장음표시 사용
181쪽
In dato quadrato circulum describere.
I c It in dato quadrato ACI G, inscribendus circuIusil
ci Diuisis lateribus bifariam in B, F, Η, D, di in tur ΒΗ . D F, sese secantes in puncto E . niam igitur M , GI, rectae aequales sunt , & parallelae, erunt & dimidiae earum AB, GH ,πquales, & parallelae. a Quare etiam A G, parablela est i psit ΒΗ,& etiam equalis. Eadem ratione erit C I, parallela, & aequalis ipsi Bli: Itemque rectae AC, GI, parallelae erunt, & aequales ipsi DF. Sunt igitur parallelogramma AE, CE, IE,&GE: ideoque rectae DE, ΕΗ, EF , EB, aequales erit mrectis A B, D G , C B, A D : sunt autem hae inter leaequales, cum sint semissae aequalium AC , Α G &e. Quare & rectae EB, ED , ΕΗ , EF, inter se aequales erunt: ac propterea circulus descriptus ex E, ad interuallum E B, transibit quoque per puncta D, Η , Ω F. Qui circulus cum contingat latera AC, CI, JG, GA. per Coroll. Propos. I 6. lib. 3. έ b quod anguli ad B, D, Η, T, sint recti , descriptus erat in quadrato AI. In dato ergo qindrato circulum descripserui sessiciendum erat.
182쪽
PROPOS. P. PROBL. s. Circa datum quadratum circillum descri
SIt describendus circulus circa quadratum ABCD. Dueantur diametri A C, B D, secantes se in E, plancto E. Quoniam igitur latera Α B, A D, trianguli Α Β D, aequalia sunt, ca) eriint anguli Λ B D, Α D B, aequales; est autem angulus BAD, remis 3 lγ) Quare ABD, ADB , anguli erunt semireeti. SL
militer ostendemus, reliquos omnes angulos ad A , B , C , D , esse semirectos,& idcirco inter se equales . Cum ergo anguli EAB, EBA, sint aequales, ce) erunt rectae EA , Eu, aequales. Eademque ratione EA, E D, aequales erunt 3 sicuti etiam E D , E C; Et demum E C, E B . Quare circulus ex E , interuallo ΕΑ , descriptus , transibit per reliqua puncta B, C, D . Caca datum ergo quadratum circulum descripLmus . Quod erat lacienduin . a s. pri.
i PROPOS. Io. ΡRΟBL. Io. sceles triangulum constituere, quod habeat utrumque eorum, qui ad basin sunt, a gulorum , duplum. reliqRi .
SVmatur quaeuis recta linea δε Κ qtiae diuidatur in C, ca) taliter ut rectangulum sub AB, BC, aequale sit quadrato rectae A C. Deinde cenuo A, inter.
183쪽
lio AB, eirculus BDE , describatur, in duo cn aci modetur recta BD, aequalis ipsi A C , iungaturque recta A D. Q ioniam enim rectae 'di: AB, Α D, aequales stini, erit:i triangulum ABD, isosceleri i. Dico utrumqtie angulorumi ABD, ADB, duplum esse rein liqui anguli A. Prob. Ducta enim recta CD, 0 describ ttir circa eriangulum A C D, circulus D C A E. Quoniam igitur rectantulum seb AB, BC, aequale est quadrato rectae BD, & recta M, secat circulum D C Α E, cd tanget, recta BD, eundem circulum DCAE , in pumcto D. Quare angulus aequalis est angulol Α, in alterno segmento CAED. Addito igitur commun3 angulo CDA, erit totus angulus ADB, aequalis duobus angulis C DA, CADs sed duobus anguIis CDA. C AD, i I aequalis est etiam angulus exterismis BCD. Angulus ergo BCD; aequalis erit angulo ADB, hoe est angulo ABD. αβ cum ABD, ADB, anguli sint inter se aequales s ac propterea , ch rectae DC, DB, aequales erunt e Eit autem BD, aequalis posita rectae AC;igitur& CD, ipsi Cre,aequalis erit; i ae propterea anguli CADS DA, aequales inter se erum Antulus igitur ADBI qui aequalis ostensus est duobus angulis CAD, CDA, duplu3 erit alt*rius eorum, ni mirum anguli A. mare & angulus ABD, dupIMerie eiusdem anguli Α.Isbsceses ergo triangulum constituimus habens ;&c. Quod iaciendum fuit prop..
