장음표시 사용
241쪽
PROPOS. IS THEOR. IC. si quatuor magnitudines proportionales fuerint, re vicissim proportionales
t 3 Nhoe loeo demonstratur alterna, sitie mutata .l 1 proportio, seu ratio, quae e Plica fuit defin. xx. I huius libri . Sis enim A, RO B, Π Dieo viscissatri, seu permu tando esse quoque Λ, ad C, ut B, ad D. Probatur . Suniari tur enim imarum, A, B, primae, & se. cundae aequemuitia
plises E,&ν; item ipsarum C , D te tiae, ac quartae aeque multipliees o, Η, aII. - . t eritque , ad F, vi Α, ad B, eum E, & F, sint pa- rher multiplices partium A, &B. Eadem ratione erit G, adjut C, ad D. Cum igitur proportiones E, aaF, S: C , ad D, sint eaedem proportioni A, ad B , erunt Se ipsae inter se eaedem. Rursus quia in oportio.
nes E, ad p , & G, ad Η , emtem simi proportioni C, ad D: b erunt fle ipsae eaedem inter se, est ve est E, prima in F, secundam , sta erit o , tertia ad A, quartam. cca mare si E , prima maior est quin tertia, vel aequam, vel minor, erit quoque ν, secum da maior quam Η , quarta, vel aequalis , vel minor, inquamnque multiplicatione arae a sint aequa maliis pilaia E, Si p. re uemultiplicia G, N. dὶ Est is tur A, prima ad S, secundam, ut B, tertia ad D, quartam cum E,et F-aquemultiplices primae Λ, ae
242쪽
terriae Βι M G,-Η , aequemultiplices C. secundae, Be D, quartae, & illae ab his una deficiant, vel una aeqtiales sint, vel una excidant δα. qilodest propositum. si ereo quatuor niagnitudines protriretio Iessuerint &e. Quod ostendendum erat .
oe Ioeo demonstrae Euelidis diuisionem rati nis, quam defin. a 3. explieisit. Sint enim compos ae ma-
la fi et Pet εο εgnitudines AB, CD. or DF, FE, Pro porthan alea
hoe est fit ΑΒ, ad CB, ut D E , ad FE . Diendi diuisas easdε
les esse, hoc est , ut est AC, ad CB, ita esse DF, ad FE. in illo sensu, quem defin. ς. exposuimus. Capiantur enim ipsarum AC CB, & DF, FE, aequemii stipi, Ces eodem ordine GH, HI, KL, LM; ca/ eritque GI, ita multiplex ipsius AB, H est GH, ipsius AC, boc est ut KL, ipsius D p. Sed ut est multiplea xL , ipsius DF, bὶ ita quoque multiplex est ΕΜ, ipsius DE. Edigo aequemultiplices sunt GI, EM, ipsarum AB , DE. piantur rursus in M o , aequemultiplices ipsarum, Ioba. tui.
243쪽
CB, FE P Quoniam igitur sic est multiplex AI, pistrinsecundae CB, ut L M, tertia quartae FE: Item tam ese multiplex IN, quinta secundar CB,qi iam multiplex est MO, sex i quartae FE; Ga Erit& AN, sic multiplex secalidae CB, ut Io, multiplex est quartae FE . Itaque lcum sit AB, prima ad secundam CB, ut DE , tertia ad FE , quartam; sumptaeque sint aeque multiplices GI, KM, prunae , ac tertiae ΑΒ , DE Item secundae , &quartae ClI, FE atque multiplices ΗN , Io, d1fit vesi Gl, multiplex primae AB, deficit ab H N , multipli. ei secundar CB, etiam xM, multiplex tertiae DE , d ei ficiat ab I O, multiplice quartae F E r & si aequa Iis, aequalis: si excedat, excedat. Quod si deficiat tam GI, ab H N , quam KM , ab Io, Iatis communibus HI, LM , erit & G Η , aequalis ipsi IN, & Κ L , ipsi N O. Et si denique G I, excesserit ipsam is N , MKM, ipsisti Lo, ablatis communibus HI , LM , eacem dete quoque GΗbipiam 1N, & KL, ipsam Mo. Quam obrem cum GH , KL , sumptae sint aeque multiplices primae AC ε de tertiae DF: Item 1N , Mo, aeque multiplices secundae CB, 3 quartae FE, ostensumque sies in suacunque multiplicatione illae aequemultiplices
fuerint acceptaea aequemultiplices primae , &tertiae ab aeqtiemultiplicibus secundae,&quartae, vel una deficere, vel aequales este,vel una exeederes ea erit AC, prima ad CB, secundam, ut DF, tertia ad FE , quartam a quo i fuit propolitui . Si igitur compositae magnitudines proportionales suerint,&c. Quod osten-l dendum Mat.
