장음표시 사용
231쪽
proportionem ad C. Itemque vicissim C. ad ipsas A,& B, eandem quo
B mantur enim D, E,πqtiemultiplices ipsarum aequalium A, 1 B; aὶ eruntque D, E, aequales inter se. Capiatur demio F, vicunqite multiplex ipsius C. Quoniam igitur D,E, aequales sunt fit, ut utraque, vel minor sit rq tiam F,'vel aequalis, vel maior, iuxta qtiamtainque multiplicationem ea multiplicia sumantur. Quare cum D,E, aequemultiplices primae Α, & tertiae B, mi- έ nores sint ipsa F, multipliei secundae , 8e quartae C,l est enim C, instar duarum magnitudinum vel aequa-b s. of les, vel maiores, b erit ea proportio primae, A,adc, quinii. I secundam, quae tertiae B, ad eandem C, quartam. Eodem modo ostendemus F,vel minorem esse utra. que D,E, vel utrique aequalem, vel maiorem. Igitur cuin F, multiplex primae, ac tertiae C, una deficiat a D, de E,aeqnemultiplicibus secundae Α, & quartae Bavel una aequalis , vel maior; merit quoque ea proportio primae C, ad secundam A, quae tertiae C, ad quartam Bs quod est propositum . Posset autem breuius ostendi haec secunda pars per coroll. 4. propoc ex inversa ratione. Cum enim iam fit ostensiim esse Α, ad C, ut B, ad C, erit conuertendo C, ad A, ut C, ad B. AEquales ergo ad eandem, eandem habent νγ
232쪽
Inaequalium mamitudinum maior iadeandem, maiorem rationem habet, quam minor:Et ea- dem ad minorem maiorem lationem habet, quam ad maiorem.
Ιnt inaequales magnitudines AB, maior ,&C,-nor,textia autem quaelibet D. Dico proportionem v -A I , maiorem
AB , admIesse prosinrtione C, ad eandem D. Et e comverso maiorem esse proportionem D, ad minorem C, quam ad AB, maiorem. Prob. Intelligatur enita in maiore maenitudina AB, magnitudo AE, aequalis minori C, fidi - que reliqua EB. Dei
de inaque EB, AE aequaliter multiplieetur hac lege, ut GF, multiplex ipsiuis EB, maior quidem sit quam M At HG, multiplex ipsius ΑΕ, non sit minor ea-ldem D; sed vel aequalis, veIinaior . Quoniam istitur duae FG, GH, aequemultiplices sint duarum AE, EA; a erit & tota FII, ita multipIex totius AB, ut Ha, filis AE, hoc est C, cum aequales sint positae C, &AE. Capiatur quoque ipsius D, multiplex lx, quae proxime maior sit qnam lis . Abscisia ergo IK , quae aequalis sit ipsi D, non erit IL, maior q'iam HG, alias lIX , non esset multiplex ipsius D,proxima maior quam iHG; sed & IL, maior quoque esset quam HG . , Quod lsi IK, dupla sit ipsius D, pcr: piciturn est IL, non esset maioremqtiam HG, cum H G, posita sit minor quam i
233쪽
t , hoe est quam IL, & ideirea HG, erit vel aequalis imior. Et quia FG, maior est posita quam D; Lx, vero xii ualis eidem D; erit qui ua FG, maior quam Lx. Cum eNo Ηλ non minor si qua' IL, ut demon stratum est, sed vel aequalis , vel maior; erit tota FH, maior quam lx. Itaque cum FH, HG, sint aequemul iplices primae AB, Ac tertiae Ci atque Ix, multiplex ipsius D, quae ad instar est secundae, &quartae: sit autem FH, multiplex primae maior quam Ix, multiplex secundae: at ΗG, multiplex tertiae non sit maior quam IX, multiplex quartae , immo minor
ex hymhes e sumpta enim est re, multiplex ipsius D. maior quam HG,) ca erit maior proportio primae AB, ad D, secundam , quam C, tertiae ad D,
Quoniam vero ε eontrario Ix, multiplex primae D, ponatur enim mine D, prima, ac rertia; C, secundasM AB, qtiaria= maior est quam HG , multiplex seeundae C; At Ix, multiplex tertiae D, maior non est quam FH, multiplex quartae AB, immo minor , cum FH, maior fit, quam Ix, ut ostensum est: c b erit maior proportio D, primae ad C, secundam, quam D, tertiae ad AB, quartam quod suis propositum . Inaequalium igitur magniaudim- maior ad eandem , M. Quod erat ostendendum.
