장음표시 사용
221쪽
uetur idem ordo in magnittidinum proportionibus Hane esse optimam argiimentationem in pro chuiua libri demonstratur. o, Aduertεdsi tamε est,propor-- tionem tam ordinatarii, quar perturbatam extremoriunm α eand m proportionem semiat' per inferre ex aequalitate, etiam si plus quam tres magni iidines proponantur, V E F Propos. ai. & 23. huius libri fiet manifestum.
si sitit qii unque magi ut udi aes quotcunque magilitudinum aequalitiin numero, uiagulae sim uiarum, aequemultiplices S quam multiplex unius eth una magnitudo, tam multiplices G t &Suptata omnium. Si sint quotcunq; maenitudines AR, ,totidem rua.
gnitudines Λ B ὸ C D, sinini tam esse multiplices magnitudinum E,F,sitnul,qtiam multiplex AB , ipsius E, vel CD, ipsius F. Prob. Cum enim AB, C D, sineaeque multiplices ipsarum E, de F, fi As, disidatur in marignitudines A G, GH, H R. ipsi E, aequales. etiam CD, in magnitudines CI, IK, KD, ipsi F, aequales diuidetur; eruntque magnitudines C l. IX, KD,tot numero, quot sunt magnitudines AG, GH , UR. quia tam multiplex est AB,ipsius E,qua multiplex est CD.
222쪽
CD, ipsius F: dioniam vero AG, & F, aequales stini inter se . si ipsis addantur aequales CI, & F, a erunt RG, CI, simul aequales ipsis E, F, simul . Eodem modo erunt GH, & IIc, simul aequales ipsis E, & F, si- iniit 3 Nec non etiam HB, & ΚD, simul ipsis E, &F,
simul aequales erunt. Quoties igitur F, in AB, vel F, in CD, continetur, toties etiam E, F, simul in AB, CD, simul comprehemduntur : Ideoque quam muli, plex est AB, ipsius E, tam sunt multiplices ΑΒ,CD, simili ipsarum Ε, & F, simul, ut constat ex dictis in a. defin. huius libri. Quare si sint quoscunque magnitu-d ines, qotcunque magnitudinum , &c. e t d monstrandum . ari erri
laee propositio in quacunque proportione ad pro pos. ra. huiu, libri demonstatur ι nempe tam in Pro portioiae rationali. quam irrationali.
PROPOS. a. THEOR. a. Si prima secimdae aeque fiterint multiplex, atque
tertia quartae; fuerit autem, & quinta secun-.daeaeque multiplex atque sexta quartae ; erit & coinposita prima cum quinta, secundae aeque multiplex, atque tertia cum sexta, quartae. SIe prima magnitudo AB, tam multiplex secundae
, quam est multiplex tertia DE, quartae F; rur- . sus tam multiplex sit quinta BG , secundae C, quam multiplea est sexta Eri, ipsius quartae F.ὰDico primam AB, una cum quinta BG, compositam, tam mul-riplicem esse secundae C, quam multiplex ea tert:a DE, una cum scxta EH, composita , ipsius quartae F.
223쪽
C. quot sint in D E , aequales ipsi F. Eadem rationeri PCF
erunt & in B G, tot magnitudines aequales ipsi C, quot fuit in E H, aequales ipsi F. Si igitur aequalibus multitudinibus AB, DE, addantur aequales multituἀμnes BG,EH, toties comprehendetur C, in AG, qu ties F, in DΗ. Ideoque tam mul iplex erit ΑΒ, prima compsfita cum quinta BG, ipsius secundae C, q: multiplex est DE, tertia composita cum texta Eri, ipsius quartae F. si itaque prima secundae aeque sueriemultiplex, &c. Quod erat ostendendum .
t Hoe totum pariter concluditur ab Euclide in amnil genere proportionis ad propos. a . huius libri .
si sit prima secundae aequemultiplex, atque ter tia quartae; stimantur autem aequemultiplices primae, &.tertiae: Erit & ex aequo, sumpta riim utraque Ietriusque aeque multiplex, altera quidem smundae, altera vero quartae.