244쪽
si diuise magmtuqinev fuerint propoletionales, hae quo que compositae proportionales
IN hoe loco Euclides demonjtrat composition ratisnis, quam definitione i . descripfit. sini. . - nim diuisae magnitudi
nes AB, AC,& .DE, AF proportionales, hoc est aer . AF, ad BC,vxDE,UEF. πι - - -ι- & compostas pro A G portionales esse, hoc est ut AC , ad BG, ita esse DF, ad EF. Prob. Si enim non est ut AC, ad BC. ita DF, ad EF, habebit DF, ad
aliquam magnitudinis minorem ipsa EF ι vel malo rem eandem proportionem quam AC, ad BC. Habeat primum DF, ad GF, minorem 4psa EF , si fieri potest: eandem proportionem , quam Α C, ad BC. Quoniam igitur est ut AC, ad BC, ita DF, ad GF: . ca Erit diii idendo, ut AB, ad BC, ita D G, ad GF: sed ut AB, ad BC, ita quoqtie posita est D E, ad EF: ba Ietitur erit etiam ut DG, prima ad GH Rcim. '- 'dam, ita DE, tertia ad EF, quartam . Cum ergo DS, 'prima maior sit quam DE, tertia; cca erit quoque GF, secunda maiorqtiam EF, quarta, pars maior c to, quod est absurdiim. lIjsdem prorsis fundamentis demonstrabitur absur, ldum, nempe tolli in minu4 sita parte, si dicatur DF, saἀ H F, maiorem ipsa EF, eandem habere ptoportio in nem, quam AC, ad JIC. Cum enim DΗ, prima minor sit quam DE, tertia s ' d) erit quoque ΗF, 2-sd 4. qcunda minor quam EF, quarta, totum minus Part quod
245쪽
quod est absilrdum . Non igitur habebit ad minorem ipsa EF, atri ad maiorem eandem propartionem,quam ΑC. habet ad hC. Quod est propolitum. Itaque si diuisae maenitudines sint proportionales, &c. Quod erat demonstrandum .
si quemadmodum totum ad totum, ita ab-: latum se habuerit ad ablatum : & reliciuum, ad reliquum se habebit, ut totum aὸ t
i tum. ID , quod in Propos. . demonstratum est de mti Itis plies proportione, hoe loco de omni proportione, etiam irrationali demonitratiir. Sit enim tota AB, ad totam CD. ut ablata AE, ad ablatam C F. Dico &reliquam EB, esse ad re- Iiquam F D , ut est tota AB, ad totam CD. Cum enim si A B , ad C D, ut ΑΕ, ad CF; I erit&permutando AB, adve CD . ad . b Diuidendo ieitur erit EB, ad ΑΕ, lueFD, ad CF. ea Quare permutando rursus erit Eriad FD, ut AE . ad CF , hoc est ut tota ΑΒ , ad totam CD , eum posita fit AB, ad CD, ut AE , ad C F. Si igitur etiemadmodum totum ad totum dcc. Quod erat
I ΕΨ his Deile demonstrabitur modus ille argumen i eandi in proportionibus , qui desumitur a eonuersionii rationis , iuxta I s. desinitionem .
