장음표시 사용
91쪽
maiori angulo oppositam esse maiorem base nori angulo opposita. Quarto, cum duo latera duobus lateribus aequalia sulit, utrumque utrique, &bases in quales, G demonstrauit angulum maiori basi oppositum esse maiorem angulo minori basi opposito. Quinto, quando duo anguli duobus angulis aequales sunt, uterque utrique, & unum latusvni lateri aequale, siue quod aequalibus angulis adi cet, siue quod mi aequalium angulorum ore nitur, se probauit reliqua latera unius reliquis lateribus alterius esse aequalia, & reliquum angulum reliquo angulo. Vbinos docuimus sequi etiam, tota triangula esse aequalia. Sexto c0 demonstrauit, duo triangula sum eandem basin, & inter easdem parallelas constis tuta, esse aequalia. Septimo, n ostendit, duo triangula super aequata bales,&inter easdein paralicias coiis tuta, aequalia Me. Octauo * docuit, duo triangula aequalia super eandem basina, & versus eandem partem constituta, esse inter easdem parallelas. Nono tandem 0 probauis, duo triangula aequalia super aequales bases in eadem linea, in eandemque partem constituta, esse inter easdem p rallelas.
92쪽
O ne parallelogrammum rectangulum
contineri dicitur sub diribus rectis lineis, quae rectum comprehendunt angulum. IN hoc secundo libro agit Euclides de potentiis linearum rectarum .inquirendoqtiama sint ,&quadrata partium cuiusuis lineae rectae diti iis , Oe parat lelogramma rectangula subpartibus eiul deni lineae diuisae comprehensa, tam inter se, quam comparatam eum quadrato totius lines,&c. Quod ut melius exequatiir duas
B proponit definitiones, quarum, prima est modo adducta, i' qua exponit, sub quibus rectis lineis contineri dicatur quod- lcunque parat telo rauimum re &qiiid sit parallielogrammum contineri Ilineis rectis : .lod totum , ut phrsecte in-
93쪽
t Elii ratur, aduertendtina est, parallelosa inium Ghid dici re tangulum, cuius omo es a nouit sent Bursiis parallelogia nimiim rectangulum contineri stibduabus rectis lineis, quae Vnum angulum rectum comprehendunt, non importat aliud quam duas liuilita di lineas exprimere totam parallelogrammi magnitii dinem, una quidem exprimit longitudinem , alia vero latitudinem . Qucd totum patet in f rallelogrammo rectangulo ABCD, in quo linea AD, exprimi latitudinem, AB. vero longitudinem r quare si multiplic turi unum latus per aliud, productum,erit totum parat
Demum est considerandum , Geometras , ne toties t eaedem lineae repetiantur, solere exprimere omniat prorsus parallelogramma duabus dumtaxat litteris que per diametatim opponuntur: exempli stratia Αα
Ilion mi parallelograta imo spatiis unumquoslibet eorum, qtiae circa diametrum illius sunt
parallelograin morum, cum duobus complo mcnti,, snomina cocetur. SPRO c ari iri intelligentia , in parallelogrammo
ABCD, ducatiir diameter AC s &rursis ex quo- iiis eius puncto G, ducantur rem A E , HI, parallelae lateribus parallelogrammi ita It pa D rallelogrammum ABCD, diuisum sit in . parallelogramma, F quorum duo EH, I F, dicuntur esse circa diametrum , alia Vero dub E compIementa ut manifestum est ex ultima de sino
94쪽
sin. primi libri . inio posito fioura composita ex uno lparallelogramino circa diametrum , ut I F , una cum id iobus complementis BG, GD, qualis est mura EBCDHG, quae designatur circunserentia KLM , dicitur Gnomon. . His positis ad propos. x: qib. deueniamiis, in quibus perfecte intelligendis opere pretium erit multum laboris impendere, non solum propter quamplurimos istarum usus io rebus geometricis, tum etiam in hurmnix comereijs , adeo ut lila liber aureus dici mereatur, cum mole quidem sit per exiguus, utilitates vero
contineat prope infinitas. - -
s fuerint duae rectae lineae, quarum ina secetur in quotcunque segmenta a Rectangulum - comprehensunt sub illis duabus rectis lineis,' aequale est eis, quae sub insecta,& quolibet - segmea rum comprehenduntus, rectangulis.