SIt prima magnituda Α, tam multiplex secundae R. quam multiplex est tertia C, quartae D, suman- 'iturque Ε, & F, aeqyemultipi des ipsarum Α, & C, Ecquidem ipsius A, dc F, ipsius C, Dico ex aeqΣ.
224쪽
tam multiplicem esse E, ipsius B, secundae, quammul. tiplex est F, ipsius D, quartae. Pris. Cum enim E,& F, sint aequemiiltiplices Spuriim Α, & C: si distribuantur E,& F, in magnitudines ipsis A, &C, aeqtiales. vi v. g. in EG, GH, HI, aeqtiales ipsi A;& pK, KL, L M, aequales ipsi C; Erunt tot partes
in F, aequales ipsi A, quot liunt in F, aequales ipsi iC. Quoniam vero E G, FK, aequales sunt ipsis A, & C, sapi autem A, NC, aequeintiltiplices ipsarum B, ω P , ex hyp thesi reriint& EG, Fx, earundem B, D, aequemultiplices. Quoniam i itur EG, prima maisitudo tam est multiplex secumae Β, qtiam est multiple, Fae, tenetia, ipsius quartae De Item GH, quinta tam thultiplex est eiusdem secundae B, quam naultiplex KL . sexta leiusdem quartae D. a Erit &EH, composita ex pri- lax. qnsn. ma, & quinta tam multipleκ secundae B, quam est lmultiplex FL, composita ex tertia sexta , ipsius quartae D. Rursus cum sit Ei , prima tam multiplex lsecundae B , quam multiplex eli tertia F L , qtrariae D. ut iam demonstratum est : sit autem & HI, quinta tam multiplex secundae B, quam est L M, sexta multi. plex ipsius quartae D: πι erit & EI, composita ex prima , & quinta tam multiplex secundae B , quam est FM, composita ex tertia,&sexta ipsius quartae D. Eademque est ratio, si plures fuerint partea in ipsis E, & F; si ergo prima secundae aeque sit mu ItipIex, atque tertia quartae, &c. Quod qstendendiim erat.
225쪽
Noe theorema non Alum in magnitudinibus atqhe- multiplicibus, sed etiam in omnibus proportionibus ostendetur ad propos. 12. huius lib.
PROPOS. η. THEOR. q. Si prima ad secundam eandem habuerit ratio
nem, & tertia ad quartam: Etiam aequemultiplices primat, & tertiae, ad aequemultiplices secundae, & quartae, iuxta quamuis multipli- .catitatem, eandem habebunt rationem, si prout inter se respondent, ita sumptae fiterest. SIt proportio A; ad B, quae C, ad D, simantiirque
primae Α, & tertiae C, arqtiemultiplices E , & F; Item secundae B , ω quartae D , aeqtie mulintiplices H, iuxta quamuis multiplicati nem: sitie enim E , F, aqtie multiplices sunt ipsarii in A, C, sciit
siue non . His postis constat ex def. s. huius librἰ, si E, deficita G , etiam F. deficie ab H ;&s E, aequalis est ipsi G , etiam F, equalem esse ipsi denique si E, excedit G, etiam Fδxcedere Ηι alioquin non esset eadem proportio A, ad B, quae C, ad D, contra suppositum. Dico iam multiplicia primae, x
226쪽
teritae noli solum una deficere militiplicibus secun
dae, ac coartae, aut una aequalia esse,aut una excedere,
ut diximus, sed eandem quoque proportionem habere Interis, nimirum ita esse E, muJtiplex primae Α, ad G, multiplicem saeundae B, ut F, multiplex tertiae C, adiH, multiplicem quartae D. Hoc est si rursu, E. statuatur ptima magnitudo; G, vero secunda; F, tertia , & H, quarta : amaritia que ipsa lim E, F, aeque- multiplicia qitaliaeunque s Item ipsarum G, H, alia quamlnque etiam aeqite multiplieia; Multiplicia 'sa--n E. multiplicibuκ ipsarum G, H, vel vitatis,
cere puel vita aequalia esse, vel .vna excedere, Istout
vult desin. 6. Rnrsus capiantur I, K , ipsarum S, F, lisque muli plices; nec non etiam L, Μ , aeque multi- pucesipiatum G , H .imoniam igitur tam militi pleni in ipsiu, Λ. saeunda uuain F,tertia ipsius C, auartae; sumptaeque sunt I, & K. seque multiplices.
