장음표시 사용
151쪽
Super g qualibus rectis lineis, similia circulorum
segmenta, sunt viter se aequalia. Super rectis lineia aequalibi is AB, DE, constituta sint segmenta similia ACB, DFE Dico ea inter
se esse equalia. Prob. I inep enim Α B. DE. cum sint aequales, congruent inter se , si altera alteri superponatiir. Dico igitur & segmentim A C B, Legmento DFE, congruere. Si enim non congruit cadet aut extra, aut intra, alit partim extra, partim intra . Quod si extra aut incra cadat, constituentur super eadem recta DE, duo segmenta ACB, DFE, similia , N inaequalia, quorum unum totiun extra aliud cadit. Quod est absurdum. a) Demonstratum enim est contrarium. Si vero segmentum unum cadat partim intra partim extra, perspicuum est huiusmodi circulorum feementa sese secare in pluribus punctis quam duobus, nempe in
punctis D, E, & G. Quod est absurdum, ba Circuli enim non se secant in pluribus Punctis, quam duobus. Congruet igitur Dementum ACB, seanNnt DFEs atque adeo ipsa inter se . aequalia erunt. Quo circa superisquet Iibus rectis liueis, &c. Quod erat demon
152쪽
ΡROP. 1 f. PROBL. s.' Circuli segmento dato, describere circulum,
cuius est segmentum. STt set mentum circuli ABC , quod perficere oporteat. Subtenda: tir recta AC, qtiae bisariam sec ilir in D, puncto, per quod perpendicularis ducatur DA, connectatnrque ΑΒ. Angulus igitur ABD , vel maior est angulo D AB , vel aequalis , vel minor. Sit primum maior quod continget quaado segmentum ABC,semicirculo minus erit. Tunc enim quia BD , transit per centrum ex corollario propos. I. huius lib.quod centrum est extra segmentum, cum segmentum ponatur semieirculo minus; erit ΡΛ, maior . quam DB, clim BD, perficiens diametrum sit saa omnium minima, quae ex puncto D, in circumferentiam
cadunt. Quare angulus DBΑ, by maior erit angulo DAB fiatque angultu BAE, 0 aequalis angulo A, & secet recta ΑΕ, rectam BD, priauctam in E. Dico E, esse centrum circuli,cuius si Cmentu est ABC. Prob. Ducta enita recta EC, erunt duo latera AD. DE, trianguli ADE, aequalia duobus lateribus CD, DE, trianguli CDE, & anguli dictis lateribus con tenti aequales, nempe recti . Quare bases AE,EC, da aequales erunt. cea Est autem & EA, aequalis ipsi EB , quod anguli EBA , E AB, sint aequales per constructionem. Igitur tres lineae EA, EC, EB aequales eriint: o Ac propterea E, centrum erit circuIi ABC, cum ex E, pit ires quam duae rectae lineae aequalos cadant in circumferentiam.
153쪽
Sit deinde angulus D RA, angulo D A B, aequalistcquod continget quando segmentum ABC , semicircuislus suerit. Tunc enim erit AC, diameter , & D. centrum atque' adeo DA, DB, aequales: g quare , & anguli DAB , DBA, aequales erunt ch erunt igitur reliae DA , DB, aequales. Erat autem,& DC, aequalis ipsi DA, nam recta AC . lecta fuit bifariam . propter eum tres rectae DA, DB, DC, O dant ex D, in circumferentiam ; erit per '. huius lib.
D, centrum circuli MC. . - Sit tertio angulus DBA, angulo DA mimar: quod quidem eueniet, si segmentum ABC, semicircillo maius extiterit. Tunc enim, quoniam vD, transit per ceutrum ex irurrol. propos. I. huius lib. quod quidemi Intra segmentum, cum maius esse ponatur, existit 3 erit c i DB, omnium, quae ex D, in circumferentiam cadunt, maxima; maior igitur erit quam DA; ideoque angulus
DAB, λὶ maior erit angulo Dη A. Fiatque angulus BAE, aequalis angulo D , &secet recta AE . rectam BD, in Ε, puncto; quod ostendetur esse centrum eo modo, quo id ipsum ostendi. mus, quando angulus D sA , maior erat angulo DAB, dummodo ducatur recta E C. Circuli igitur segmento dato descripsimu circulum, cuius est segmentum
154쪽
In aequalibus circulis, aequales anguli aequalibus: periferiis insistunt, siue ad c ra, siue ad V Deriferias constituti insistant. - .
