장음표시 사용
171쪽
DEF. tangam latera BC, CA, trianguli extaria ABC, dicetur triangulam DEF. in triangulo AB esse inseriptum
S iter inam figura circum figur' describi dicitur, cum singula eius, quae circumscribset latera, singulos eius fiyrru angulos tet, gerint , circum quam illa destribitur.
E conuesso triuigillum ABC, diectur des ibi ei triangulum DEF, quonam siubila latera illius tan-
Figura rectiliam In circulo inscribi Scittir, climsinguli eius figurae, quae inscribitur, anguli tetigerint circuli periseriam.
Vt si anguli Α, Β, C, erianguli ABC, tangant periseriam circv I A B C D, dieetu r triangulum in circulo esse inscriptum.
172쪽
Neuravero rectilinea circa circulum deseries clicitur, cum singula latera eius, quae circum- . scribitur, circuli periseriam tangunt.
Vt verbi gratia . si latera trianguli ABC, tangant cir-F culum DEF.
i ra rectilinea inscribi discitur, cum circuli peri- seria singula latera tan
Circulus autem circum figuram describi dicitur, cum circuli periferia singulos tanos eius figurae, quam circumscribit, augulo
173쪽
b3. νβ. Quoniam enim recta linea AB, sitis extremitatibus A,& B,tangit periseriam ΛΒ hine est quod linea recta ΑΒ, circulo aeeomodata, seu coaptata dicitur no vero CD.
PROP m. I. PROBL. I. In dato circulo rectam lineam accomodarcaequalem datae rectae lineae, quae circa diae
IN circulo ABC. coaptanda sit recta linea aequalis
rectae linae dataeD,quae tamen maior non sit dians e. troeati circuli ABC. Cum enim diameter circuli a fit omnium rectarum in circulo maxima, si data recta diametro maior foret non posset in circulo aptari una illi aequalis. Ducatur ergo diameter A C. Itaques data recta D, aequalis Herie. diametro aptata erit AEC, illi aequalis ; si vero D, minor fuerit diametro, b abscindatur. ΑΕ, aequalis ipsi D,& centro A, describatur . circulus BE, secans Ducta igitur re-rrimi. interuallo. A E, circulam ABC, in B, puncto. M a piincto Α, ad punctum B, erit ea aptata in circ Io ABC, aequalis datae rectae D. Prob. Est enim ΑΒ, c aequalis ipsi AE; sed D, etiam ipsa per constructi nem aequalis est ipsi Ah: quare AB,& D, inter se quo i que aequales erunt. In dato ergo circulo rectam Ii- in m accomodauimus. &c. Quod faciendum erat. PRO.
174쪽
PROPOS. 2. PROBL. a. lla dato circulo triangulum describere dato
N cireulo ABC, sit describendum errangi ilum. equiangulum triangulo dato DEF ; ducatur rectata Η, tangens circulum in Α , fiatque angulus GAB, angulo F , aequalis, & angulus HAC,a eulo E , pariter aequalia fiat, extendanturq; reseae lAB,ΑC. ad circumferen aliam usque in puncta B, . & C. coniungaturque recta BC. Non eadet autem recta AC, in rectam AB, vel inter re stas AB , Λ G, ex eo quod anguli GAB,
Η AC, hoc est angiui F , E , sal minores sint duobus
rectis ; essent auteni duobus rectis aequales per I 3.prium , si AC, in AB, caderet, vel maiores duobus rectis fi inter ΑΒ, & ΑG, caderet. Dico triangulum ABC, circulo dato inscriptum, esse aequiangulum dato triam stilo DEF. Probat. Est enim angulus C, b, aequa lis angulo GAB ι &eidem angulo GAB, per conum ctionem aequalis est angulus F ι quare anguli C , & F, Inter se aequales erunt. Similiter quia angulus B, μῖaequalis est angulo HAC; & eidem angulo HAC, per constructione angulus E, aequalis Quare erunt etia am
175쪽
triangulum ADC, triangulo DEF. Quare in dato et culo triangillum descripsimus M. od faciendum
Circa datum circulum triangulum describere dato triangulo aequiangu-
lum. CIrca datusti circulum ABC, describendiim sit triangulum aequiangulum dato triano ulo DEF. Producto latere EF, utrinque ad G, & H , rumptoque
Ais. qualis ansula DEG, & angulus B IC, angulo D F Η. . minae ecpunctis A, B, & C , educantur ad AI, BI, CI, per pendiculares N L, LM, MN, quae circulum tangent in punish s A, B, C. per Coroll. Prop. re . lib. 3. coibunt. que in putastis N, L.M. Si enim duceretur recta Α nerent duo anguli NAC , NC , duobus rectis mino. res , ac proinde Α N , C N , coibunt &e. Nam recta haec AC, caderet supra rectas AI. IC , quia hae angula constituunt in I. ivnim Gallu circa I aequale sit qua
