장음표시 사용
211쪽
. . In eadem et mone dicuntur esse magnitudine prima ad tauiam , & tertia ad quartam, cum primae, &tertie aequae multiplicia, a secundae,& qtiariae aeque multiplicibus quiliscunque sit haec multiplicatio b utrumque ab utroque vel viri deficituit: vel una aequalia sunt, vel una e cedunt , si ea, quae inter se respoliden umau.
IN hae definitione Euclides exponit quasnam condytion s apud Mathematicos requirant magnitudines, ut eandem dicantur habere proportionem . Quod i tum essete coniugiendo ad aearum aeque multiplicia, ut comprehendat omnes magnitudi0um proportiones, tam rationales , quam irrationales. Sint igitur quatuor magnitudines Α, prima ; B, secunda ; C, tertias& D , quarta a suma liturque primae,& tertiae aeque multielicia' secundumquamcunque multiplicationem3E, quidem ipsius A, primae; & F, ipsius C, tertiae: Denuo simantur secundae, &qiiartae , alia aeque multiplicia secundum quamlibet multiplicationem; G, quidem ipsius B , secundae; & Η , ipsius o , quartae .posito,si sumpta aeque multiplicia, prout inter seretpondent,conserantur, nempe multiplex primae E, cum multipliei secundae Gue & multiplex tertiae F, cum multiplici qirariae Η; deprehensumque fuerit s eundum quascumque multiplicationes ea taliter inter se stare, ut si E , multiplex primae magnitudinis A, minus fuerit, quam G, multiplex secundae magnitu dinis B; etiam F , multiplex tertiae magnitudinis in minus sit, quam H, multiplex, quartae magnitudinis
D: Aut si aeqtialis suetit ipsi Gi etiam F, aequale u
212쪽
ipsi Hr aut denique, si E, maius fuerit quam G; etiam F , maius sit quam Hr quod totum nil aliud est quam
virumqtie ab utroque vel una deficere , vel una aequalia esse, vel una excedere s hocque semper siccedat nee in vilio genere multiplicii im contrarium pessit reis periri. Quo stante dicetur eadem est proportio prima magnitudinis A , ad secundam quae est proportio tertiae C. ad quartam D. Similiter si quatuor quantitates concedantur eandem habere proportioneinpcohcedendues quoque erit, quaelibet aeque multiplicia primae, δe tertiae collata cum quibuslibet aeque multiplicibus secundae, &quartae , habere desectus, aequalitatis, aut excessiis eandem conditionem, cum definitum, & definitio debeant semper reciprocari. Quod totum ut melius intelligat tir, placet unum exemplum in numeris adducere,ex
quo apparebit defectus, aequalita Sa& excessu g in ipsis multiplicibus, Ut supra dictum est acceptis.
VII. Magnitudines autem eandem ratisnem habentes, Proportionales vocentur. SI magnitudinum AB, CD, eadem sit proportio A, ad B, quae C, ad D, istae magnitudines pruporti
213쪽
. Cum vero aeque multiplex p imae magiat dinis excesserit multiplicem secundae ; At multiplex tertiae non excesserit multiplicem qua-N ; tiinc prima ad secundam malinem rati nem habere dicetur , quam tertia' ad qua
tam . IN hae definitione Euclides deelarat, quam condiotionem h bere debeant quatuor magnitudines,it ut prima habeat ad secundam maiorem proportionem, quam tertia ad quartam, dicendo. Si primae, & tertiae sumpta rint aequae multipliciqastem secundae,& quartae alia aeque multiplicis G deprehensum; su rit aliquando c licet non semper 3 multiplex primae maius esse multiplici secundae, at multiplex tertiae maius non esse multiplici quartae, sed vel minus, vel aequale, dicetur maiorem esse proportionem primae magnitudinis ad secundam, quam tertiae a d quartam.
IX. Proportio autem in tribus terminis paucissimis consistit.
ID, quod Euclidra rationem nominat Interpretes proponionem vocant; illud vero, quod nomine proportionia ab ipso Euclide appellatur, id ipsuin Imterpretes pariter Proportionalitatem voeant, ut etiam 1supra monuimus. Quoniam vero omnis proportio ha- Det terminum antecedentem , & consequentem; &cum proportionathas sit rationum similitudo, necesse test in omni proportionalitate reperiri, ut minimum,
214쪽
si suerit propinionalitis eontinum.&quatuor . si fuerit discreta. 'a . γ
iRCum vero tres magnitudines setanti portis es; Prima ad tertiam duplicitans, x l . tionem habere dicitur eius , quam habet adl smundam: At cumquatuor magnitudines pro-i portionales i fuerint ; Prima ad quartam re, tam rationem: habere dicitur eius'; quam ip
h bet id setarissM ; Et semper deinceps , lunulla lusi quamdiu ptoportio extiterit . .
