장음표시 사용
201쪽
P Romaetio irasti ex desimine, quod sit
bitudo maioris quantitatis au minorem, quando maior minorem taliter iquotidi cimt, .net, ut minor metiatur maiorem Hanc propo tritaem habet numerus 1o ' ad 4. sqsu in io.
hquinquies comprehendit ε. Qiis pariter dicen. dum venit circa lineam 1 o. pQum ad lineam s. ε
Huiusmodi proportio sub se infinita coimiMi genera , nam si in proportione mul*llai maior ruantitas minorem bis tantummodo contineat. iicitur proportio Dupla: si vero tar contin ' dicitur tripla, si quater quadrupla, si decies des.
. Hoc posito mili ne io definiuntur spretes proportionis 'multiplicis ; siquidcin proportis tripla nil aliud est quam habitudo maioris q-D '
titatis ad minorem taliter, ut maior terminorem,
complectitur. Pariter proponio est la H ibia habitudo maioris quantitatis ad minorem, quando maior minorem octies c flectimsi ve numerus q8. ad 6. habet proportioneni o piis, quia octies ipsum 6. continet. od totum valet etiam de reliquis φαμ ., Prop. donis multiplicis. x o . .
202쪽
DE PROPORTIONE 'Superparticulari.
Dffinitur proponio superpartieularis,a
quod sit h ibitudo 'maioris quantitatis ad minorem, quanio m - minorem senisti dumtaxat continet, & infuser unam eius partem aliquotana, scilicet 1midiatam, &c. Hanc proportionem hasei numerus s. ad a. Namnum merus si semel continet L, dc inseper Uitalcm,i quae est pars dimidiata ipsius a. Item linea I,
Ivium ad lineam s. pedum prop'sitionem ha-i het superparticularem, qpia scilicre prior lineal semel continet posteriorein, & insu M lineam s.l
Pedum, quae eit 3. pars lineae pedum . : Haec pariter proportio in infinita genera se, ldiuiditur. Nam si illa pars alimota in maioris quantitate contenta est dimidiata pars minorisit quantitatis, cqnstituitur proportio sesquialtera; si autem est tertia pars, insurgit proportio scsqu, 'tertia; si quarta, squiquarta ; si centesima,st Rubcentesima,&c. Vnde mediante hos vocabulqfa- .ciles erunt definitiones onualum proportionum . super particularium. Proportio enim sesqui 'taua est quando maior quanti as minorem includit, & insuper octauana partein minoris ;quantitatis: qualis est proportio luter item inter s. & qo. Siquidem A. . semel conti- net 8. ix insuper mani unitatem, uitae est oestaua l
203쪽
pars ipsius 8 sicuti etiam 43. semel continet o& insuper s. tristina pars ipsius Ao.
SVperpamens proportio destatur, quod sit 'habitudo maioris quantitatis ad minorem, quando maior, minorem semel dumtaxat coni, 'net, & insuper aliquot eius partes aliquotas non 'efficientes unam aliquotam. Huiusnodi pro- . portionem habet numerus 8. ad s. Siquidem numerus 8. semes continet s. & insuper tres unitates, quarum quaelibet in pars aliquota, nempe quinta huius itumeri s. Ipse autem ternarius ex illis tribus vix talibus compositus, non est pars
aliquota ipsius numeri s. Et hic est aduertendium, quod in data definia tione dichim suit, partes illas aliquot s simul
sumptas non debere constituere unam partem aliquotam, quia sic distinguimus proportiones silperparticulares a superpartientibiis. Dantur lenim quaedam proportiones, quae primo aspe- l videntur superpartientes, cum tamen reuera sint superparticulares: ut patet inter numeros Io.&8. amuis enim Io. s emel contineat 8, dc insaper duas unitates, quarum quaelibet esti . ua pars numeri 8 ; quia tamen illae unitateS. limul sumpta constituunt binarium, quod esti quarta pars numeri 8, ideo ita proportio non
204쪽
est superpartiens, ta superparticularis, nempe
sesquiquarta. Pariter huiusnodi proportio superpartiens habita ratione partium aliquotarum diuiditur in genera infinita: si enim maior quantitas minorem semes comprehendat, & duas eius partes aliquotas modo stipra assignato, tunc consurgit proportio superbiparticiis; si autem maior quam litates minorem semel comprehendat. & inlisper tres partes aliquotas, tunc catacitur proportio supertripartiens , M. . f . Ulterius quodcunque ex assignatis generibus, habita ratione denominationis partium aliquotarum, adhuc diuiditur in genera infinita. Hinc est quod proportio Superbipartiens inter duas quantitas inaequales, quarum maior semel coetibnet minorem, & duas eius partes tertias, dicituri sepcrpartiens tertias; & si illae duae partes fuerint quintae appellabitur superbipartiens quintas, M. . Si autem quaeratur quomodo cremisci possitan unus numerus habeat communem mensuram cum alio nec ne. Respondeo hac totum manifestari ab Euclide in lib. 7. in quo loco assignat
regulain lirueniendi communem mensuram n merorum, illosque numeros, qui communem mensuram non habent praeter unitate ut '
205쪽
DE PROPORTIONEΜultiplici superparticulari.