tuor rectis ex Cor 2.Prop. M. l. r. hoc est quatuor angu
lis factis A duabus tectis DE,DF,supra roctam GH,ςa
176쪽
dentibus, sintque duo anguli AIB, BIC , duobus an-lgulis D EG , D F H, aequales , erit reliquum spatium . AIC , reliquis duobus angulis D E F , DFE , aequalis; L
sed hi . a) minores sunt duobus rectis 1 igitur & spa- rtium AIC, miniis erit duobus rectis, ac proinde angulus erit AIC ; alias spatium illud esset vel aequale lduobus rectis, si nimirum AI,CI, unam rectam ibineam constituerent ι vel maius duobus rectis , si recta i linea AI, producta caderet silpra IC; cadit igitur necessario AI , producta intra CI, ac propterea angulus
fiet AIC, ad λrtes N: & ducta recta AC, faciet cum iAN , CN , duos angulos minores duobus rectisside
que rectae AN , CN , coibunt in puncto N . Qiiod to-ltum dicendum erit de reliquis , quod scilicet coeant in i punctis Μ, Ee L. Quo stante descriptum est triangu- Ium N LM, circa circulum ABC, quod dico esse inquiangulum dato triangulo DEF. Probatur. Quoniam enim omnes anguli in qtiadrilatero AIBL, aequales sunt quatuor rectis, ut ad Prop. 31. lib. r. a Clauiod nions r.& anguli L AI, LBI: sunt duo recti propter perpendiculares ΙΑ , IB; erunt reliqui AIR , Ee L , duo-I7. Lbus rectis aequales. Cum igitur & anguli DEG,DEF, eba sint duobus rectis aequales; si aliterantur aequales anguli AIB, D E G, remanebit angulus L, angulo DEF, aequalis. Pari ratione ostendemus angulum inaequalem esse angulo DF E s cca Reliquus igitur angulus N, reliquo angulo D , aequalis erit : atque idcirco triangulum LMN , aequiangulum triangulo dato DEF. Circa datum ergo circulum dcc. Qioderat efficiendum . br3. pr .
177쪽
Ita dato triangulo circulum inscribere. SIe describendiis circulus ii, dato trianoulo AB Diuisis duobus angulis ABC, ACB , biffariam perl'. lib. r. rectis BF , CD, quae iiitra triangulum coeant in G , ducantur a ex G,ad tria latera trianguli pe rpedicu lares GD,' GE, GF. Quoniam igitur duo anguli G is D, GDB,in triangulo GBD, aequales sunt duobus angulis G BE, GEB, in , triangulo GEB , uterque utrique, & Iatus B G , commune ue a erunt quoque latera G D, G E, aequalia. Eadeinque ratione aequa lia erunt latera G E , G F , in triangulis GEC, GFC. Cum igitur tres rectae G D , G E G F , sine aequales circulus ex G, ad interualliim G E, descriptus transibit per reliqua piincta F, & D , per Coroll. Propos. lib. I. ex eo quod latera perpendicularia sint ad semidiametros G D , G E. G F. In dato ergo trian. gulo circulum descripsimus α. Quod erat es ien
178쪽
PROPOS. s. PROBL. F. Circa datum triangulum circillum descri-
T. SIt circulus describendus eirea datum triangulum ABC . Dividantur in primis duo latera AB , AC, c quae in triangulo rectangulo, vel obtusangulo sumenda sunt facilitatis gratia eirca rectum, vel obtusum angit him, quamllis hoc non sit omnino necessarium, cum quaeuis duo latera bifariam
possint secati a bifariam in E, RF , punctis , ex quibus educantur E D, FHperpendiculares ad dicta latera , ω quae coeant in puncto D quod enim meant patet, quia si ducta esset recta EF, fierent anguli EFD, FED, duobus rectis minoresa eritque D. vel intra triangulum, vesin latere BC, vel extra triangulum. Ducanturque rectae DA,DB, . Quoniam igitur latera ΛE, ED, trianeuli ΛED, aequalia sunt la teribus BE, ED, trianguli BED, & amuli ad E, recti, n erunt bases DB, DA, inter se aequales. Eodemque modo erunt DC, DA,aequales. Cum ere. tres rectae DB, DA, DC, sim aequales, circuIus destris plus ex D, ad interuallum DΑ. oransibit etiam pertincta B, & C. circa datum ergo triangulum circa-im M Rripsi s. Quod erat iaciendum.