itum E, F, primae, ac tertiae: O3 Erunt ex aeqtio εariue multiplices ipsarum Α, C; sectu dae .squariae. Eadem prorsiis ratione erunt L,M,ipsarum B, D.i u multiplices. Et quia ponitur proponio ae, prim ad 'imu lam, quae C, tertiae ad D, quariam; ostens
que sunt I, Κ, aeque multipliceo primae,& tertiae Amitem L, M, aeque multiplices secundae, & quartae MD, iba fit ut si multiplex primae deMie ab L, mil-:bd. U. tiplici secundae, etiam K, multiplex tertiae necessariis deficiat ab Μ, multiplici quartae i& si I. aequali, aestipsi L, etiam Κ, necessario sit aequalis ipsi Μι & d anum si I, excedit ipsum I, etiam Κ, necessario ipsam
Μ, excedere debeat rademque ostendetur in quibus a cunque aeque multiplicibus magnitudinum Ε, N F; nec non magnitudinum G, &Ηs quia semper' haec aeques ultiplicia, quaecunque sint, ea aequemultipli- ιcia' uoque erunt magnitudinum Ius, de BD. Itaque leum I.9 Κ, sint aequemultiplices mimae E, Se tertiae F; Item L,& M,aequemultipliem ωundae G 3emia eae Ηι ostensamque sit, si I, multiplex primae minor fuerit . quam L. multiplex secundae, multiplicem tertiae
227쪽
tiae X. minorem quoque esse, quam Μ, mi Iespilamni quartae: si aequalis, aequalis; si minor, minor 3 atque hoc totuni contingere in quacninque inultiplicationercd) eri ut E, prima ad G, secundam , ita F, tertia ad Η, quartam . Si igitis prima ad secundam eandem habuerit rationem&c. Quoderat . demonstrandam.
Ex modo d.ctis facile demonstrabitur Inti saraim, quam Euclides des. 33. explicauit s hoc est , sit quatuor magn itudines fuerint proportionales, easdiae comtra, seu inuersa ratione prumio ales este Sit enim Α, ad II. ut ad D. . Diuo esse conuertes , ut B. dad C. Sumetis aim E, es F, atquenuuti pliei siesarum A, primae, & C, tertiae 3 Item Gin, aequemultiplicibus B, secundar,& D,quartae: quinatam l e φo. quod A, prma ad B, secundam se haeret is Q tς tia ad D, quartam ,, cis necessario sequitur si E, multiplex primae minor fuerit quam G. multiplex se
cundae, vel aequuis. vet.maior etiam F, multipliceml tertiae minorem esse, vellaequalem, ei maiorem,quapi H, multiplice si 'riap t quo stante peispicuunii est si e contrario G, maior silerit qliain Ε, vel xquelis, vel minor, et ita in Hau aiore fore,vel aequalem,vel mimite; qua FaesuΠdἀ qiracunq; muJt plicatiouε sumpta fueriat haec aequet multiplicia . Si enim vix que Ε, Γ, mi; or est q iam 'traque G, η, erit e. ntra utraque G,Η, maior quam utrasee E, F, &c., ItaqRe quo niam primae Β,& tertiam sumpta sunt aeque multi-
pileia G, H; item secundae Λ, ες quartae C, sequςmu siplicia E, F; pstensumque est G,Η. vel una excedere E,F, vel una aqualia eta, vel una deficere , sis itidum quamcunqile multiplicationem ea multiplicia sumam Li: .i l tur prima ad A, secundam, ut D. tertia ad C, quartam, O d erat demonstrandum . I
228쪽
Si magnitudo magnitudinis aeque fuerit multiplex, atque ablata ablatae; Etiam reliqua reliqtiae ita multiplex erit, ut tota tonus. ITa militiplex sit tota AR . totius CD , ut est multi.