DEfiititur proportio multiplex superpare,cularis, quod sit habitudo maioris qua
titatis ad minorem, quando maior minorem vi quoties, ut bis, ter, 'ves quater, &c. continet, &praeterea unam eius partem siquotam. Huiusmodi proportio est, quam habet numeras s. ad A. Continet enim s. bis 4. & quo ad istam par tem haec proportio conuenit cum multiplici, nempe cum. Dapla, & ulterius comprehendit unitatem, quae est quarta pars numeri requantum m hoc isti proportio conuenit cum s perparticulari, nempe sesquiquarta: qua de re haec proportio optime multiplex superparticularis, idest ex multiplici, & superparticulari resubtans, apperatur. Diuiditur postea proportio ista habita ratione d proportionis multiplicis in genera infinita , eo pr Aas modo, quo dictum est de multiplici nempe in duplam superpartic sarem, triplam si
perparticularem , &e. & iasaper unam partem minoris aliquotam. Denuo quodcunque ex assignatis generibus in infi lita genera subdiuiditur, habita semper ratione proportiostas superparticularis: Nam pro- portio tripla superparticularis continet sub se i
206쪽
triplam sesquialteram, quando scilicet maior lquantitas minorem ter contineat, & ulterius dimidiatam eius partem ;. triplam sesquitertia
- . lDEmum 'oportio multiplex sene articiud nitur, quod sit habitudo maioris
quantitatis ad inanorem, quando maior aliquoties minorem complectitur, & insuper aliquot eius partes aliquotas non eficientes unam aliquotam. Huiusnodi pro retionem habet numerus II. ad 3. II. ter complectitur 3, ac insepta duas unitates, qtiae simul sumptae non cinistis lunt unam partem aliquotam, ut patet. l
Diuiditur primohaec proportio habita ris improportionis multiplicis in duplani superpa tientem, triplam superpartientem, quadruplam lsuPerpartientia, dic. Ilin ii postea istorum gen fm,habitara tione oumeri patrium, siab se continet infinita genera. Vt v. g. Bb tripla proportione sirpe IPartimae nunetur inpla superbipartiens. triplassipere arriens, tripli superquadripartiens, i D 'm qi qmque istarum proportionum
207쪽
tientem quartas, in triplam summim cienteris quintas, R 7. g. M. marum proprias definistiolies aissignare ex facile quicumque de
Rationalibus minoris InaequalitatiS
OΜnia illa,quae hactenus die a sent de quis
que proportionum rationalium generibus circa proportiones maioris inaequalitatis; sunt pariter intelli ida eirea quinque proponionum genera correspondentia proportionibus mi minaequalitatis, ptismittendo' Blum presitionici S V B ; Nam si in adductis exemplis minores quantitates conseratitur cum maioribus habeo bunt proportiones minoris inaequalitatis: Eose autem protius modo, quo se hiare rob. ad G ita I. ad Ioo. Hinc est, modex dictis mi Ioo. ad ri est centupla, ita I. ad Iob. est subocentupla; sicque discurrendo de resiquis propα-
Ηissent illa gine is, ut minis tam maioris, quam minorisinaequalitatis dis uiditur. Min vem at non pominarium probant Auium , & prae me Classius , in loco; α haec compendiose dicta sustieis eires quinque ' Πωomonum Rationaliasti gem q
208쪽
ωhuaeiapiens Clauium ebnsulat, qui hanc mari& alias mam quamplurimas sapientissi
PM mqnalltasab Euclide definita in olu
in genera par itur, quorum praecipua haec sunt, videlicet Proportionalitas Arithmeticat etrica, & Musica, siue Armonica ; quae proporsonalitatis genera a Boetio , & alus -- eantur medietates c .' Arithmetica proporsonathas est quando tren tes plures numeri per eandem dissimntiam prinelediuntur; ut sint isti numeri Α, ri
Geometrica vero propomonalitas est quam tres, in plures numeri eandem habem propo
Em, M m quidem Euclides definiuit, quia
pro E proportionalitas dicitur , An dira V Vt v. g. isti numeri 3, 6 28, νε ῖlibet aut ita um numer m ad suumlantectilenterii triplami habri terea huiusnodi numeri dicuntur geomet proportionales. Demum proportionaltas Mufiea. monica est quando tres numeri ita tam eadem sit proportio maximi ad
209쪽
inter Iu minores. Vt v. g. la tres numm
Lis in quibus eadem est pro ri maximi numerasi ad minimum 3,quae differentiae inter nianniq& medium A, nimirum numeri et, ad disere tiam. inter meritum ' maimum .3. im S. curri utraque propostio sit septo e stituitne proportionalitatem Μusitam suae Harm ii Huiusmos autem proportionalitas dicitur Musicat quia plerumque es'. inerti habentus proportiones, in quibus consistunt Miisi cotisonantiae, ut paret in addiusfio exemplo , nam inter ει & q, est proportio sesquiatera conssit e consonantiam, quae Diapente, siue QDiti dicitur . Inter & est proportio sesquiter
constimens coiisona am, quam Diatessero seu quartam Vocant. Demum inter extremos
210쪽
Magnitudines rationem Inter se habere diculi 3ltur, quae multiplicatae possunt sese
inuicem superare. EVclides in tertia definitione duarum magnitudinum eiusdem generis habitii dinem rationem vocavit , quam nos cum alijs quamplurimis proporti a nem dicimus: nunc vero idem Author in hac quintaJs definitione exponit quidnam requirant duae quantita , tes eiustem generis ad hoc, ut inter se proportionem, habere dicantur. Ait igitur, illas tantummodo ma- :gnitudines dici proportionem inter se habere , quarum utraque multiplicata ita augetur , ut alteram tandem superet; si vero alterutra quantumuis multipli- cata numquam alteram excedat nullam proportionem inter se habere dicuntur. Hinc diameter, & latus quadrati dicuntur habere proportionem, licet irratio. nalem, quia latus per a. multiplicatum diametrum excedit . E contra vero colligitur ex ista definitione non tum inter lineam finitam , & ipfinitam, verum etiam ei inter angulum contactiis, & cingulum rectilineum, lnullam dari proportionem,quia linea finita quomodo-clinque multiplicata nunquam potest superare lineam
infinitam, nec angulus coueaetiis quantumuis multiplicatus, tamen semper minor existit quouis angulo recti