sit B. Dico rectam

extensam per Α , & B, tran, s re per contactum C . Pro. hatur . Si enim non transit secet circum fetentias in D, R E, ducamur iue ex centris

134쪽

L I S III. III

A,&B, ad conlaetiim ditae rectae lineae AC, BC., duo. niam io itur in triangulo ACB , duo latera CA , CB, ca a maiora sunt latere ΑΒ: Est autem re ta AC , rectae AD, aequalis ex eo quod A, ponatur fenirtim circuli D. F, & recta BC, ob eandem rationem , aequalis rectae BF; Quare duae rectae AD, BE , em in .maiores recta AB, aliquae partes maiores toto , quod est absurdum. Si igitur duo circuli sese exterius contingant&c. Quod erat demonstrandum.

PROPOS. rs. THEOR. II. Circulus iton tangit circulum in pluribus pun- i , quam vim, siue intus, siue extra

tangat.

T Angant sese circuli AEBF, CEDF, intus , si fieri

potest, in pluribus punctis quam uno E , N F.

Assumantur autem centra horum circulorum G , H, a quae diti eris erunt ; per quae recta GH,s in utramque pa rtem extendatur , ba nec isse est cadere in contactus E , & F . Itaque cum G , iit centriint, & recta EGH F , diameter, diuidetiir EGH F , bifariam in G. Similiter diuidetur eadem EF , bifariam in Id , quod est absurdum . Vna enim recta in uno dumtaxat puncto bilaraain diuiditur. . H et Quod

Di il irco by Coo lit

135쪽

diuersum erit, cum duo circuli sese interius tanoenotes, a non possint idem centrum habere. Dico Iineam extensia in per G.& F, ad selium contactum Α, esse

rectam. Probatur. Si enima Ctera

lineo GF, producia ad comtactum Α, non est recta,ad 'aliud purctum , si fieri potest, nempe ad C , ducatur F C, quae simul clim G seonstituat recta GFC. Quoniam Ioltur in circulo ABC , assumptum est punctum b 7.rri . t F, quod non est centrum , cM erit recta FC, residuum illius; quae per centrum transit, omnium minima tmaior io itur erit FΑ , ipsa FCs sed F Α . per circuli definitionem , est aequalis ipsi FD 3 quare FD . maior erit ipsa F C , quod est absurdum , nam F D , est una pars ,& FC , totum. Non igitur GF , simul cum FC, .e incit unam lineam rectam, at solum FA. Quaproptet si duo circuli sese intus contingant. QMd erat d monstrandum.

PROPOS. Ir. ΤHEOR. II. Si duo circuli sese exterius contingant, Iinea recta, quae ad centra eorum iungittir, percontactum transibit.

Irculi duo DCF, FCG, tangant se exterius in C;& centrum circuli DCF, sit Α , circuli vero FCG, sit B. Dico rectam

extensam per A , & B, tran si e per contactum C . Prohatur. Si enim non transit secet circumieientias in D,& E, ducantur sileen Centris

136쪽

ca a maiorasint latere ΑΒ: Est autem recta AC, re-Q' AD, aequalis ex eo quod A, ponatur entriim circuli D F, & recta BC, ob eandem rat sonem , aequalis rectae BF; in re duae rectae AD,RE, emit .mal res recta AB, aliquae partes maiore toto , quod est ab sardum. Si igitur duo circuli sese Fxterius contingant&e. Quod erat demonstrandum .

Circulus itoli tangit circulum in Nitribus pun- , quam uno, siue intus, si .extra

potest , in pluribus punctis qμasa uua E., &. F. I, Assumantur autem centra hortim circulorum G , Η, a quae ditieris erunt a per qliae recta GH,si in utramque partem extendatur , ba nec isse est cadere in contactus E , & F . Itaque cum G , iit centrum, & recta EGH F , diameter, diuidetur EGHF . bifariam in G. Similiter diiiidetur eadem EF , bifariam in id , quod est absurdum . Vna enim recta in uno dumtaxat puncto bifariani diuiditur.

137쪽

Quod si quia dicat , rectam G H , extensam ad partes quidem H, cadere in contactum G ; at ver ad partes G , minime per

tinere ad contactum C, sed secare viriimque circillum cui in secunda figura./Respondeo , & dico hoc re. assirmari non posse,cum deinon stratio antecedentis Propol. sit uniuersalis, &utrique contactui conueniat ; unde GH, protracta debet cadete in utrunquaeontactum, non autem secare ambos circillos.

Pursiis tangant se circuli AEFB, CEFD, exterius in pluribus punctis quam in uno . nempe in tota circiInserentia intercepta inter E , & F . Iuxta primam Propos. huius libri inueniantur centra H, G , a quibus ad puncta E, & F. ducantur rectae I E , H F,GE, GF . Iam linea H E G coniungens centra H, G, &transiens per contactim E, c e recta erit ; qua pariter ratione etiam H F G, recta erit, euod est impossibile, quia duae rectae spatium clauderent . .are si duo circuli sese exterius contingant in uno piincto se tantummodo tangunt. QMd erat demon strandum.