Qtioniam vero in triangulo 3 ABD, tres anguli aa sunt aequales duobus rectis , hoc est quinque quintis duorum rectorum, euklens est, adgulum Α, esse quim. i tam
184쪽
iam partem duorum rectorum a utrumlibet autem B, D , ditas quintas partes. Item Α, esse duas quintas partes unius recti, & utrumuis B , D , pariter esse 7uatuor quintas partes. Quandoquidem omnes tres b) aequales iunt duobus retiis, hoc est decem quintis unius rect i .
In dato circulo pentagonum aequilaterum, &aequiangulum inscribere. SIt in dato circulo AB, CDE , inscribendum pentagonum aquilaterum, & aequiangulum. a
Conuituatur triangulum I sceles FGH, ita- ut uterque anpulorum
G, & Η , duplus sit r . liqui F;postmodum ro in circulo b inscri- , batur triangulu AC', triangulo FGH, aequiangulum a quo posito Vterque angulorsi ACD, CD A, O bifariam diuidatur rectis CE, DB, iunganturque rectae AB, BC, CD, DE , EA. Dico nentagonum ABCDE, in dato circulo inscriptum,esse aequi Iaterum , & aequiangulum . Probatur. Cum enim uterque angulorum A C D , Α , duplus sit anguli CAD, & bifariam diuisis; erunt quinq; anguli ADB, BDC, DCE, ECA, & CAD, aequales. cd Quare arcus AB, BC, CD, DE , E A , si per quos ascenderunt, atque idcirco ea rectae etiam AB , BC, CD, DE,EA, aequales erunt. AEqiii laterum est ieitur pentagonum ABCDE. Rursus quia arciis AB, ED , aequales sunt saddito communi BCD, fient aequales ABCD , E B. 0 Anguli ergo Am , BAE , dictis arcubus insisten-
185쪽
tes, aequales erunt. Eodem modo aequales erunt libet horum anguloraim reliqui anguli. Insistunt enim aequalibus arcii biis , quorum singilli externis arcubulli aequalibus e ponuntur. AEquiangulum est ergo penistaeonum ABCDE . Quare eum etiam aequi laterutra fuerit ostensum, inscriptum erit dato eu culo Pent gonum aeqii i laterum , & aequiangulum : Quod erat effetendum.
Hinc sequitur angulum pentagoni aequi lateri , &aequianguli complecti tres quintas partes duarum rectoruin s vel sex quintas unius recti. a 3 Cum enim tres anguli BAC, CAD, DAE, aequale sint, utpote qui aequalibus arcubus insistant, sit autem C A D , per Coroll. praecedentis Propos. quinest Pars duorum rectorum, vel duae quintae unius recti. Erit totus B A E, tres quintae duorum rectorum; vel sex quintae unius recti .
Circa datum circulum , ' pentaginiam aequilaterum, & aequimagulum describere . SIteirea datum circulum BDFΗL, describendum
pentagoniam aequi laterum , & aequiangulum. caλ Inscribatur in dato circulo pen lagonum aequi laterum, & aequi-- - angulum , cuius anguli sint in
punctis B, D, F, Η , L . Deinde I ex centro Μ , ad puncta B, D, F. H, L, ducantur rectae MA , MD. D lM H, , M H , ML, quamuis in nostra ligura ad puncta B,& L,non E x sint diicta ) ad quas postea ducan tur perpendiculares M,CE.
