장음표시 사용
161쪽
est angultis CED etiam anguli duo ACD, BCD, qui fiunt a tangente AB,& a linea CD , per oenerram transietinte , sὶ sunt retii. Igitur anguli a tangente ΑΒ, & secante C D , facti sunt aequales angulis, qui
in alternis sementis constituuntur . . 'ulterius non transeat recta secans circuIum percen-
mim , & sit verbi gratia CE, connectaturque recta EF , FC. co Cum enim CD , perpendicularis sit adi AB, eri r angulus BC D, rectus nec non etiam angulus CED, in semicirculo c d rectus erit; unde aequales erant anguli BCD ς CED; sed angulus CE, a iutria ulo CED, rectiis est 3 quare reliqui duo attuli E , DCE , uni recto aequales erunt, &per c n. sequens aequales angulo recto BCD. Dempto ergo communi angulo DCE, remanebit atauI- κοί aequalis angulo EDC, in alterno segmento constituto. Quoniam veroin quadrilater' CRED, dui' asMli oppositi CFE, EDC, ea sunt aequales duobus rectis: si sunt autem & duo anguli ACE, BCE, duiniis rectis aequales, si auferantur aequales anguli hci, EDC: re. manebunt anguli ACE, CFE, inter se uales . Si circulum ighqr tetigerit aliqua recta linea , a contal ctu autem &c. Quod erat ostendendum ,
Super data-rem sinea describere s*memni
circuli, quini capiat angularii aeq*lem dato angulo rest, . s .
Recta data sit AB, & datus angulus rectitimus C. oportet igitur super AB segmentum describe re, in q- angulua existens sit aeqitalia angulo dato
162쪽
In primis si angulus datus C, fuerat rectus data recta lAB, dividatur hilariam, ipsique existem te diametro superi insam semicirculus deseribatur, sectiniique erit quod pro miranam angulua in illo
semper se rectus,squa lis erit dato recto.
Deinde si anstulus datus fuerit obtusus, vel acutus, in in praesenti figura, ad punctum Α, fiat aniliis D A B, malis angulo C , acuto ; & agatus ad DA.grpendicularis AE . quae certὰ eadet supra AB; fia inde angulo FAB, νqualis angulus FBA , seeetque BF , rectam ΑΕ, in F, puncto. M Enant igitur rectae FA, FB , aequales, quare si centro F, & interualis Io FΑ, destribatur circulus ABE, transbie per Α, &B . Dico istitur angulum in segmento Α , quod descriptum est siper ΑΒ, esse aequalem anguloC. Pr bitur . Fiae enim in dicto solento angulus ΑΕ B. casia isitur ΑΕ, transie per centrum F, & ei perpendicularis est D A. tanget recta D A , circulum in A. Puncto per Coroll. Prqp. 16. huius lib. Quapropter angulus DAB. hoc est angulus datus C, cI aequalia erit angulo E , in alterno segmento A G B. Quoquo modo pariter pro Edum eris, si angulus datus obtu .sus eris . Itaque silper data recta linea descripsimus segmentum dec. Quod citatendum erat .
163쪽
Α dato circulo seginentium absciddere capiens
illi ni angulum i aequalem dato angulo' rectilitam.
D Attis eiretitus si A B E, d quo auferre oporis
segmentuin', in quo angulus existens/ isti dato anguis C. ca Discatur recta DA, : . tamens cireulum in ..1 A, puncto Fiat dein-- 3, . . de angultis DAB, qua-. Iisanaulo datu 1 Du
t Jh . Iato NE B , adigitalenae esse dato anouldcba Est enim angulus DAB, aequalis angulo Ealterno segmento Α E B. Cum ergo angulo dato C, facti is si aequalis angulus D AB, erit quoque angi ius C , angi uo E , aequalis. Α dato ergo eirculo
abscidiimis segmentum ΑΕΒ, drc. Quod iacieiiduiis
164쪽
PROPOS. THEOR. 29. I in circulo duae rectae lilaeae sese mutuo secti . rint, reetanglulum comprehelisitim sub seg-- mentis umus, aequale est ei; quod sub segmen iis alterius comprehenditur, rectangulo.
