장음표시 사용
191쪽
m. Quare aeqitiangulum i luoaue est hexagontiavi. ABCDEF. In dato ergo circulo nexagonum aequilaterum, & aequiangillum descripsimus . Quod facie it dum erat.
Hinc manifestum est, Hexagodi latus aequaIeesse semidiametio circulit Nam DC, latus hexagoni aequale eit semidiametro DG, ex defin. circuli.
In dato circulo quinti decagonum aequila rerum, & aequiangultim describere .
SP in dato circulo ABC, inscribendum minita cagonum aequi laterum, & aequiangulum. In dato circulo constituatur triangulum a ςquulaterum ABC, quod
Ium erit ex CorolIeprop.quintae libri r. H Eruntque tre AB, BC, CA, aequales. Qualium igitur partium pquam lium quindecim est
ABC, talium quin que erit arcus AB, lex dictis tertia pars est circumferentiae. cst Imitatur rursus in dato circulo pentagonum aequilat rum,&aequiangulum ADEFG, applicans unum angulum ad punctum A: d) eruntque quinque arcus AD, DE,EF,FG, GA, aequales. Qualium igitur Ra tium
192쪽
tium aequalium quindecim est tota cirrumserentia ABC. talium trium erit arcus Α D, quinta pars ex stens totius circuinferentiae. Itaque cum arcus AB, oontineat tales partes quinque, & arciis AD, tres; continebit reliquus arcus DB, duas. Diuiis ergo arcu DB, cdo bifariam in H, erit arcus ΒΗ , pars decimald 3 rerriuinta totius circumserentiat. Quare ducta recta BH, udiendo decimamquintam partem totius circumserentiae 3 cui si aliae quatuordecim, e) aequales in circulo accommodentur, in circulo inscriptum erit quin-istide gonum aequilaterum , quod D & aequianr- 'lum eu, cum eius anguli subtendant arcus aequales, nempe compositos ex Ia. arcubus ualibus omnes,
ut perspicuum est. In dato igitur circulo quintadeca-gonum , &c. mod faciendum erat. Pari modo per ea , quae supra ad propocra, I 3, &x . huius lib. dicta sunt de pentagono , describemus etiam circa datum circulum quintid agonum sequi- laterum , & aequiangillum. Nec non etiam in dato ouintide gono aequilatero . & aequiangulo circulum aescribemus 3 & tandem circa datum quinioragianum cir livn describemis.
194쪽
. iArs est magmtudo Nagi ditas. imium '
maioris, sum minor metitur ' ' imaiorem.
Euclides inquatuor antecedentibus librisq mi- , talem continuam absolute considerauit: in hoc autem libro illam eandem quantitatem exami t non absislute , sed prout ad aliam refertur, hoc est qua- .ltenus comparata ad aliam cum illa aliquam propor-l tionem habet: nullatenusdscendendo ad ullam quan-ιtitatis speciem, ut ad lineam, superficiem, vel cor-4 pus. sed silummodo in genere quamitatis containae 1'. Proportiones exponit. Quare ut instiuitum seruet definitiones ad proportionum demonstrationes necessa.
In primis inquit,magnitudinem illam mimas ea, maiorem aliam magnitudinem metitur,trartem, qu G- ilari.Vte.g.quonia magnitudo trium cubita,rsi tersum il exa metitur ali in magnitudine subtiarum,ideo pri-
195쪽
ma magnitudo minor, dicitur pars secunda magnitudinis , nempe maioris. E contra vero quia imagnitudo trium cubitorum non metitur ma*nitudinem de cem cubitorum, ideo magnitudo s.cubitorum non dicitur pars magnitudinis Io.ciibitoriini. Nam ter sum. pia non adaequat, & quater excedit, quod totum re, quiritur,ut una magnitudo dicatur pars aIterius. Aduertendunt tamen est, quod pars apud Mathematicos est duplox , nam alia est pars aliquota , alia' aliquanta. Pars aliquota dicitur illa, quae metitur suum totum, itaiit aliquoties repetita totum sutim conis stituat, ut est numerus a. cum 6. 3. cum 9. &c. col.