186쪽
EG, GI, IA coeuntes in punctis A, C, E, G, l. Ducta enim recta DF, erunt duo anguli EDF, EFD,dit biis rectis minores, erim sint miries rectorum angulo. rum EDM, EFM , coibunt ieitti e lima r 3. pron. rectae
DE, FE , ad partes E; sicque de aliis. Et quia ipsiaetai unt circuliim per Coroll. propos. Is lib. 3. erit descriptum pentagonum ACEGI, circa datum circu. Ium , quod dico esse aeqtii laterum , 3e aequiangulum. Probat. Ductis enim rectis ME, MG , erunt quadrato rectae ME. b) aequalia tam quadrata rectarum MD, DE , quam rectarum MF , FE. Quare quadrata rectarum MD, DE , aequalia erunt quadratis rectarum MF, FE : demptis igitur aequalibus quadratis rectarum aequalium MD, MF, remanebunt quadrata rectarim DE, EF, aequalias idemite etiam rectae DE, EF, arquales erunt. Quoniam ergo latera DM , ME , trianguli DME, aequalia sum lateribus FM, ME, triano uti F ME,
est autem & basis DE , aequalis basi EF, ut os .nsum est ; sc) erit angulus D M E , an=lo E M F , aequalis. Igitur & anguli cd DEM , FEM . Duplus igitur est angulus DMF, a noulip ME Eodem modo offende mus anguliim FMΗ , duplum esse angi Ii GMA snec non etiam de reliquis. Cum ititur anguli DM F, FM H , e/ sint aequales, ex eo quod insistant aequalibit, circumferentiis f a D F , F H , cum ipsae, a rectis aequalibus DF , FH , auferantur: erunt & di multi eorum EMS , FMG, aequales. Quocirca cum duo anguli EMF, EF M, trianguli EM F, aequales sint duobus angulis G MF, GF M, trianguli GMF, 3e latus illis adiacens Μ F, commune s c e ) erunt & latera E F , F G, aeqi lia, & anguli M EF , M GF , aequalta.
Dupla est ergo recta EG, ipsus rectae E F. Ea lem eratione ostendemus E C , rectam dii plarn esse iectae DE . Sunt autem ostensae aequa las DE , EF , ieitur dictaeum duplae EC , EG, aeqitales erunt. Similiter dei aurabimus , rectas GI, IA, AC , atoriales esse cuilibra rectarum CE, EG . AEqui latet uni τrxo et I Ren tallonum ACIE Gl. Rursus quoniam ostenium eit,
187쪽
angulos FEM, FGΜ , aequales esse , ac semisses Iorum DEF, FGH ; erunt de eorum dupli DEF,FGH, aequales . Eademque ratione anguli HIL, LAB, BCD; cuilibee angulorum DE F, F GH , aequales erunt. AEquiangulum igitur est pentagonum AC EGL Uapropter eum & aequilaterum sit ostensum, descriptum erit cirea datum circulum, pentagonum aequ,
laterum, & aequiangulum. Quia erat efficiendam. COROLLARIUM. Ex hac demonstrmone suluitur, quod si in circitIs
quaecunque figura aquilatera is &aequiangula descri- Datur, & ad extrema semidiametrorum ex centro ad angulos ditharum excitentur lineae perpendiculares, constitnere aliam figuram totidem laterum,& angulo. rum equalium circulo cireumscriptam, ut lute
In dato pentagono aequitatem, & aequiangaeo circulum inscribere.
INseribendus sit circulus ACEGI. Dividantur duo eius anguli CAI, ACE, proximi ca bifariam roctis Ao, Co, quae coeant ino, puncto,quod dico esse intra pentagonum ; nam si a plincto o, connectantur rectae OE, OG, OI, facile erie ostendere omnes lineas a puncto o, ad angulos pentagoni AC EGI, ductas esse aequales. Quoniam enim lat
ra AC, Co, trianguli AC aequalia sunt lateribus EC, CD, trianguli Eco ι sunt autem de anguli Mo, Em, dictis lateribus contenti area traper
188쪽
per constriictionem en erunt&bases ΑΟ, b pinanguli C A O, C Eo inter se aequales. Cum igitur
anguli CAI, CEG, Innantur aequales, & CAo, dimidium ponatur anguli CAI, per constructionem erit &CEo, dimidium anguli CEG. Dillinis est ergo angulus CEG, bifariam. Simili modo ostendemiis, reli-ruos duos angulos 2GI, GIA, pariter esse bifariam tuis . Quo stante cum duo latera ACMo,in triangulo ACO, aqitalia sint duobus lateribus EC, Co, in triangulo Em, & anguli ACO, ECO, dictis lateribus aeqtialibiti ciimpraehensi, sint aequales per in n- structionem, co erit basis Ao, basi Eo, aequalis:ic . pH. quoquo modo etiam demonstrabitur Co, CA, Go, EO, IO, inter se aequales esse: quapropter punctum O, erit intra pentagonum ΛCEGI. Ducantur iam exo, ad singula pentagoni latera perpendiculares OB, o D, OF, ΟΗ, DL. Quoniam igitur duo anguli BAo, ABO, in triangulo ABo, aequales sint dum bus angulis LAO, ΛLo, in trianet ilo Ain; estque Iatus Ao, iubtensem uni aequalium angulorum,commune; d) erunt & rectae BO, Lo, aequales. Simili-s..terque ostendentur reliquae perpendiculares m,m,HO, aequales cuilibet istarum. Cireulus igitur de- . scriptus ex centro o, & intervato OL, transibit quo-iqile per plineta Η,F,DAE; quoniam vero latera pen- tagoni circulum hunc tangunt per coroll. pr 'os. 16. lib. . eo quod angulos recios faciant eum semidiame.