PROPOS. ΤHEOR. s. mae ad eandem, eandem babent rationem, aequales sunt inter se: Et ad quas eadem eandem habet rationem, hae quoque inter stlatu aequales. . HAbeant primum Α, & B,eandem rationem ad C. Dico A, & B, esse inter te aequales. Sit enim, si fieri potest, altera , nempe A, maior, & B, minon
234쪽
ca eraditur maior proportio maioris Λ, ad C,quam i as mino B, ad eandem C; quod est contra sippositum. Non erect inaequales sunt A,3e Mea a quales. Habeat deinde C, eandem proportionem adH. & B. Dico rursus A, 'di B, esse aequales. Nam, si altera , nempe A, esset maior , dc habet et si, da, minorem, maiorem proportionem, ouam ad A, maiorem 3 quod lpariter esset contra hypotnesin. Non igitur maior erit qA, quam B, sed aritiatis. Quae igitur in eandem, eam idem habent rati m. &c. Quod fuit demonstrandum .
Ad eandem magnitudinem rationem habemtam , quae mainoem rati cin i, bet, illa maior est: Ad quam autem eadem maiorem l rationem habet, illa minor est.
Abem in primis A,ad C,maiorem psoportionem, iquam B, ad eandem C. Dico Α, maiorem esse quam B. Prob. Si enim Α, floret ipsi B, aeqnalis, aa h berent Α, δέ ', eandem pro p tionem ad C; Si autem A. minor esset quam B, D bile
rei R. maior ad C, proporti nem maiorem, qu/m Α, minor ad eandem C, quod est contry sippositum. . Non est igitur A, aequalis, vel minor qitatu B. s ed maior. Habeat secundo C, ad B, nctio: cm proportionem, quam ad Α, Dim pariter li, minia. zm eile quain Α. O , Non
235쪽
Non enim aequalis erit B, ipsi Αι cy alioqui haberet C, eandem proportionem ad Α, &-est eo tra hypothenn. Neque vero B, maior erit quam A, d alias haberet C. ad minorem A, maiorem proportio, nem, quam ad B, maiorem ; quod magis est contra suppolitum. Minor igitur est B, quam A, quod est propositum. Ad eandem ergo magnitudinens ratio. nem habentium,&e. Quod erat dentonstrandum
Quae cidem stat eaedem rationes, & inter se
sunt eaede . SIne proportiones A, ad B, & C, ad D, eaedem pro portioni E, ad F. Dico S pri portiones A , ad B,& Cod D, easdem esie inter se secundum defin.6.hoc. est sumptis
, et larum Α, Qitem aeque. - multiplie, L bas ipiarum A l- B, G,sempere.tino ere,ut multiplices ipsarum Α,C, a multiplicibus ipsaru B, D, vel una deficiant, vel una aequales fini, vel yna ex-ὲ cedant. Sumantur enim ad Oirines antecedentes C, E , intuemultiplices quaecunque G, H,I ; & ad omnes consequentes B, D, F , aliae quaesunque aestuemul tipliees K, L, M. Quoniam igitur ponitur esse A,prima ad B, secundam , ut E, te ilia ad F, quartam s a
fit ut si G , multiplex primae deficiat a x , multiplReseeundae , defietat quoque I , multiplex te ab Μ, multiplici quartae r si aequalis, aequalis: si maior , --ior : tb Sed ut eodem modo estendetur si I, minor est,
236쪽
est , quam Μ, vel eritialis, vel maior, est quoque H, minor, vel aequalis, vel maior quam L, propterea quod ponitur esse E, prirna ad F, secundam, ut C, tertia ad D, quartam. Quare si G , multiplex primae A, deficit u Κ, multiplice fecitndae B, dcficiet quoque H, multiplex tertiae C , ab L , multiplice quartae D. Et si G, aequalis est, vel maior, quam K , etiam H, aequalis erit, vel maior , quam L. Idemque ostendetur accidere in quibuscunque aliis aequemultiplicibus. e quapropter erit A, prima ad B, secundam , ut C.tertia ad D, quartam. Quae igitur eidem sunt eaedem rationes, & inter se sunt eaedem. Quod erat ostenden
PROPOS. I a. THEOR. I 2. Si suerint quotcunq; magnitudines proportionales quemadmodum se habuerit una antecedentium ad unam consequelatium, ita se habebunt omnes antecedentes ad omnes cons quentes. e de
ID quod Euclides in Propos. r. huius libri de multiplici proportione demonstrauit, ollendit hic de omni genere proportionis etiam irrationalis. Sint ergo quotcunque magni ludi.nes A, B,E, F,C, D,pro Portionales,
237쪽
t tim ad cons ent uni, nimiruns A, ad n , ita omne, antecedente simia 1 Α, Ε, C, ad Onanes MD sequente si m1l B, F, P. Probat. Sumptis enm 6,I, H , atm Rhiplicibus antecedentiunt ι Se X , in I, aeonemnt iplisibus consequentium; a 3 erunt os iness, Ι, Η, Wommum A, E, C, simi ita multiplietivi una unitri, timeris, ipsius A ; omnes sinat omnhim B. F, D, simul ita multiplices, ut una unius, nimirum vi K , ipsius B. Quoniam vero ponitar esse Α , prima ad B , secundam, ut E , tertia ad F, quartam ι & ut E, prima ad F, secundant, ita C, ter- jtia ad D . quartam a fit ut si G , uiuitiplex primae