IN eirculis aequalibus ABC, DEF, quorum centra G. R H , eisini liti sibi primum affoentra anguli aequales AG C, Di F. Dico peri- ferias ΑC , D F, quibus insistunt, esse aequales. Prob.4 Sumantur enim ini periferijs ABC, DEF, duo puncta
retiae ducantur AB, CD, DE, p E. Quoniam igitur anguli Η,& E, a dimidii sit ne aesualium angulorum G. & Ηι erunt & ipsi aequales inter se . Quare 'desin. segmenta ABC, DEF. similia erunt. Et quia
latera AG, GC, aequalia sunt lateribus D Η, EF, propter cirtulorum aequalitatem ,& anguli . qtios continent G,&Η, aequales ex hypothesi , si concipiantur bases duet, apiincto A, ad C, & a punisto D, ad F, erunt inter se ri aequales. Cum igitur segmenta si- . milia ABC, DEF, sint super lineas aequales, seu bases aequales AC, DF, c) erunt ipsa inter se aequalia.lc 24. r. Quare si a circulis aequalibus huitis nodi segmenta aequalia demantur, remanebunt & segmenta AC,DF, inter se aeotialia ; atque adeo periseria AC, peris riae DF, aequalis erit. Quod est propositum. Sint deinde ad periserias conliituti duo anguli aequales B, & E a Dico rursus per ferias AC , Ds, sit per quas insistunt, este aeuuiles. Ziunt enim,ut prius,1 1 segmena x e
155쪽
segmenta ABC, DEF, Similia. Cum igitur sint si- per aequales lineas AC, DF, ccum enim anguli G, H, aequales sint, sunt enim d dupli angulorum aequalium Bae, erunt ut priusaeistae ductata puncto A,aqC, &a puncto D, ad F, aequales e) erunt ipsa inrex se aequalia. Si agitur a circulis aequalibus detrahantur. remanebunt, & segmenta AC, DF, aequalia. Inaequalibus itaque circulis, &c. Quod fuit demon
In aequalibus circulis, anguli; qui aequalibus periseriis insistunt, sinat inter se aequales, siue ad centra, siue ad peristrias constituti insii stant.
N eirculis aequalibus ABC, DEF, quorum centra G, H, insistant primum anguli ad centra A G C, DBF, aequalibus periphe-rijs AC, D F.
aequales inter se esse. Prob. Si enim non sunt squales sit angulus AG C, minor, a fiatque angulus AGI, aequalis angulo DHF. bὶ Erunt igitur peripheriae ΑI,DF, aequales. Cum vero perisuria A C , aequalis ponatur perila riae DF; erunt periseriae AI, AC, inter se aequales, pars, & totum, quod est absurdum. Sunt ergo anguli AGC, DΗF, aequaleS. Insistant deinde eisdem perifer in aequaIibus, AC,
156쪽
DF, an uti B , & E , ad periserias , quos rursus dico esse aequales. Prob. Nam anguli B, & E, ad peri- ferias, cc sint sub dupli angulorum G, H, ad centruin; sed anguli G, H, ad centrum demonstrati sunt aeqtiales 3 i itur & anguli B, & E, aestiales erunt. Inaequalibiis igitur circulis anguli , qui aequalibus periserijs insistunt, &c. Quod erat demonstrandum .
PROPOS. 28. THEOR. 2I. Ita aequalibus circulis aequales rectae lineat aequules periserias auferunt, maiorem quidem ma tori , minorem autem minori.
IN circulis aequalibus AGB, CHD , quorum ceutra E , & T, Mit rectae aequales AB, CD . Dico maio- δ rem periseriam A Gaequalem esse maioriperiseriae CIID, & mi, rem ΑIA, minori CXD . Probatur. Ductis enim rectis BA, ES, TR TD 1 erunt latera AE, EB, trianguli ΑΕΒ , aequalia lateribus m. TD. trianguli Cm , ponuntur autem , & ibata AB, CD, aequales. Igitur a anguli E ,& T, laequales erunt: ac propterea periseriae ΑIB,CΚD,qu, bus insistunt , b a Vitales erunt e quae ablatae ex totis aequalibus relinquent etiam aeqiales AGB, CF D . Inaequalibus ergo circulis aequales rectae liu et& oderat demonstrandum.
157쪽
In aequalibus circulis, aequales: peri ferias, x qua las retrie lineae subtenciunt.
