장음표시 사용
141쪽
i sunt semper minfres duobus rea's . Non igitur ea ' de perpendiculatis intra circula cadet, neque eandem ob causam in ipsim circiimferentiam , sed extra qualis est FF. Dico rursus ex Α, inter AE , rectam, deoircumserentiani AB; non posse cadere alteram rectam. Prob. Cadat enim , si fieri potest, recta AGέ ad quam ex D, ducatur perpendicularis D Η, si ea, circumferentiam in I, quae necesserib ad partes angunaculi D AG, cadet, ax coroll. a. propos. I . lib. I.
Quoniam igitur in triangulo D AH, ' anguli DΗΑ .nAΗ, c minores sunt duobus rectis ue&DΗΑ, rectus est per constructionem, erit anguigsDAH, recto minori ideoque recta DA, Mifhst, rei, illi aqualis mi fila maior erit quam DR parx maior toto, quod est abserdum. Non igitur intercipietur ' cta inter AE,& circumferentiam AB, shd qilaeciamque ex Α, infra AE, ducatur, υ circulum secabit. Dico
denique Angulum semicirculi, csntentum diametro AC, de circumferentia ΑΗ, maiorem esse omni acuto angulo rectilineo; reliquum vero angulum contangentiae, qui continetur recta AE, & circumferentia ΑΒ,minorem esse omni acuto angulo rectilineo. Prob. Ioniam enim, ostensim est, omnem rectam ex Meluctam, infra perpendicularem ΛΕ, cadere intra circulum, faciet necessario ea linea cum AC, angulum rectilineum a tum minorem angulo semicirculi, at
vero cum AE. angulum rectilineum acutum maiorem
angulo contingentiae cum ille sit pars anguli semicirculi, hic vero totum quid piam respectu , anguli. contingentiae. Id quod liquido e instat ducta recta: AB, suomodocunque infra ΑΕ. Nam cum haeci linea, AB; intra circulum cadat, ut demonstratum est , era a gulus rectilineus acutus C Au, minor a ulo semiciris culν contento suo diametro AC circumferentia ABC, cum ille huius sit pars: Angulus vero contingentiae contentus sub tangente linea AE. 8c circums irentia ABC, minor angulo rectilineo acuto B Aquod ille huius pars sit . Eademque ratio cit, de munis, bus
142쪽
-bus aliis angulis acutis' rectilineis , cum omnes contineantur a diametro AC, vel tangente ΑE , & rectis ex A ,sib AE, ductis, quae omnes intra circulum cadent, ut ostensum fuit. Angulus igitur semicircilli maior est omni acuto angulo ' rectilineo, reliquus autem anginus contingentiae minor. mare quae ab extremitate diametri cuiuscunque circuli ad angulos rectos ducitur, &c. Quod erat ostendendum.
Hinc manifestum est, rectam a diametri circuli ex tremitate ad angulos rectos ductam, i sum circulum tangere. Ostensum enim est ipsam cadere extra circulum . ouare solum in puncto illo diametri extremo
Quapropter si iubeamur per datum punctum Α, in circumserentia circuli AB, rectam lineam ducere,qux. circulum tangat in A, ducemus ex Α, ad centrum C, rectam AC, & ad eam excitabimus perpendicularem. FAE; quae circulum tanget in A,ut deinonstratum est.