tris BD, DO; erit eirculus BDFΗL. in data pentagno inscriptus. QMd fariendum erat .
189쪽
PROPOS. I . PR ΟΡ L. Iq. Orcad tu in peiatagonum aequilaterum,& aequb angulum circulum describere.
SIt circa pentagonum ABCDE, atqui laterum ,&aequiangulum circulus describendus. Dillisis duo. bus angillis BAE, ABC, bifariam rectis AG BG, quae coeant in puncto G, intra pentagonum , ut in antecedente propos demonstratum est ι &coniunctis rectis GC, GD, GE, ostendemus, ut in praecedenti propos etiam reliquos angulos BCDxDE, DEA, sectos esse bifariam . Erunt ergo omnes
anguli dimidi j inter se aequa-- l les, ex eo quod tota anguli aequales ponantur . Qito niam igitur lin triangulo AGB , duo anguli B AG, a ε. πλ. I ABG, aequales sunt sca/ erunt rectae AG, BG, inter
se aeqtiales. Eademque ratione erunt r/'liquae, GE, GD, , cuilibet istarum aequales. Quare circulus descriptus ex centro G, interuallo GA, transibit quoque per puncta B, C,D .E. , Circa datum ergo Pentam gQuum , M. .Quod faciendum erat.
In dato circulo hexagonum aequilaterum , &aequiangillam inscribere. SIt in dato circulo ABCDEF, cuius centrum G, ino
190쪽
uallo ' G, describatii r circii liis, qui secet circillum datum in ptinctis C, & E, e quibus per centrum G, extendantur rectae CF, EB. Si imitur connectantur rectae AB, BC, CD, DE, EF, F Α, inscriptum erit in dato circulo hexagonum ABCDEF , quod dico aequi laterum, &aequiangulum e I. se . Prob. Cum enim recta GC, aequalis se rectae GD, &recta DC , aequalis eidem rectae DG, ex de n. circuli; erunt& rectat GC, DC, aequales inter sed lagoque triangulum CDG, erit aequi laterum. Qua re tres anguli in ipso ca) eruntia prhaequales inter serqui cum aequin
ta sint duobus rectis, cb erit b
mii libet it lorum, nempe CG D, tertia pars duorum rectorum . Eodem modo erit an-' gulus DGE, tertia pars duorum rectorum . Sunt au- l tem tres anguli CGD, DGE, Em, cc aequales duo- chus rectis. veliquus igitur, angulus .E G F, erit quoque tertia pars duorum rectorum. Sunt ergo tres anguli CGD, DGE, EGF, inter se aequales; quibus cum etiamsd equalessnt ad verticem anguli FG A.AGB, BGQ erum sexanguli ad centrum G,constituti aequa-' ε do. e Quare circumferentiae, quibus insistunt, f ii rac propterea rectae AB, BC, CD, DE, EF, Fri,aequa lIes'erunt. Qitapropter atqui laterum est hexagonum ABCDEF. Rursus, quia circumserentia BC, aequa tIis est circumserentiae AF; si comunis addatur CDEF, erunt circumserentἰae BCDE F, AFEDC, aequales. Anguli igitur ii si, insistentes BAF, ABC, g aequa des erunt. Timiliterque ostendemus, reliquos angu los BCD, CDE, DEF, EFA, aequales esse cuilibet listorum : quia nimirum quilibet insistit arcui composito eri quatuor arcubus aequalibus, nimirum ex tot, quot latera continet figura inscripta demptis duobus. λη qu0 sit, angulos omnes aequalibus arcubus insiste Ie.