N circulis aequalibi is AGB, CH D , ponantur aequales periseriapAGb , CHD; item AIB , cxD. Diach rectas AB, CD, quae eas subtendunt , esse aequales. Prob. Ductis enim lineis, ut prius, erunt latera AE, EB, triangilli AEB, aequalia lateribus CT, TD, trianguli CT D : sunt autem & anguli E , Π ain aequales, Nini aequalibus periseriis AIB, CKD, insistant.' Igitur & basta AB, CD , by aequales erunt. In aequalibηs ergo circulis , aequales periserias &e, Quod erat ostentandum.
158쪽
Datam periseriam biariam secare.
SIt peristria ABC, bifariam secanda. Dueatur reis ela subtendens AC, qua bifariam in D:diuisa. erigatur perpendicularis D B , quae periferiam Α Β C , bifariam serabit in B, puncto. Probata luetis enim rectis AB, CD, erunt i tera AD, A T, 'E DB, trianguli Α , aritialia lat ribtis CD, , trianguli COB: sentautem & anguli deinceps ad D, aequales, nempe recti. Igitur a & bases AB, CD, aequales erunt ; Ac propterea periseriae AB, CB , c aerunt aequales Datam ergo piseriam limus M. duod erat faciendum . I. .
hi cum sto at iis , qui in semielreulo, rectus est; qui autem in maiori se emo, minori ' rem; qui vero in minore segmento . n M'ior est recto . Et insuper an us maioris segmenti, recto quidem maior est 3 min ris autem segmenti angulus , minor est re
Ireuli enim MDE, euius centrum V diamεtersit AE , constituaturqtie in semicirculo angulus
159쪽
j ADE, existetque angulus AED, in maiori seghaento AED. Constituatur quoque in minor 1segmeto ABD, angulus A B D. Dico angulum ADE, in semicirculo rectum esse ; angulum vero ΑED , in maioresegmento, minorem recto: & angulum ABD , in minori segmento,
gulum maioris segmenti c5-ἐ . Prehensum recta AD, & m- riseria AED, esse recto maiorem, Et angulum minoris segmenti comprehensum recta A D , & periseria Λ B D , esse recto minorem. Probatur. Dueatne enim recta DA ad eentrum, & extendatur recta ED, in C. Quoniam igitur rectae Tt, TD, aequales sunt, a erit ahgulus ΤER angulo T DE, aequalis. Eadem ratione erit angulus TD aequitu angulo.T ADIideoque totus angulus ADE, duobus anilulis ΤΑD, TED, aequalis erit. cb) Est autem &angulus ADC, . externus eisdem duobus internis angulis DEA, DAE, in triangulo PEA, aequalis. Qisere aequales erunt in ter se anguli R. ADC : ac propterea uterq)ie re
ctus . Rectus igitur eit angulus ADE , quod est propositiim ,' niamvere,in triangulo ΑPη--nguli DE ME DA, te sunt duobus rectis minores ; & arsulus EDA , ostensus est rectus; erit auulus DEA, in nu'iora segmento, recto minor : quod est secundum. Rums, quia in quadri Iatero ABDE, intra circu-
seqt duobus re is aequales; & angulua DEA, osten sisest recto manor Etit ABD , angulus in segmento minori, recto maior ; quod est tertium . - . Amplius cum angulus rectus ADE, pars sit anguli segmenti maioris AED, qui sane comprehenditur re'cta AP,& periseria DEA; erit angulus segmenti m*'
160쪽
ioris, recto maior, quod est quartum. Demum , cunbano ulus segmenti minoris, nimirum comprehensus recta AD , & periferia DBA , sit quoque pars anouli recti A D C . Etit angulus segmenti minoris recto minor: 'uod est quintum . In circulo igitur angulus, qui in semicirculo, rectus est&c. Lod erat ostendendum . .
. Ex hae Propossit manifestum quod angulus trianguli reliquis duobus existens aequalis, reditis est , eo quod prωucto latere externus, qui fit, illi continuus eisdem sit b aequalis, lac proinde illi duo snt inter se aequales,proptereaque Iecti. . . i
Si circulum tetigerit aliqua redia silaea, a con- tactu autem producatur quaedam alia rectat linea circulum secans ue anguli , qliQs ad contingentem lacit aequales sint ijs, qui in alternis circuli segmentis consistunt, angulis
T Angat recta AB, ei reuiuni DE FC, id puncto C. I
a quo ducatur reeta aliqua,nempe CE, secans, lseu diuidens circulum in duo seg-menta,in quibus fiant anguli C FE, CDE. Dico angulum AC L aequalem esse angulo C F E , in alterno segmento &angulum BCE,aequa- Iem esse angulo CDE , pariter in alterno segmento. Probat. Transeat enim primum linear secans eir. culum per centrum,-sit CD. a