EX puncto D, duoena, sit linea , quae tangat siγculum FEC, cuius circuli centrum sit B. Ducatur recta DB, secans circumferen vitiam FC, in Ε, puncto. Deinde centro B, interuali, BD, describatur circulus DT, & ex E, educatur ET, perpendicularis ad DB, secans circulum DT, in T, puncto. Ducta denique recta BT, secans circulum FEC, in C, conuectatur rectat
143쪽
recta DC: quam dico tangere circuluin FEC, in puri cto C. Prob. Cum enim duo latera BE, ΒΤ, trianguli EBT, aequalia sint duobus lateribus triailiv. li CBD, utrumque 'trique, ut patet per circuli desin. Anstulusque Β, dictis lateribus comprehensiis sit comisi munis: caa Erunt bases ET,CD, nec non etiam a guli BET,BCD, super ipsas,aequales. Est autem BET, rectiis per constructionem; quare & BCD, rectus erit. Itaque DC, cum si perpendicularis ducta ad C, e tremum semidiametri CB, tanget circulum per e rollarium praecedentis propos. A dato ergo puncta D. ducta est DC, recta tangens circulum FEC; in C, quod iaciendum erad. I
Si recta citiae piam linea circulum tangat, a centro autem ad contactum adiungatur recta
quaedam linea; quae ad itincta suerit, ad ipsam'
contingentem perpendicularis erit. REcta linea AB, tangat in puncto A , eirculum
EBDT, cuius centrum C, & ex C, ad B, recta ducatur CB. Dico CB, perpendicularem esse ad AB. Prob. Si enim non est ducatur CA, perpendicularis ad AB, secans circumferentiam in E. Quoniam igitur in triangulo CAB, a duo anguli CAB, ABC, sunt minores duobus rectis: est autem per constructionem CABi rectus: igitur C B A, erit minor recto.
Quare maior erit recta b CB, quam C A:sed recta CB, aequalis est ipsi CE ergo CE, erit maior ipsi CA, Pars quam totum quod est absur- dum
144쪽
duri. Est igitur CH, perpendicularis ad AB.Quare si circulum tangat recta quaepiam linea,&e. Quod erat demonstrandum . t
PROPOS. I p. THEOR. x . . t lSi circulum tetigerit recta uaepiam lilia, a
contactu autem recta quaepiam linea ad an- .gulos rectos ipsi tangesati excitetur : In cx- citata erit centrum circuli. q
TΑnpat recta AB, circulum ABDT ve in ante-ceaenti figura I in puncto B ; & ex B , ducatur .m, perpendicularis ad A B. Dico in B T. esse centrum eirculi. Probatur. Si' enim in ipsa ΒΤ, non isti emtrum cimili, erit extra , nempe in G, a quoad contactum B , ducatur recta GB, quae a perpendi i mcularis erit ad AB. Qiare angulus GRA , erit rectus: l 'sed etiam angulus C Η Α , per constructionem est re- letus: igitur amo anguli GBA , & CBA, inter se aequa- ιles erunt Irars , & totum e quod est absurdum. Non ligitur extra BT, centrum eimili existet. Quare si ci .culum tetigerit resta quaepiam linea &c. Quod erat ldemonstrandum. ι
In circulo angulus ad centrum duplex est aim L Mli ad periseriam, cum fuerit eadem pei ς' siria basis angulorum. IlIN eir lo ADBE , euius eratrum C, super sin
, constituatur angulus ACB, ad centrum et &- super l
145쪽
silper eandem basin anguliis ADB, ad periferiam.
o s. pri. co angulum ACB, ad centrum duplum esse anxiiii ADB, ad periferiam ζ Probatur. Includant enim primum duar DA, DB, duas CA , CB, & per centrum C, recta extendatur DE. Quoniam igitur duae rectae DA, DB, sunt inter se aequales, sa)erunt anguli CDA, C AD , inter se aequales : Est autem externus angulus ACE, cb aequalis duobus internis, & oppositis CDΑ. CAD : Quare ACE , duplus erit alterius eorum , veanguli CDA . Eodem modo duplus ostendetur anni in Ius BCE , anetuli CD B. Quapropter totus angulus ACB, duplus erit toti iis an mili ADB. Quando enim duae magnitudines duarum sunt duplae, singillae singulariim, est qliolaue aggrςdatum ex illis aggregati ex his duplum . Constat ergo propositum. Deinde non includant rectae AD , BD, rectas C A. CB, sed DA, per centrum extendatur. Quoniam igitur externus angulus ACB, cc aequalis est duobus internis CBD , CDd: hi autem duo ob aequalitatem laterum CB, CD, dJ iunt inter se aequales, erit anguinius ACB, alterius eorum duplus nempe anguli ADBs quod iiiit propositum Despum re a D A, secet rectam CB, & per centrum C , extendatur reeta. D E. Quoniam igitariangulus ECB, ad centrum, ti angulus EDB, ad peri seriam, habent eandem basin EB, & resta DE, percensemim extenditur 3 erit angulus ECB. duplus anguli EDB, ut in secunda parte huius Propos. ostensum est. Sinai.