i, multiplex tertiae E , al, M , multiplici quartae F , de
llaquoque sit I, ipsi M, Je Η , ipsi L, vel maior . Ae . proinde si G, mmor est, vel aequalis, vel maioriquam κ. 8e omnes G, I, Η, fimul, omnibus Κ , m , t minores sint , vel aequales, vel maiore,. cy' arocirca est ut A , prima ad B , secundam, ita Λ, E, C, tertia ad
dines proportionales &e. Quod erat deuionura
si priina ad secundam eandem habuerit rurionem, qliam tertia ad quarta ii ; tertia vero ad quartaeo maiorem rationem habuerit, quam lJuinta ad sextam : Prima quoque ad secumam maiorem rationem habebit, quam quia in ad sextam. Sit A, prima ad B, seeundam, ut C , tertia ad Π,
quartam: sit autem proportio tertiae C , ad qu/r't m D, maior quam quinta E, ad sextam F. D co E
238쪽
proportionem A . primae ad 3 , secundam esse malo
clantium ι & x, L, M, aequentliltiplicibus conseluentrum, cum sit A, prima ad B, secundam , ve C, tertia ad D, quaream; a fit ut si G, multiplex primae e cesseelix, multiplicem secundae , exemat quoqud H, multiplex tertiae ipsam I, multiplicem quartae , M. At quando i , ex is ipsam in non necessario Ι, excedit ipsam M, sed a ualis aliquando erit, vel minor; ex eo quod maior ponatur proportio C, primae ad secundam quam Ε, tertiae ad F, ouartam. Igitur si excedit x , non necessaricia excedit Μ. M Μaior ergo est proportio Α, primae ad B, secundam, quam E, terris ad ν, quartam. Quaprolvit si prima ad se gundam eandem habuerit rationem, quam tertia ad quartasti, Ra. mod ine eadum erat. pRo. s. das
239쪽
PROPOS. I . THEOR. Iq. Si prima ad secundam eansscin habuerit rati
nem, quam tertia ad quartam: Prima vero quam terria imior fuerit, erit & secunia ma- quam quarta. Quod si prima suerit aeqtia- lis teruae, erit & secunda aequalis quartae; si v ro minor, & minor erit. ς It enim Α, prima ad R, secundam, ut C, tertia ado D, quartam . Dico si Α, maior fuerit quam C.
etiam B, maiorem fore quam D; si aequalis, aequalis; si minor, minor. Sit primitin A, maior quam C, ca qu propter proportio maioris Α, ad B, maior erit quam proportio minoris C, ad eandem B. Quoniam igitur est C, prima ad D, seciindam, ut A, tertia ad A, quartam, Proportio autem teitiae Α, ad quartam B,ut oste furn est, maior est quam quintae C, ad sextam maior quoque erit proportio C, pruniae ad D, secundam, quam C, quintae ad B, sextantico Minor est e go D, quam B; ideoque B. maior erit quam asod est propositum. Sit dein or A, aequalis ipsi C, idcirco d erit A, ad H, ut C, ad L. Q ioniam igitur eroportiones C, adl D. & C, ad B, eaedem sunt proportioni Α, ad Bd e
erimi quoque inter se eaedem proportiones C, ad D.&C. aaB. f Ideoque aequales aerunt B, & D. Quod ei, propositum.
sit tertio A, maior quam Ci ga eritque Propter hoc maior Oroportio C, maioris ad B, quam Α, min ris ad eandem B. moniam igitur est C, prima ad D, s indam, ve Α, tertia ad B, quartam 1 eli autem Pro portio
240쪽
portio A, tertiae ad B, quartam minor, quam C, quintae ad B, sexta. h Minor quoque erit proportio C, primae ad D,secundam, quam C,quintae ad B, sextam; cla Ide'que , minor erit quam D, quod est proposi- i i 1 o. qui. tum. Si igitur prima ad se,indam eandem habuerit rationem, &c. Quod erat demonstrandum .
partes cum pariter mtiltiplicibus in eadem sunt ratione, si prout sibi mutuo respon- , ita sumantur. SIne partium Α, fles, aequemultiplices CD, & EF. Dico ita esseCD, ad EF,ri Α, ad B. Prob. Cum j. enim CD,&l
Diiiidatur ergo CD , in partes CG, GH, HD, aequales ipsi A ; & EF, in partes EI, IK, KF, aequales ipsi Rcaa eritque CG, ad EI, Vt Λ , ad B , quod CG, & Α, nec non etiam EI, & B, aequales inter se sint. Eadem . que ratione erit GH, ad IK , & HD, ad EF, ut Δ, ad B : b ideoque CG, GH, UD, ad EI, IK , KF ,ean dem habebunt proportionem. Ruocirca vi CG , ad EI, hoc est vi Α, ad B, o ita erit CD, ad EF, nempe omnes CG, GH, ΗΠ, simul ad omnes EI, Ix, KF, si mul: quod est propositum. Partes itaque cum pariter multiplicius ens denis strandum a r. qui.b e. q. a