Pars vero aliquanta dicitur illa. quae adaequale non metitur suum totum, sed ali suoties sumpta vel ipsum excedit, vel ab eodem deficit; cuiusmodi pars est numerus 4. collatus cum s. 9. IO. I 6. 8ec. Si autem quaeratur quaenam ex istis partibus fuerie
ab Euclide definita . Resp. quidquid alii Micant so.
lam partem aliquotam per datam Euclidis definitimnem definiri, tum quia haec soliimmodo metitur suum . totum , tum etiam quia , Ut ex lib. . constat, pars ali quanta in numeris ab Alithore huius libri non dicitur, pars, sed Partes. Nam numerus . non est pars nu- meri s. sed duae partes tertiae, quales sunt duo binarij.
Multiplex autem est maior tam ris . eum mi
nor metitur maiorem. ιο Vando enim una maonitudo ab a Ita metitur , rinumerus 8. qui metitur a numero ε, tunc com mensarata magnitudo multiplex dicitur commensa ramis; unde sinuitur quod si duae magnitudines mi- . nores duas alias maiores aeque metiantur, hoc est unal mis
196쪽
hiinor in una maiore toties costineati ir,quoties altera minor in altera maiore ut exec . ratia s.&1 s. respes.& s. dictimur aeque multiplices.
ΙΙΙ.Ratio est duarum magnitudinunt eiusdem g neris mutua quaedain, secundum quantitatem, habitudo.
O Vando enim duae quamitates eiusdem teneris, ut duo numeri, duae superficies , duo selidam.
comparantur inter se secundum rationem quantitatiuam, hoc est quatenus una maior est, vel minor, vel aeqtialis alteri , huiusmodi comparatio, seti respectus mutuus, appellatur ratio, seu Proportio. Illa vero quanti , quae ad aliam relertur , dicitur ab Euclide, & aliis antecedens proportionis: Ea vero ad quam alia refertur consequens proportionis.
Proportio vero; est rationum similitudo.
IN hac quarta definitione id , quod propinio appel
latur , illud ipsum a Graec s Analogia, & aqua-Plurimis latinis pi oportionalitas dicitur. 'Quemadmo dum enim comparatio duarum quantitatum inter se dicitur proportio ue 'ira comparatio duarum . vel plurium proportioniim inter se, proportiohalitas solet nuncupari. Quia enim proportio numeri 12. ad 4. eadem est ac y. ad a. hinc est quod habitudo inter has proportiones proportionalitas dicatur. Αduertendum tamen est id , quod dicit Clauius in hoc loco, quamplurimo scilicet Mathematicos compa ratio
197쪽
rationem duarum quantitatum proportionem , habis dinem autem proportionum proportionalitatem apis ζellare. Quod sana nos etiam imposterum obserua.
Multae autem proportionum habitudines, seu pr portionalitates a scriptoribus assignantur, videlicet proportJonalitas Arithmetica, Geometrica, atque Massica, seu Armsitea; quamuis Euclides in noc librogi rea Geometricam tantummodo versetur,quae duplex assignantur Continua scilicet, atque Discreta . Con- tinua est, in qua singulae qtiantitates. intermediae bis sumuntur taliter,ut ἡulla fiat proportionum interruptio, sivi quaelibet interm ia quantitas sit,& antece. lidetis, & eonsequens. Ut si dicatur , quae est propor- . tio Α , ad B, eadem est B , ad C, M. Discreta vero proportionalitas est illa , in qua singulae ouantitates intermediae semel tantum accipiuntur, taliter ut fiat proportionum interruptio, nullaq; quantitas sit ante Icedens e sequens; ut si dicatur, quae esturoportio Α, ad B, ea est C, ad D, M.