Int duae rectae AB, &BC, quarum BC, secetur qtiomodocunque in quotlibet legmenta BD, DC. Dicoe . rectangulum sibAB, &BC, comprehensum, aequale esse omni, bus - re tangulis simul
simplis quae sib linea indiuisa AB, & quolibet segmento lineae sectat
comprehenduntur, nempe reclangulo sub ΑΒ, &BD, atque sub ΑΒ, & DC. Probatur. Rectangultim enim BG , comprehendatur sub AB, & BC, hoc est recta BE aequalis si rectae M. Quod quidem fiet si erigantur ad BG, duae perpendi. Milares BE, CG, aequales rectae ita ducaturque ire. cta
95쪽
a 1 Aa EG. Nam rectae triE,CG, a) parallelae cruot ob b i. pνο. 'rectos angulos B, C: sed & aequales M inter se sunt,e,3. L l quia utraque rectae AB, pGnitur aequalis: cὶ Igitur L eratnt ouoque EG, BC, parallelae, & aequales inter ser ac proinde rectangultim erit RG, contentum seb AB, siue BE, Ae BC, ex defin. r. huius libri. Deinde ex D, 8d ex ali js sectionibus si plures si ierint ducatur recta DF, parallela ipsi BE, vel CG; iamque constituta.d r. ντ. erunt duo parallelogramma BF, DG, d) quare etian e DF, aequalis erit ipsi AB, ea cum sit aequalis ipsi BE, mi etiam est aequalis ipse AB, percostructionem.Quo- , niam igitur recta BE, aequalis est rectae AB, erit rectangultim BF, comprehensum stib insecta linea AB, &segmento BD: Eadem ratione erit rectangulum DG, cornprchensum sub AB, ostensa enim est aequali, ipsi DF, & segmento DC; Qtiare cum rectaneu- Ia BF,DG, aeqitalia sint toti rectangillo BG, hoc enim est totum,& illae sunt omnes partes, perspicillim est rectangultim comprehensiim sub AB, BC, aequale esse omnibus rectangulis, quae sub As, & seamentis . BD, DC, comprehenduntur. Si ergo fuerint duae rectae lineae,secorque ipsarum altera , &e. Quod erae
PROPOS. r. THEOR. 2. Si recta linea se sta sit utcunque : rectangula, quae sub tota & quolibet segmentorum comprehenduntur, aequalia sunt ei, quod a to-
ι Ecta linea AB, diuidatur vleunque in C, duas hil IN partes. Dico duo rectanguIa comprehensa subi tota AB, tis mentis AC, CB simul sumpta aqualia.
96쪽
- irallela rectae AE , vel BD, quae c) aequalis erit rectae AE , hoe est,creetae AB, cui aequalis est recta l A E, ex definitione quadrati. Quo-E niam iuitur recta AE , aequalis est rectae AB , erit rectanni lum 'F, teomprehesum sub tuta AB,& seg- lmento AC: similiter erit rectati ulum CD , comprehensiim sibi ola A B ,&segmento C B ; Sare cum rectangula AF, CD, aequalia sint quadrato AD , perspicutim est, rectangula comprehensa sub AB, & seo- mentis AC, CB, aequalia esse quadrato lineae AB . Si secta sit utcunqui
istur recta linea demonstrandum. Vtcunque .& Qtiod erat
Si recta linea secta sit utcunque : Rectangu ' Ium stib tota , & Via ementorum com prehensiuin, aequale est quod sub sedi mentis compreherulitain, reo angulo, &illi, iquod a praedicto segmento describitur qu*-- drato. T Inea recta AB , diuisa sit utcunque in puncto C. C, Dico rectangulum comprehensum sub tota AB, ι& utrovis segmentor, nempe B C, siue hoc segmen
tum mahas sit, siue mitius aequale est rectangillo sub segmentis UAC, CB, comprehense, &quadrato segmenti CB, prius a D sumpti. Prob. . Constituatus enim quadratum dicti segmenti IC ,
97쪽
t BC, quod sit CF; &ex Α, educatur ΑΕ, a parallela ipsi CD, vel BF, donec coeat cum FD, protracta in E. Quoniam igitur recta BF , rectae BC aequalis est, ex quadrati defin. erit rectangulitui Ap, comprehensim seb tota AB, & segmento BC. Rursiis quia recta CD, eadem ratione arqualis est rectae CB; erit rectangulum AD, comprehensum seb segmentis AC, CB. Cum igitur rectangulum AF, aequale si quadrato CF ,& rectangulo AD 1 liquido constat rectangulum sib ΑΒ, tota, & segmento BC , comprehensiim, aequale esse rectangulo comprehenso sub segmentis AC, CB,& quadrato praedicti segmenti BC . Quare si recta linea secta sit utcunque, rectangulum,quod a tota describitur, &c. Quod demon itrandum erat.