IN circulo ACBD, secent se mutuo rectae AB, CD,
in Ε, puncto . Dico rectangultim comprehensiun, segmentis AE, EB, aequale 'esse rectangulo com. , prehenso sub segmentis, CE, ED. Aut enim utraque linea transit per
centium, aut Vna tantum,aut neutra.
Transeat primum utraque per centrum, ut in prima figura . igitur omnia quatitor Umenta inter se ae linita silint, perspicuum est, rectangulii coni prehesum iii b duobus unius lineae segmetis aequale esse ei, quod sub duobus alterius lineae segmentis coprehenditur, rectangulo. Deinde transeat M. AIa per centrum T; diuidatque primum rectam, CD, bifariam in Es ca) Ac propte-i rea ad angulos rectos, coniungatur-εque recta DT. Q ioniam is itur AB. diuisa est per4. aqualia in T, & per inaequalia in E, b) erit tectan. 1 Vgulum sub ΑΕ, ΕΒ, una cum quadrato rectae ΤΕ, aequale quadrato rectae TD , ideoque quadrato rectae TD, cum rectae TB, TD, sint aequales: Est autem otia- .drattim recte TD, c/aequale quadratis recta ilim ΤΕ, ΦED, Igitur rectangulum sub AE, LB, una cum quadrato intermediae TE , aequale quoque erid quadratis .rectaruris TE, ED. inare ablato communi quadrato
165쪽
quadrato rectae ED , hoc est, rectantulo sub ,&E λ; cum CE, ED, rectae sint aeqMles, ac proinμ et elangulum sub eis coinprehensem. sitqtiadratum. Diuidat iam ABaiansiens per centrum rectam CD
non bifariam secetur ergo CD, bifariam' in G, duha d a. επ.ltur que rectat FG, FD. d) eritque FG , perpendicularis adc D. Quoniam vero rectane illum sub ΑE , &eis c. I EB, una eum quadrato rectae FE, e aequale est qua 1 drato rectat F3, hoc est quadrato rectat Fn: est autem - . quadratum rectat FE, aequaIe s fa quadratia rect tithi FG, GE, & quadratum rectae pia, aequalε qu dratis tectarum FG, GDs erit quoque rectangulum sub ΑΕ, ΕΒ, una cum quadratis FG, GE, άquale
quadrati erectarum FG, GD. Dempto ergo communi quadrato rectae FG, remanebit rectangulum sub AE.& EB, una cum quadrato rectae GE, aequale quadrato rectae GD. Atqui etiam rectangulum sub CE, M. δε IED, una cum Uiadrato rectae GE; ρὶ aequale est ei-' dem quadrato rectae GD: propterea quod recta CD, secta sit bisariam in G, & non bifariam in E. Igitur re-
quaarato rectae G E, aequale est re-J ctantulo sub CG, Go, una cumi quadrato eiusdem rectae GE. Quare ablato communi quadrato rectae' 'ri remanebit rectaneulum sub AE, EB, a quale rectangulo sub
166쪽
sub GE, & EΗ, siue sit bisariam, . . di siue non: erie rectangulum si ibAE, 8e m , aequale rectangulo stib DE. & EC, quod est propositam. Si in circula igitur duae rectae lineae sese mutuo secem, εα. Quod demonstrandum erat.
PROPOS. 36. THEOR. 3 si extra circulum sumatur punctum aliquod,ab
eoque in circulum cadant duae rem linealis 'quarum altera quidem eirculum secet, inera vero tangat: Quod sub tota secante, dc ext rius inter putastum, & conuexam periphoeriam assumpta comprehenditur rectangulum, aequale erit ei, quod a tangente describitur, quadrato. Extra circulum ABS, suma
tur aliquod punctum,nempe, D, a quo linea ducatur DA, secans circulum in C, a &li-is T. M. nea BD, tangens circulum in B. rectangulum sub DA,&DC, aequale esse qu-rato retiae
DB. Prob. Transeat enina primum recti DA. per centrum E, i ingaturque recta EB, quae . balb I reri perpendicularis erit ad DKQuoniam igitur CA, diuisa est per aequalia in Ε, & ei addita in re elum,& continuum alia quaedam CD, cc erit rectangulumle λse. sub DA, DC, una cum quadrato rectae EC, hoc est cum quadrato rectae EB, aequale quadrato rectae
167쪽
ctae DE : Est autem quadratum recta DE, cd J aeoliale quadratis rectarum DB, BE . Quare rectangulum sub A D, D C , una cum quadrato E B, aequale erit duobus quadratis sua DB, BE . Ablato igitur communi quadrato rectae E B , remanebit rectanguluin sibDA, DC, aequale quadrato rectae DB. Quod fuit
propositum. . . Demio non transeat DA, secans per centrum E.