elatiori in ItεHa huius defin itionis est aduer- tendum , quod si hierint magnitudines A,B,C,D, EIdee. eontinui p-portionales, italit eadem fit bt portio' A, ad B, quae Α, ad C s & C, ad D , 8e D . ad Exproponio Α . mimae magnatudinis ad C, tertiani mdi tu linem dicetur duplicata eius proportionis;
ruam habet A,prima immitudo ad B, magnitudinem4ecundam: quoniam inter Α, &C , duae proportiones ireponuntur , quae aequale .mtyroportioni A , ad B, videlicet proportio Λ , ac B B, ad C, ut propterea ip*portio A , ad C , intercipiat quodammodo propor tionem Α, ad B, dupilicatam, idest bis ordine postam ' ilassiperobandemnationem proportio primae inam μtudinis A, ad quartam D, dicetur triplimia eius pro ari a Porti mis, quam habet R, ad B, ων Aliquν interpretes exponunt hane definitimem. dris cendo is Dod in pluribus quantitatibus proponi ali-a bus prima ad tertiam habet duelicatum rationem eius, quam habet ad seeundam , ixilia istius sit dupla; suod tamen falsissimum est.' Quis nammae assirmabita
in istis numeris continiae proportional , MI
215쪽
llproportionern 2 . r. duplam esse proportionis
'rad s. eum illa istius si quintupli
, immologae, seu similes ratione maguitudin dicuntur antecedetates quidem antecedem' ubus, consequentes vero con 'εz sequeiatibus.
E Vςlidra supra definitiit, proportionalitatem esse
proportionum similitudinem 3 nunc vem exponit , etiam terminos, seli quantitates dici similes, vel homologas. Docet enim antecedentes magnitudines appellari homologas, seu similes proportione inter se,ilnee non etiam consequentes.' Si enim est proportio A, ad B,quae C,ad D s dicetur quantitas Α, similis quan- sititati C ;& B, similisquantitati D. Cum enim habeant similitudinem proponionum,necesse est etiam, utram. que magnitudinem antecedentem utrique consequenti eodem modo aequalem. maiorem , vel minorem exiti. stere, ut in ε. defin. menuimus. N
l Allenia ratio, est sumptio antecedentis ad ant: j ςςctatam, &consequentis ad consequentem.
IN hoe loeo Praeceptor explicat sex modos argumen. tandi in proportionibus . Primus dicitur proportio alterna, seu permutatae Secundus, inuersa, seu e comlitrarior Tertius, compositio rationis, seu coniuncta proportionalitas: Qartus, diuisio rationis, vel disium i cta proportionalitas: Quintus, conuersio rationis, siue eria Proportionalitas a Sextus demum, est propor i
216쪽
tis ex aequalitate , seu aequa proportio. Quantum igitur ad primum dicit Euclides , Altem Ina , seu permutata proportio est, cum positis qtiatuor magnitudinibus proportionalibus A, B, C .n insertur eandem esse proportionem antecedentis Α, ad antees dentem C s quam habet consequens B, ad consequentem D. Unde Authores sic formant huiusmodi aroii. mentationem a Si est ut A, ad H, ita C , ad D ; igitur j permutando, seu vicissim erit ut A ad C, ita B, ad D. d verq haec argumentatio sit bona ad Propos Ιε. huius libri demonstratur, dummodo tamen quatuor magnitudines sint eiusdem generis . .
XIII. diuersa ratio , est sumptio conseqtientis, ceu
antecedentis, ad antecedentem, velut ad consequentem. SI suerint quatuor magnitudines proportionales A, B, C, D, hoe modo, vi Α, ad B, ita C , ad D , Se
inferamus ita esse consequens B, ad antecedentem Α, ut consequens D , ad aliud antecedens C a dicemur a Lumentari ab inuersa proportione. Authores se sedimant istam argumentationem. Ut est A, ad B, ita C, ad D : igitur conuertendo, vel e contrario erit' quoque Β, ad Α, ut D, ad C. Quam argumentationem
bonam esse ad inoll. Propos vi inus libri ostendem gemerit,
217쪽
Compositio rati viri , est sumptio antecedentis cum consequente ceu unius, ad ipsam consequentem .s It proportio AB, ad BC, quae DE, EF a colligaturque eam pariter esse proportionem tollux ΑΒ . & BC . simul ,ad consequentem BC , quam habeo totum DF, ex DE,&EF, compositum, ad consequen-
argumentatio campositio ra-.-- esonis , ex eoquod ex antede. iri- dente & con sequente Com. ponatur aliud antecedens.