plex ablata AE. ablatae CF. Dico reliquam EB, ita esse natiltiplicem reliqua: F D , ut est tota AB , totius C D. Probatur. Ponatur enim E B , ita multiplex cui iispiam magnitudinis, videlicet ipsius GC, ut est AE , militiplex ipsus CF, vel tota AB, totius CD. Q uoniam igitur AE, EB, aeque multiplices sunt ipsarum lc P, GCὲ a) erit tota AB , totius GP, ita multiplex, ut AE ipsi is CF, hoc est omnes omnium , ut una unius: fra tam multiplex etiam ponitur Α Β , ipsius CD, qua meit multiplex A E , ipsius CF. Ieitur AB, tam est mn iplex ipsius CF, quam multiplex est ipsius CD Ia Hiie id circo b aequales sint G F , CD s ablata igitur communi CF, aequales remanebunt GC, FD . Tam miltiplex igitur crit E B, ipsus F D, quam multiplex est ipsi is GC; Sed ita multiplex posita istit ER , ipsius GC , ut AE, ipsi tis CF, hoc est ut tota ΑΗ , totius CD. Quare tammtaltiplex est reliqua EB . reliquae FD , quam est tota AB, totius CD. Si magnitudo ergo magnitudinis ite fuerit multiplex &e. Quod erat demonstraneum .
229쪽
Haec propositio uniuerse demonstrabitur Propos. q. in qua magnitudines cuiuscunque proportionis exhibentur a
Si duae magnituditam duarum magnitudinum sint aeque multiplices, & Medam detractae sint
earundem aeque multiplicesi: & reliquae eiciem aut aequales sunt, aut aeque ipserum multiplices. Stat magnitudines AB, CD, atque multiplices ipsa. . rum E, F , &-ΑG, CH , earundem E, F, aeque multiplices. Dico reliquas GB , H D , aut e Maequales eisdςm E , F , aut
tiplices . Prob. Cum enim Α Β, sit multiple, i filius. E,N ablata quoque AG , eiusdem E , multiplex ; erit reliqua G B , vel aequalis ipsi E, vel eius multiplex : a has inaequalis, vel non multiplex magnitudo addita multiplici e poneret multiplicem, quod est absurdum. sit igitur primum G B, aequalis ipsi E. Dico etiam,m D, ipsi F, esse aequalem. Ponytur enim CI, aequa ais ipsi F. Gria enim prima A G , tam est multiplexi secundae E . quam tertia CH, multiplex est quartae F;S quinta GB, aqualis est secundae E, sicut & CI, sex-
230쪽
ta aequalis est quartae F ; ca Erit AH,prima eum quin-ia 2. qu . ta ita multiplex secunda: E, ut HI, tertia cum sexta multiplex est quartae F : Atqui CD, ipsitis F, erat quoque tam miltiplex, quam AR mu ltiplex est ipsius E. Aqtie multipliees igitur sunt Hl , CD , ipsius F. tb Ideoque aequales inter se. Quare dempta communi CH , remanebunt C I, H D, atqu*les. Cum igitur CP, posita sit aequalis ipsi F ; erit quoque H D , sidem F . aequalis . Quod est propositi im . Sit deinde GB , multiplex ipsius E . Dico ita quo. que esse H D, multiplicem ipsus F. Posita namque CI, ita multiplici ipsius F , ut est multiplex GH, ipsius E; e) erit ut prius AB, ita multiplex ipsius E,ut est multiplex HI, ipsius F; quare iterum di aequales erunt HI, CD s atque adm dempta communi CH , reliquae etiamCI, H D , a ruat es erunt: Sed C. I, est ita multiplex ipsius Fi, ut est GR , ipsius E , in liuothesi. Igitur &ΗD . tam multiplex erit ipsius F, quam GH, ipsius E, quod est propositii m. Si igitur duae magnitudines duarum magnitudinum sint miliae multiplices &e. Quod ottenden dum erat.
Hoe pariter ostendetur Propos. x . in omni genere proportionis.
Aequales ad eandem, eandem habent rati eid: ex eadem ad aequales. SInt duae magnitudines A, B, inter se aequales, &tertia quaeuis C. Dico Α, & B, habere eandem