Dillisa ergo A C, bifariam in F, ducantur rectae EB, EC , ED , EF, cea eritque EB , ad DB , perpendicularis ; cis & EF, ad AC . Quoniam igitur CA, diuisa est per aequalia in F, & ei addita recta CD , cy a eriti rectangulum sub DA, DC, una cum quadrato rectae ἰ CF, aequale quadrato rectae DF . Addito igitur communi quadrato rectae FE , erit rectantulum sub DA, DC , una cum quadratis rectariim CF, FE, aequale et quadratis rectata DF,FE: sed Quadratis rectarum CF,l FE, g aequale est quadratum rectae, EC, ideoque&quadratum rectae r B: Et quadratis rectarum DF, FE, aequale h est quadratum rectae ED . Quare rectangulunt sub DA, DC, una cum quadrato rectae EB, aequale erit quadrato rectae DE. Cum igitur quadratum rectae DE, aequale sit quadratis rectarum DB, BE, erit &rectangulum sub DA, DC, una cum quadrato rectae EB, aeqitale quadratis rectarum DB, BE. Ablato ergo communi quadrato rectae BE, remanebit rectangulum sub DA, DC, quadrato rectae DB, aequale: quod est propositum. Si igitur extra circulum summatur punctunt aliquod, &c. Quod erat de monstrandum.
168쪽
Si extra circulum sumatur punctam aliquod, ab eoque puncto in circulum cadant duae rectae lineae, quarum altera circulam secet, altera in eum incidat; Sit autem, quod sub tota secante, & exterius inter punctam, & conuexam periseriam as impia, comprehenditur rectangulam, aequale ei, quod ab incidente describitur quadrato: incidens ipsa circulum tanget
Extra eireulum ABF , euius centrum Ε, piinctum stimatur D , a quo dueatur recta D A,circulum secans in C, &recta DB, incidens in circulum ad punctum B a sitqtie recta noulum sub DA, DC , aequale quadrato rectae DB. Dico DB, circulum tangere in B. ca/ Ducatur enim DF , tangens circulum, & iungan- tur rectae EB, EF; & si DA , non transeat per centrum E , ut est in praesenti figura, iungatur quoque recta ED. Quoniam igitur rectan.
quadratum rectae tangenti et D Frie eidem rectanetillo sub DA, DC, aequale ponitur quadratum rectae DB; erunt quadrata rectarum D F, D B, inter se aequalia, ideoque &reetae DF, DB, aequales inter se erunt. Itaqtie quia latera DF, FEu trianguli D F L, aequalia sunt lateribus DB ,BE, trianguli DBE , & basis DE, communis , cca erunt anguli DFE , DIE . aequales. d) Sed angulus DFE , rectiu est, quod D F, circulum tan-
169쪽
gat. lginir & angulas D B E, reetiis erit. Quapmpter per Coroll. Propos. I s. huius lib. DB , circulum tanget quod est propositivo. Si ergo extra eieculum sumatur. punctum aliquod &e. Quod erat de monstrandum.
170쪽
FIgura rectilinea in si 'ra rectilinea inscribi
dicitur, cum singuli eius figurae, quae tibscribitur, anguli singula latera cius, in qua inscribitur, tangunt.
N hoc quarto libro Euclides agit de variis inserirtionibus Rurarum rectilinearum in circulo saetis, Nearundem cirra circulum descripti'nibus. Necnon etiam tractat de inscriptionibus circuli in figuris rectilineis, &da eirculi d scriptionibus circa easdem figuras rectilineas. Qua propter paucis definitionibus primo loco exponit quid sibi velit, figuram in figura inscribi, aut circa figuram describi: incipiens a figuris rectiliaeis , nam si anguli D, E, F, interni trianguli - K x , DEF,