Vot sint genera priortionum apud
Mathematicos , & quae sint praecipuae. proportioinstates compendiis. exponere opere 'lpretium duxi, non solum ut ea, quae ab Euclideri s.& .. libro demonstrantur, rebus materia libus Geommodari possint, verum etiam Ut ea, quae a Mathematicis, & Philosephis de motuum proportione disputantur, glarius intelligi queant.. Proportio igitur ab Eustide definita clividia
198쪽
. Di -portionem rationalem, & Inration- . leni A Rationalis est illa, quae in numeris potest 'exhiberet e S hac modo se habet proportio illa; quae cadiu inter lineas, quarum maest Impis alteri vero est Io. palim haec enim proportio 'dens inter has duas lineas per numeros et , & , exprimirut. ει mitio vero Irrationalis est illa. quae in numeris non potest exhiberi; cuiusnodi
est proportio diametri alicuius quadrati ad Iam .' eiusdem quadrati: quod totum ab Euclide in
tiones .dicenso scibita proportion em Rariolo 4
lem cadere inter quinitates commenlarabiles , nempe illas, quae habent man communem pax rem aliquotam, is quas ead meiasin a sim multis metitur. Et hoc modo se habetiima at ipsi & linea 8. pes. Napilinealq. pal. - quota tam lineae' a o. quam 8. pal, Nec I iterme meri dicuntur cum usar biles, , nam iapem vultas omnes metitur.' E conixa vero Proportis Irrationalis es: illa. quae cadit inter duas quandiditates in commensurabiles, nempe ill4s, quae nul-inis habeat comminaein partem aliquot in quarum nullast communem mei suram possunmus inrire. Huiusmodi autem se ha-ς duae quantitates , uniam diampter quadr latus eiusdem quadrati ; licet utraque ii,
orantitatuna habeat parte1 ψqψotas, stilicet midiatani, tertiam, qwarcanii=-, attamen in pars aliquota vinus ouantitaui potest a ii
199쪽
quantitatem meti si ut ab Euclide in 1 o. iiii nistratum fisit. Ex modo dura colligitur in numeris . scd proportionem Rationalem est eriri, quia saltemisitas omnes numerin meditur 3 at vero in quam litate continua non solum proportio Rationalis, verrum etiam Irrationalis inuenitur. Nil postea aliter proportionem partiri suem nempe in pro portionem Aequalitatis, & Iliaequalitatis. Prima
ives Ido; palmorum , M. Proportio vero Inaequalitatis est illa, quae cadit inter duas quantita-ἔtes inaequales, vid-et inter duas lineas, quamnama est zo, palmaltera , M. Ioo, M. Notandum tamen es: quod duo proportionum genera vltimo loco assignata cum prioribus t lem habent connexionem, ut scilic omnis prinportio Aequalitatis sit s per Rationalis, inmautem e contra. Item omnis proportio Irrati natis ins per necessari, Inaequalitatis, ad non e. cime G, utconsideranti patebit. missa igitur Aequalitatis proportione quae, uinius subdiuidi nequit, nam omnes quantit . tes aequales eandem semper habent proporti nem aequalitatis; hac inquam ommisia adaliam si proinitionem Inaequalitatis transeamus. l IlInaequalitatis proportio subdiuiditur in poletionem maioris, & minoris ii qualitatitari quando maior Oistitas cum minore confertur, hancque pro
200쪽
rionem habet numerus et o. ad I . compar tus. EContra vero proportio minoris Inaequali ratis est, quando minor q antitas cum maiore consertur ut est y merus I o.ad aci. comparatus; vel quando linea q. palm. cum linea Io. palm. t 3 confertur .- Neque enim eadem est proponio Gad I o, ae I et, ad ut clare patet,vel in Ocriter in Algebrae regulis versatis. 'Nerum in hoc loco dumtaxat sermonem e Citamus circa proporxiones maioris, vel minoris, inaequalitatis, quatenus solas proportiones Ra-irtionales comprehendunt: de ruiquis vero pr
portionibus Irrationalibus in Io..ti, agunt Αu- l
Qirare Rationalis proportio inmoris, ues mae loris In qualitatis in s. genera distribuitur, vid licet in Multiplicem, superparticularem, Superpartientem MMultiplicem Superparticularem, &Nultiplicem Superpartientem, cum hac solum distrimine,quod in proportione mi apris iusqua- Iitatis lingulis vocabulis praeponitur; prspositio
FVR dicendo sub multiplicem, sub superpari,
Ex his quinque premo ontun generibus aliat 'su iit simplicia, alia composita. Simplicia sunt tria priora, reliqua vero duo composita. . . Quod autem proportio Rationalis maior via minoris in qualitatis adaequale in quinque a*gnata genera distribuatur posita istorum genWJ rum explicis evilandemus . . si