146쪽
simili modo erie ano ulus ECA , duplus anssili EDA, habent enim hi anguli eandem basin E A. Relimius igitur angulus. ACB , duplus erit reliqui anguli ADB. εὶ Quando enim totum totius est dupluni, & abi tum ablati , est & reliquum reliqui duplum. In circa, Io igitur anoulus ad centrum duplex est &c. Quod erat demonstrandum.
la circulo, qui in eodem Minento sunt, an-. guli, sunt inper se aeqdales
IN circulo ABDC, citius centrum E , existant anginti C,8fD,in sumenis AC . Dico eos esse aequa M. Probatur. In primissi: segmentiim AC DB, si,micirculo maius; & ducantur restae ΑE. BE , ad centrum E Quoniam igitur angulus A EB, ad centrum,cao duplus est tam anguli ACB, quam ADB, ad periseriam: ; cimi omnes habeant eandem basin Α B ierunt anguli C, D, dimidiatae partes anguli E. cb Quare Inter se aequa. leserunt. Eadeinque ratione omnes ialii atIuli existentes in segmento ΑCDB, ostendentur eue aequales . Sit deinde segmentum D A B C , vel, semicirculiis, vel semicirculo mimis. Ducantur pereeatratmr,rectae AF, BG,& in suginen
DE, CE. Quoniam igitur anώgulusDEF,
147쪽
c Imreriiad centrum,si dupliis est anguli DAF, ad , riseriami Similiter angulus CEF, anguli CAF; ac proinde duo anguli simul D E F, CEG, duorum angulorum simul DAF, CAF, dupli erunishoc est , totius anguli DAC: Sunt autem anguli DEG, GEF, aequales angulo DFF: erunt qiu'ue tres anguli DEG GEF, FEC,ssimul G- :pli anstuli DAC. Eadem ratione erunt iidem tres an- , si mr euli dupli anguli DBC. d mare aequales erunt an- euli D'C.DBC. Itaque in circulo,qur in eodem si mento sunt anguli &c. Quod erat ostendendym .
N eirculo ABCD, euius centrum E , inscriptum sit quadrilaterum ABCD. Dico duos angulos oppositos ABC , ADC; ixem BAD, . BCD, aequales esse duobus rectis . Probatur . Ductis enim diametris duabus AC , BD, O erunt duo anguli ABD, Ax D, in eodem segmento ARQD, aequales . Quare duo anguli
ABD , CBD , hoc est totius ardi, i xilus ABC , aequalis est duobus angulis ACD, CAD, nam duo anguli CBD, C AD,
t oim fiat in eodem segmerito per a I. huius aiant interi se aequales. Addito igitur e mimini angulo D A.