Si recta linea secta sit utcunque : quod a to
ta describittar, quadratum, aequale est illis, quae a segmentis describuntur, quadratisincet, quod bis sub segmentis comprehenditur, rei tangulo. HEcta linea AB, diuisa sit 'tcunque in C. Dico a 46.pH
quadratum totius rcetae AB , esse aequale quadra-'l tis inmentorum AC, CB , 3e rectangulo compitaenin so bia sub dictis segmentis AC , CB. Probatur. Dein. - scribatur enim super AB ca ain . . quadratum AD, ducaturqsdia. E F meter BE. Deinde ex C, ducatur. CF, b) parallela recta BD, secans dianaetrum in puncto GaI per quod rursus ducatur HI, pa- ω, rallela rectae AB. Eritquerela- drarum D, diuitum inqua
tuor parallelogia mura . Qu nia in
98쪽
niam igitur trianguli ABE,duo latera AB, AE, aequalia sunt; c) erunt duo anguli ABE , AEB , , aeqitales: Atqui tres anguli da ABE, AER, BAE. trianguli
ΛBE, duobus rectis sunt aeqtiales, & BAE, rectiis est,cii in sit angulus in quadrator Reliqui ergo duo angu-lli ABE, AEB, erunt semirecti. Eademque ratione ostendetuwngulos DBE, DEB semirectos esse.Quod etiam constat ex iis, quae ad 3 . propos. lib. primi clamonstrauimus. Nam, ut ibi ostgnsum est , diameter BE, diuidit angulos rectos ABD. AED, bisariam..ia ergo anguli quoque tres , trianguli EFG, e aequales sunt duobus rectis , & angulus EFG, rectus eli, s a cum sit aequalis recto D, extςrnus interno: lc y p nec non FEG , ostensus semirectus; erit & reliquus EGF, se irectilis idem, aequalis angulo FEG. Quare ga aequalia erunt latera EF, G . quae cum lint hJ J et ρνῶ.
aequalia appositis lateribus GH , ΗΕ , erit parallelo-lstremmum X quadratum, m ocinia eius latera sint Hualia , N. bes anguli recti a propterea quod exi-litente uno angulo recto, nempe FEH vel F, in paral- Ilelogramitio FH omnes quatitor recti sint, ut ad Co-mllarium Prispoc1 3. primi libri demtinstrauimus. Ea- dein rationequirirrium er/t m. inamobteni CIquadrata sunt segmentorum AC , CB ι eo quod latus HG, ia aequale si rectae AC. Rect naula quoq; AG, GD, comprehensa erunt fiib segmentis AC , CB , pro Pterea quod C. ιGI, aequases sim rectae CB, ob qu dramna CI, & FG, aequalis rectae seo ..pl qu Irat, mFA, rectae AC. Quocirca cum quadratum aequale si quadratis CI, FH, &rectangulis AG, u. GDs conligiqi Iadratum AD, totius lineae AB, aequale. l. esse qliadeptis tegmentorum AC, CB, & rectangui lcompreheni sub iisdem tegmentis AC, CB, bis sump- l. t . Igitur si recta linea Guta se vicumlue quadratum, quod a cola describitur, dec. Quod erat aemou i
99쪽
Ex hae propos. fit manifestum, parallelagrant a trirea diametrum quadrati esse quadrata .
i Sequitur etiam ex demonstratione huius 4. propoclidiametrum euiusuis quadrati diuidere eius angulos Ibitariam. Protatum enim fuit, angulos AEB,DEB,et illa semirectos. H quod etiam ad propos. 34. lib.1.de o monstrauimus.
Si recta linea secetur in partes aequales,& inaequaοῦ les; rectangulum sub inaequalibus rimentis totius comprehensum, Una cum quadrato, quod ab intermedia lectionum dcicribitur,
aequale est ri, quod a dimidia describitur.
Ividatur recta AB, bisarum In C, 8e non bis fariam in D, ita ut sectionum inter media sit re ela CD , qua nimirum di di midia C B, superae minust segmentum DB, vel qua in ius segmentum AD , dimia
1 dium ΛC, excidit. Dic r ctangulum sub segmentis in inaequalibus totius AD, DB, eomprehensum, . una Cum quadrato inter, mediae CD,
quale esse quadrato dimidiae CB. Super dimidia Crica a dein
100쪽
D describatur quadratum CF , diictaque diametro BE, ex P. ducatur recta DG, cb parallela rectae BF, secans diametrum ΒΕ, in H, puncto, per quod cca ducatur recta IX , parallela ipsit BC; item ex A, rectae CE, parallela ducatur AL, secans lineam IK , productam in L. Erunt igitur per Corollarium praecedentis Propos DI, KG , quadrata, ideoque DH , recta,eequalis rectae DB: da Est autem & XII , ipsi CD, aqualis . Quare reetano ultim ΑΗ , comprehendetur rub AD, & DB , & rurtis ΚG , erit quadratum rectae CD , eum demonstrata sit aequat is ipsi ΚΗ . Proban. dum itaque est , re langulum ΑΗ, una cum quadrato FG. aequale esse quadrato C F. Quoniam ergo ce complementa CH, FH, aequalia sunt, si addatis commune quadratum DI, erit parallelogrammum DF, nequale parallelogrammo CI ; est aut & AK i) eidem CI . aequale , eo quod sint super aequalibus basibus, &in eisdem parallelis: Igitur ΑΚ, & DF , etiam inter se aequalia erunt: quibus si commune apponatur CH, erit Gnomon MNO, rectangulo AH, Hualis . .
lia sint quadrato CF, erit &rectangulum AH , una cum quadrato RG , aequale eidem quadrato CF. Si recta ergo linea secetur in aequalia,&Ωμωoncndendum erat, i '