246쪽
Sit enim ut AB, ad EB , ita CD , ad pD . Dico pere uersionem rationis esse quoque ve AA , ad AE, ita CD , ad CF. Cum enim fit, ut AB, ad EB , ira CD, ad PD i aὶ Erit quoque diuidendo ve ΑΕ, ad EB, sta CF, ad FD. I itur & conuertendo, ut EB, ad AE, itam, ad CF : Q Ae propterea componendo quoque vem, ad M, ita CD, ad CF. Quod fuit propositum. PROPOS. io. THEOR. LO. Si fiterint tres magnitudines, & aliae ipse insemero aequales, quae binae, & in eadem ratisne - sumantur; Ex aequo autem prima quam te . thi maior fuerit,erit & quarta,quam sexta m di
tor . Quod si prima tertiae Aerit aequalis, erit di quarta aequalis sextae ; sin illa minor, Ma
' quoque minor erit. SInt tres magnitudines A, R,C, x totidem D,E,F. fitque Α, ad B, ut D, ad E B, ad C, ut E, adsit autem primum Λ , py
Dico& D , quarta sis maiorem F , sexta . cumi T enim A,maior sit quam C, caa eris maior proportio π Α,adR, quamC, B. Est autem vi Α, ad B, ita D, ad Eimaior igitur Pr partio quoque ba erit D. ad E, quam C, ad A. At ut lC, ad B, ita est F, ad F . Cum enim sit B , ad C , ut lE, ad P, erit conuertendo ut C, ad B , ita F , ad E . Naior igitur pinportyn etiam emu , adll, Mamas, ad E . cest Quare D, maior erit quam F . Quod fuit
247쪽
l De inde se Α, aequalis ipsi C. Dico & D, aequalem esse ipsi F. Cum enim Α, sit ipsi C , aequalis, ca' eriti eadem proportio A, ad B, quae C, ad B: est autem vei Α, ad B, ita D , ad T cbJ Igitur erie& D , ad E , vel C, ad Bi At vi C, ad B, ita est F, ad F, per inuersami rationem, ut supra ; Quare erit quoque D , ad Ε, vel F, ad E. ce Ideoque aequaIes erunt D. & F. Quod est propositum . Demum fit A, minor quam C . Dico Ae D, min, rem esse quam F. Cum enim Α, minor sit quam C; a erit minor proportio Α , ad B. quam C, ad B. Sed veA, ad B, ita D, ad F. bst Minor quoque erit proportio D, ad E, quam C, ad B. Vt autem prius ecimieris tendo est uti C, U B, ita F, ad E . Igitur minor quoque proportio erit D, ad E , quam F, ad E. ca Aepropterea D, minor erit quam F. Quod est pro meum. Si fini itaque tres magnitudines, M aliae ipsis a mero aequales &e. mod erat demonstrandum .
PRO Pos. ix. THEOR. 2I. . si sint tres magnitudines, & aliae ipsis numero aequales,quae binae,& in eadem ratione sumam tur ; fueritque perturbata earum proportio; ex aequo autem prima quam tertia maior fuerit: eris & quarta , quam sexta, maiori, Quod si prima tertiae fuerit squalis; erit de quarta aequalis sextae; sin illa minor, haec quo quς minor erit.
Slat tres magnitudines A, B, C, & totidem D, E, F quae binae,&in eadem ratione sumantur , sitque perturbata earum proportio , hoc est, ut A, ad B, ita E, ad
248쪽
E, ad F, & ut 3, ad C, ita D, ad E. Sit autem primo
loco Α , prima maior, quam C, tertia. Dico &D, quartam esse maiorem sexta F. Cum enim
Α, maior sit quam C; a erit maior proportio Α, ad B, quam C, ad B : est autem ut A. ad B, ita E, ad F: H ergo maior quo que proportio est E,ad F, quam C, ad B. Quoniam vero ut B, ad C, ita est D, ad E, erit conuertendo, ut C, ad B, ita E, ad D. Quare maior quoque erit proportio E, ad F, quam E, ad D cc Ideoque maior erit D, quam F, quod est pro positum. Deinde sit A. ipsi C, aequalis. Dico D, quoque lipsi F, esse aequalem. Cum enim A, sit aequalis ipsit C; d) erit Α, ad B, ut C, ad B: sed ut Λ, ad B, ita est E, ad Fr est autem ex inversa ratione, ut C, ad B, ita E, ad D, uti privs. θ) Igitur erit quoque, ut E, ad F, ita E, ad D; f Atque idcirco Du ipsi F, aequalis erit. od est propositum . Sit tertio Α, minor, quam C. Dico & D, minoremesie quam F. Cum enim Α, si minor 1 g I erit minor Proportio A, ad B, quam C, ad B: Ue autem Α, ad B, ata est E, ad F; h minor ergo est proportio E, ad F, quam C, ad B. Quoniam vero, ut supra, ex inuersa ratione est ut C,ad B, ita E, ad D; erit quoque mi nor proportic E, ad F. quam F, ad D; si Ac propterea D, minor erit quam F. Quod est propositum. Si igitur sint tres magnitudines, & aliae ipsis numero
ualea, &c. χἀ 'stendendum erat.