Hisque verbia fit hale argumentatio. Vt AB , ad BC, ita DE, ad EF ; ergo componendo erit ut AC, ad BC.
ita DP, ad EF . Ponitas hilliu argumentationis confirmatur in hoc lib. propos. 1 8. immo argumentandi modo addi possunt alii duocliis. rum primus diuitui compositio rationis conuersamuanis do scilicet sumitur antecedens,& consequens , ut una, lnuae cum antecedente conferatur , dicendo. Si est via Ari ad BC, ita DE, ad EF ; ergo est etiam AC, ex ante ente , & consequente eomposita ad antecedentem AB, vr est DR pariter ex antocedente, &.consequen- qte conflata,ad antecedentem DE. Quam argumenta. ionem esse validam ad D opocis. huius lib. demo strabimus; in qua hoe dicendi modo uti poterimus: Ergo per compositionem rationis conuersam &c. A lter postea modus dici potest, compositio rationis contraria ; quando nimirum eadem magnitudo anteis
j Uςη resertur ad antecedentem , & consequentem,
218쪽
ad ipsam DF; quod pariter ad Propos. I 8.huius osten- , detur .
tecedens superat concoquentem , ad ipsunJ
consequentem. V Erbi, gratia si dicatur ia quae proportio est totius iAb, ad CR, eadem est totius DE, ad FE : igitur erit &excessus AC , c quo antecedens consequentem superat ad CB , consequentem , ut excessus DF, adeonsequentem FB. In hac argumentatione Authores ita loquentur : ergo diuidendo εα. Haeci illatio osten-lldenda erit ad Propos. I . huius lib.
excessam quo antecedens superat ip jam consequentem . SI hoc modo argiinientetur . Sicuti est tota magnitudo AB , ad CB, ita tota DE , ad FE: igitur ita
Diuisio rationis, est sumptio excen S, quo an- iXVI. Conuersio rationis est sumptio antecedentis ad
etiam erit eadem.. ΑΒ, nis argumentari. Vnde Authoi es sc loquuntur, ergo per conuersionem
219쪽
rationum. Qui mi ilus argumentandi ι;onfirmatur in
Corest. Propocis. huitu libri . XVII. Ex qualitate ratio est, si plures duabus sint magnitudines , & his aliae multitudine pares, quae binae, & in eadem ratione sumantur: cum ut in primis maenitudinibus prima ad vitiniam, sic & in secundis magnitudinibus prima ad vutimam sese habuerit. Vel aliter. Sumptio extremorum per se, ductionem mediorum. 'SInt plures magnitudinea duabus' A,S,C,& totidem D. E, F, sintque binae, & binae in eadem ratione. hoc est A, ad B , ut D, ad iE, & B, ad C, ut E, ad F. Si igitur colligatur, Pro
pterea eam esse proporti nem primae magnitudinis Α, ad tertiam C, quae est D , quartae ad F , sextam; dicetur huiusmodi argumentandi forma ex aequo, siue ex aequalitate, in qua scilicet extieniae magnitu dine, si uctis medijs. colliguntur habere unam, eandemque proportionem inter se. Quoniam vero duobus modis licet ex aequalitate a mere , videlicet ordinate procedendo . vel ordinem
perturbando , Euelides duabus seqlientibus desinitio. nibus exponit quid sit ordinata , & quid perturbata proportio.
220쪽
XVIII. inditiata proportio est, cum sierit, quemadmodum antecedens ad consequeutem, ita antecedens ad conseqtienteiri : fuerit etiam ,in
consequens ad aliud quidpiam , ita consequens ad aliud quidpiam.
sequens ad aliud quidpiam, nempe ad C, ita conseqtiens E,ad aliud quidpiam nempe ad F ι dicetur talis proportio ordinata ; quia idem ordo tam in primis, quam secundis magnitudinibus seruatur . Huiusnaodi argumentatio demonstratur ad Propoca a. huius lib.
perturbata autem propomo est, cum tribus positis inagirittidinibus, & aliis, quae sint his multitudine pares, ut in primis quidem magnitudinibus se habet antecedens ad consequentem, ita in secundis magnitudiaibus antecmens ad con&qnentem : Vt autem in primis magnitudbnibus consequens ad aliud quidpiam, sic inserundis magnitudinibus aliud quidpiam ad amrecedentem SI sit quemadmodum A, ad B, ita E,ad F; deinde ut in primis magnitudinibus B, consequens ad C, aliud quidpiam, ita in secundis magnitudinibus aliud quidpiam D, ad antecedentem E, tunc huiusmodi proportio nuncupabitur perti ubata , ex Γ quod non ficta a uetur