. . .

138쪽

PROPOS. r . THEOR. Ir si circulo aequales rem lineae aequaliter distant

a centro. Et quae aequaliter distini a centro,

aequales suntluter se. SIne in circulo ABCD, cuius centrum E, AB, CD, aequales. Dico ipsas a centra E, aequa-

. - . . ther distare. Prob. Ducantur

ex E, centro ad rectas ΑΒ , CD, duae perpendiculares EG, ET, &coniuneantur rectae FI, EC. a Secabunt rectae EF, EG. rectas AB, CD, bifariam. Quare cum totae AB, CD, Muales ponan tur, erunt de earμm dimidia , ut delicet BT, CG, inter se aequalia. Quoniam ieitur quadrata EΗ, de EC, ob laterum aqualitatem, sint inter se aequalia: quadratum autem EB, b est aequale duobus quadratis BT, TE; erunt rudito quadrata BT, TE, aequalia quadrato EC ; sed eidem quachato EC, cca aequalia lunt duo quadrata CG, GE r quare iuxta primum pronunciatum duo quadrata BTIE, erunt aequalia duobus quadratis CG, GE. Ablatis igitur aequalibus quadratis rectatum aequalium ΒΤ, CG, remanebunt qtiadrata rectarum ET, EG, aequalia , id que & rectae ET, Ee EG, aequales erunt. Distant igitur iiixta 4. desin. huius libri rectae AB, CD, aequaliter a centro E. a Dentio distent rectae ABGD, aequaliter a centro E.

Dico eas inter se aequales esse. Prob. Dueantur enimiserum ex centro E, ad AB, CD, perpendiculares ET, EG, qtiae per .def. huius lib. aequales erunt; diuidentqtie rectas AB, CD, cd bifariam . Ductis igitur rectis EB, EC, erunt earum quadrata aequalia. Est . autem

139쪽

autem quad ratum rect ae EB, e aequale quadratis rectarum AT, TE, qua iratum r'ctae EC, aeqllate quadratis rectarum CO, GE . Igitur & quadrata rectarum BT, TE, aequalia sunt quadratis rectarum CG. GE; ideo ille ablatis aequalibus quadratis aeutialium rectarum ET V G, remanebunt quadrata rectarum BT, CG, aequalia ; atque adeo rectae BT, CG; ac propterea earum duplae AB, DC, aequales quoque erunt. Itaquel in circulo aequales rectae lineae aemialiter distant a centro, &c. Quod erat demonstrandum .

PROPOS. I s. THEOR. 14. In circulo mavi na quidem linea est diameter;

aliarum autem propinquior celitro, rem tiore semper maior est.

N circulo AETNAD, cuius centrum C, diametersit AB, & tecta ei propinquior DF, remotior autem TE. Dico omnium maximam esse AR, & DF., maiorem quam TE . Prob. Ducantur enim ex C, centro rectae CH, CI, perpendiculares ad DH, TE . Et quia a centro C, remotior est TE ,quam D F, erit CI, m ior quam CH, per η. def. huius lib. Abscindatur ex CI, recta CL, aequalis rectae CH, atque per L, ducatur NG, Derpendicularis ad CI, connectanturque recte CE, CT, CN, CG. Quoniam igitur perpendiculares rectae CH, CL , aequales sunt, aequaliter distablint rectae N G, DF, a centro , per η. defin. huiust m. ta ' ideo inter se aequales eriint. Rursus quia rectae CG, CN, b maiores quidem sunt recta N G, &siint aequales diametro AB, erit diameter AB, maior quam

140쪽

quam NG. Eademque ratione erit AB, maior omni. Nis aliis lineis. Deinde quia latera CG, CN, trianguli GCN, aequa Ita sunt lateribus CE, CT, trianguli ECT: &arigulus NCG, maior angulo TCE. c) erit recta NG,maior recta TE. A que adeo DF,quae osten. si suit aequalis ipsi NG, maior quoque erit quam TE. In circulo igitur maxima quidem linea est diameter,&c. Quod erat ostendendum .

Qus ab extremitate diametri cuiuscuq; circuli ad angulos rectos ducitur, extra ipsum circulum cadet; & in locum inter sipsam rectam lineam, S peripheriam comprehensum altera recta linea non cadet ;& semicirculi quidem angulus quouis angulo acuto rectilineo maior est; reliquus autem minor.

N circulo ABC, cuius centrum D,diameter sit AC, ad quam e3 A, puncto extremo perpendicularis ducatur . Dieo

hanc lineam per pendicularem n cessario extra circulum cadere . diris. Si enim m.

Pt intra ipsum, qualis est ΑΒ;ducia DB, a erunt duo angilli DAB, DBA, aequales, i sed DAB , rectus hil per constriistionemr igitur & DB Α, reetus erit, quod est absilrdum nam duo anguli in triangulo b