179쪽
COROLLARIUM.t Ex hac propos manifestum est, quod si centrumi intra triangulum cadat, omnes augulos esse acutos, quoniam omnes cb sunt in maiori segmento circilli: fi vero sit in latere BC, G angulum BAC, illi lateri oppositum esse rectum , ex eo quod si in semicirculo. Si denique cadat extra triangulum d angulum oppositum BAC, obtusum esse cum in circuli minori segmento reperiatur. Quod totum valce etiam e con- uaiso .
PROPOS. PROBL 6. In dato circillo quadratum describere
S It in dato circulo ABCD, cuius centrum E, inscriabendum quadratum . Ducantur duae diametri AC, BD, secantes se ad angulos rectos in centro E, iunganturqtie rectae AB, BD, CD, DA. Dico ABCD, esse quadratum inscriptum in dato circulo. Brob. Nam quia latera EA, EB, trianguli AEB, aequalia sunt lateribus EC, EB, trianguli BEC,cum omnia sint ex centro ad circumferentiam; rursusque & anguli con- . a tenti dictis lateribus aequalibus,
i sunt aequales, nempe recti , a igitur bases AB, PC, ,
t erunt aequales. Eadem ratione aequales erunt rectae
BC, CD, itemque reetae CD, DA, & rectae DA, AB. Omnia igitur latera quadrilateri ABCD . sunt inter se aequalia. Sunt autem & anguli b recti cum omnes in semicirculis existant.Quare quadratum erit ABCD, unde quadratum in dato circulodedripsimus. Quod erat faciendum . PROα
180쪽
PROPOS. 7. . PROBL- 7. Circa datum circulum quadratum describere.
S It circa datum circulum BDHF, cuius centrum Ε,
describendum quadratum. Ducantur duae diametri BH, DF, sese secantes in E, centro ad an ulcis rectou & per B, D, Η, F, aducantur ad diametro lineae perpendiculares ACCI, IG, G A, coeuntes in punctis A, C, I, G. Quod enim co- ιeant BA, DA, patet ex eo, quod ducta recta BD , saeiat ' - cum BA, DA, duos angulos duobus rectis minores, atque 'ita de reliquis. Dico ACIG,
esse quadratum, circa circulum descriptum. Prob. Qim enim anguli BED, ADE, sint . .
recti, ea/ erunt ΒΗ, ΑG, parallelae ; similiterquet' .pr: erunt CI, m, parallelae. cb Quare & AG, CI, in- 'ter se parallelae erunt. Eodem modo parallelae erunt AC, GI. Quoniam igitur parallelogrammum estiea ινγ, ΑΒΗG, α erunt latera opposita AS, BH, aequalia,4 '& anguli oppositi BAG. BΗG, aequales di sed B HG,
eli rectus, igitur & BAG, reclita erit. Quo pariterr . i. modo ostendemus,angui's C,I,G, esse rectos; nec non l . 'etiam latera AC, CI, IG, GA, aequalia esse diame-l tris B H, DF, Quare cum diametri Int aequales, erunt&qiinuor latera iam dicta inter se aequalia: ideoque ACIS, quadratum erit, cuius quidem latera circulum tangunt iuxta coroll. propos. Io. lib. 3. Quapropter circa datum circulum qtiintatum descripsimus. Quod erat efficiendum.