249쪽
PROPOS. 11. THEOR. 22. Si sint quotcunque magnitudines, & aliae ipsis numero equales, quq bitae in eadem ratione sumantur: Et exaequalitate in eadcin rati
IN hoe theoremate demonstrat Euclides modum argumentandi in proportionibus ex aequalitates quando proportio est ordinata. Sint enim primum tres magnitu.
Ιdines A, B, C,& aliae tres D, E, F; sitque Α, O ad B, ut D, ad E; &B. ad C, ut E, ad F. Dico quoque ex aequa litate esse A, ad C, ut D, ad F. Sumptis enim ipsarum Α, P, quo multiplicibus G, & Η:Ite ipsarum .aeque . multiplicibus I,Κ;item ipsarum C, F, aequemultiplicibus L.M. Cum enim sit Α, prima ad B, secundam, ut D. tertia ad E, quartam; a erit quoque G, multiplex primae Α, ad I, multiplicem ieeundae B, vi Η, multiplex tertiae D, ad v, multiplicem quarte E. Eadem ratione cum sit B, prima aci C. secundam, ut E,tertia ad F, quartam; coerit I, multiplex primae Β, ad L, multiplicem secum dae C, ut λ, mestiplex tertiae E, ac M, multiplicem quartae F. ioniam igitur sunt tres magnitudines C, I, L, & aliae tres, Η, k, Μ, quae binae in eadem rati - ne sumuntur ; cc fit ut si G, prima superat tertiami L; superet quoque necessario is, quarta sextam. M; &
250쪽
si aequalis, aequalis; & si defic at , deficiat. Quare Cum G, H, aequemultiplices primae A. & tertiae D, vel una deficiam ab L,M, aequemultiplicibus secundae C,& qiiartae F, vel una aequales sint, vel una excedant in quacunque multiplicatione Humpta sint ea multiplicia 3 cd erit A, prima ad C, secundam , ut D, ter tia ad F, quartam . Quod est propositum . Deinde sine plures magnitudines tribus , ita ut sit etiam C, ad N, ut F. ad O. Dico etiam esse ut A, ad N, ita ad O. Cum enim si pra sit ostensim in tribus magnitudinibus, esse Α, C, ut D, ad F: ponatur mine C. ad N. ut F, ad inerunt tres magnitudi nes A,C,N, &aliae tres D, F, O, qtiae binae in eadem ratione sum untur; ergo exaequalitate in tribus magnitudinibus ostenta, rursus erit, ut, Λ, ad N, ita D, ad O. Eodemque modo idem ostendetur in quinque magnitudinibus per quatitor ; sciit idem in quatuor demonstratiun suit per tres, &c. Quare si sint quotcunque magnitudines, &c. Quod erat ostendendum.
si sint tres magnitudines, aliaeque ipsis numero
aequales, qtue bilis in eadem ratione sumai tur, fuerit autem perturbata earum propo .HO: Etiam ex aequalitate in eadem ratione
erunt. IN hos theoremate demonstratur ratio ea aequalit te, quando proportio est perturbata. Synt enim tres magnitudines A,SA, & aliae tres D, E, F, sitque Perturbata earum proportio, hoc est si ut A. ad B, ita