l l erunt duo anstilli 4BC, CDA, aequales tribus ,ngulis 3 ori. A, C AD, & ADC. b) S disti tres aequales senes duobus rectis. Igitur &ὶ duis ABC, ADC, duobusi reetis aequales eruis . Eodem modo ostende s , am gulos BCD, BAD, esse duchus rectis aequales. Nam
148쪽
tursus duo anguli ABD, ACD, μγ sitne aequales: Item eduo BC RDAa ac propterea toeus, ana ilire BCD,I duobus angulis ABD,BDA, aequalis erit. Addito igi-I; tureoni uni angulo B A D; erunt duo anguli BCD, D, et quales tribus angulis ABD. BDA, DAR di 4 Sed hi tres sunt aequa les duobus imis a Igitur & quo lBCD, BAD, duobus rectis aequales erunt. Quadrila- lterorum igitur in circulis descriptorum p& Quod l
super i eadem recta linea duo circulorum sex menta similia, & lixaequalia Dia minimentur. ad easdein partes. SI enim fieri pinest super recta AB deonstituantur
ad eassem partes duo segmenta fimilia , & inae. qualia ACB, ADB. Perspictium est autem,qiiod stium intersecant in punctis iΑ, & B; caa Circulus enim . . , circulum non secat in pluribus quam duobiis pininix. Vndem, tripheria unitu i segmenti tota erit extra peripheriam alterius: Ducatur igitur recta AD, secans circumferentrix lin C, & D, conne B ctanturque elimCB. m. o niam igitud)segmenta ponuntur similia, eUt per xo. Desin. huius, lib. ahgulus ACB. aequalis angulo A PB, externus iterno , θλ quod est absurdum . Non igitur segmenta sunt similia . inrate super eadem recta linea,&s. Quod erat ostenden
149쪽
ad centrum, re dupli is est anguli DAF, ad peii seriami Similiter angulus CEF, anguli C AF; ac proinde duciantuli simul D E F, CEG, duorum angulorum simul DR F, CAF, dupli erunishoc est, totius anguli DAC: Sunt autem anguli DEG, GEF, aequales angulo DFF: erunt quoque tres anguli DEG GEF, FEC, simul dupli anauli DAC. Eadem ratione erunt iidem tres an tuli dupli anguli DBC. d Quare aequales erunt anguli DAC .DBC. Itaque in circulo qui in eodem segmento sunt anguli &c. Quod erat ostendendum.
PROPOS. 22. THEOR. 2 . Quadrilaterorum in circulis destriptorum amguli, qui ex aduerso , duobus suill
aequales. IN circulo ABCD, euius centrum E , inscriptum sit quadrilaterum ABCD. Dico duos angulos oppositos ABC , ADC ; item BAD, BCD, aequales esse duobus rectis . Probatur. Ductis enim diametris duabus AC , BD, a erunt duo anguli ABD, A D, in eodem segmento ABC D, aequales . Quare duo anguli ABD , CBD , hoc est totius a gulus ABC, aeoualis est duobus angulis ACD, CAD , nam duo anguli CBD , C AD, eum sint in eodem segmento per a I. huius sunt inter se aequales. Addito igitur c immuni angulo C D A. t ei unt duo anetu Ii ABC, CDA, aequales tribus angulis DCA, CAD, & ADC. ci, Sed isti tres aequales sunt duobus rectis. Igitur & duo ABC, ADC, duobus
reetis aequales eruiri. Eodem modo ostendemus, angulos BCD, BAD, esse duobus rectis aequales. Nam
150쪽
rursus duo anguli ΑBD, ACD, 0 sitne aequales: Irem I c x r. rere duo BC RDM ac prorerea toem ansuliis BCD, Iduobus angulis ABD,BDA, aequalis erit. Addito it, stur communi angulo B A D; erunt duo anguli BCD, ICADi aequales' ribiis angulis ABD. BDA. DAR dii d 32. 3' LSed hi tres sunt aequales duobus rinis a uitur & duo lBCD, Bμ, duobus rectis aequales erunt. Quadrila-lterorum igitur in circulis descriptorum inua l
PROPOS. 2 r. THEOR. 2I. Super tradem recta linea duo circulorum segmenta similia, & inaequalia non minimentur
SI enim fieri potest super recta AB Iconstituantur ad easdem partes duo segmenta similia , & inae. qualia ACB, ADB. Perspicuum est autem,quod se s 3lum intersecant in punctis A, & B; ea a Circulus enim circulum non senat in pluribus in ' ias Io quam duobus punctis.. Vndem. . . riphesia unius i segmenti tota aeris peripheriam alterius Duis igitur recta AD, secans cir-U- ... cumseremias: lin C, & D, conne: δε- . I ctanturque et BCM DB. Quo- i i niam igituli segmenta ponuntur . - , . I dsimi lia, eryt per Io. Defin. huius, i m. a.gulus ACB. aequalis angulo APB, externus iterno quod est so εση absurdum . Non igitur segmenta sunt similia . Qisa super eadem recta linea,&s. Quod erat ostenden-ldendum. a x d