장음표시 사용
251쪽
E, ad B & ut ad C, ita ad E. Dieo pariter exaequalitate esse ut Α, ad C , ita D, ad F. Sumptis namque ipsarum A, B, D, aeque multiplicibus G,H,Ι:Item ipsariim C,E,F, aequemultiplicibus Κ, I, Μ, a erit ut Α, ad B,ita G,ad Η, cum G, H, sint ipsarum A, B, aequemiiltipli
igitur H G, ad Η, ita- quoque est E, ad Frsm vi E, ad F, ca ita- quoque est I, ad Μ; quod L, M, sine ipsarum E,F, aeqtiemultiplices . Igitur d) erit quoque ut G, ad H, ita L, ad M. Rursis quoniam est B, prima ad C, secundam, ut D, tertia ad E, quartam ι u erit quoque vi Η, multiplex primae Β, ad Κ, multiplicem secundae C, ita I, multiplex tertiae D, ad L, multiplicem qua tae E. Quia ergo sunt tres magnitudines G. Η, Μ, S: aliae tres I,I,M, quae binae in eadem ratione sumuntur; estqρ earu perturbata proportio scum ostensium sit esse ut G, ad Η ita L, ad M; & vi Η, ad v, ita I, ad Lac fa fit ut si G, prima superat tertiam li, superet pariter quarta I, sextam M; & si aequalis, aequalisssi minor, minor. Quare cum G, & I. aequemultipi cesprimae Α, & tertiae D, a X, & M, aeqiuemultiplici,nsecundaec & quartae F. vel una deficiant, vel una aequales sint, vel una excedant; erit se ut A, prima ad C, secundam, ita D, tertia ad F, quartam, quod est propositum. Itaque si sint tres magnitudines, Quod erat ostendendum. o.
252쪽
PROPOS. 24. THEOR. - 2 . Si prima ad secundam eandem habuerit ra
tionem, quam tertia ad quartam ; habu rit autem & quinta ad secundam eandem rationem, quam sexta ad quartam : Etiam composita prima cum quinta, ad secundam candem habebit rationem, quam tertia cum sexta, ad quartam. ID, quod Propos. a. demonstrauit Euclides desola
proportione multiplici, demonstrat hoc Ioco de omni proportione, etiam irrationali. Sit enim ΑΒ, prima ad C , secundam , ut DE, tertia ad F , quartam: Item BG, quinta ad C, secundam , ut EP , sexta ad F, quartam . Dico ita esse ΑG, compositam ex prima, ac quinta , ad secundam C, ut est D Η , composita eritertia , & sexta, ad qua tam F. Cum enim fit vens , ad C, ita ΕΗ, ad F , erit conuertendo ut C, ad BG, ita P, ad ΕΗ. Quoniam igitur est ΑΒ, ad C, uti DE, ad F;&C, ad BG, vi F, ad ΕΗ; caa erit e Oeqitali AB, ad B G, ve DE , ad ΕΗ. b Componendo igitur erit ut tota AG , ad BG , ita tota DH , ad Eri. Itaque cum rursus sit AG, ad BG, ut DΗ , ad Eri: NBG, ad C , ut FH, ad F: cc Erit ex aequali ΑG, ad C, ut Dis , ad F. Quod est propositum . Si ergo pri'
ma ad secundam eandem habuerit rationem &c. Quod erat demonstrandum.
253쪽
PROPOS. ets. THEOR. 2y. Si quatuor magnitudines proportionales file. rint: Maxima, & minima reliquis duabus
SIt enim AB, ad CD. ut E, ad F, sitque ΑΒ, omnium
maxima F, minima. Dico duas AB, & F,simul esse maiores duabus CD, & E,si mul. Auferatur entinex AB, magnitudo AG, aequalis ipsi E : Seex CD, alia CH,aequalis ipsi F. Erit igiturAG, ad CH, ut E, ad F , hoe est ut A B, ad CD. Quare cum sitio. i ta AR, ad totam CD. ut ablata AG , ad ablatam CH:l Erie quoque aa ut rota AB, ad totam CD , ita reliqua GH, ad reIiquam Hla: Est autem A B , cum sit omnium maxima , m ior quam Clar igitur&GB, maior erit quam H D . Qironiam vero Α G, Se E , aequales stini, si ipsis itidantu aequales F, & CH, nimirum F, ipsi AG. 3e CH, ipsi E ; sien AG , & F , simul aequales ipsis E. 8e Η, simul. Additis igitur inaequalibus G B,&ΗD, fi-nt B, Se F, simiιl maior quam E. Se CD, siniui, cum GB , sit maior quam ΗD. Quod est propositi m . Si ergo ouattior magnitudines propor itionales tuerim dic. Quod erat demonstratulum. PRO .
254쪽
PROPOS. 16. THEOR. 26. si in ima ad secundam. habuerit maiorem prinwrtionem, quam tertia ad quartam: habebit conuertendo secunda ad primam maiorem proportionem, quam quartam ad te
Abeat enim Α , ad B , maiorem proportionem, quam C , ad D. Dico proportionem B , ad A, minorem esse proportione D ad C.I ntelligatur enim esse E, ad B, ve C, ad D; eritque proportio A,ad B, maior proportione E, ad B ; a ac propterea Α,ma
. - . re minor erit proportio B, laa ri, maiorem , quam B, ad Ε, minorem: Sed ut est. ἡ tis est conuertendo D , ad C r igitur propo,
io B, ad Α , minor quoque est quam D , ad C. Quod in propositum. θ'
si prinia ad Mundam habuit maiorem pro P trinem , quam tertia ad quartam: Ηγbebit quoque vicissim prima ad tertiam maiore ' Proportionem, quam secunda ad quanam .
c I enim Α, ad B, habeat maiorem proportionem, quam , ad D . Dico permutando maiorem quo
255쪽
que esse proportionem A A C C, quam B, ad D. In- , εμι - telligatur itaque existere E, ad B, ut C, ad D , erit- Π qtie proportio Α , ad B, E . maior etiam , quam E, adi s B : c a 3 Ideoque Α , erit maior quam E. b Qii re maior erit proportio A, ad C, quam E , ad C . cc Quoniam vero permutando est ut E, ad C, ita B , ad D, cum posita sit E, ad B, ut C, ad D. I Igitur proportio A , ad C, maior quoque erit, quam ad D. Quod est propositum.
lsi prima ad secundam habuerit maiorem pro
h portionem , quam tertia ad quartam et Habebit quoque composita prima cum secumda , ad secundam maiorem proportionem, quam composita tertia cum quarta, ad qua
SIt maior proportio AB, ad BC, quam DE , ad EF Dico & componendo maiorem esse proportionem AC, ad BC, quam DFAd EF. Intelligatur autem esse GB, ad BC, ut DE, ad EFferitque proportio AB, ad C BC, maior quoque , quam
ΑΒ, maior quam GR. Adindita ergo communi BC, fiet ΑC, maior quam GCι by ac propterea maior erit proportis AC, ad B C. quam CC, ad BC. Sed componendo, ccavi est G
256쪽
si composita prima cum secunda ad is undam lmaiorem habuerit proportionem, quam com iposita tertia cum quarta, ad quartam : Ην bk quoque diuidendo prima ad secundam maiorem proportionem , quam tertia ad quartam. SIt maior proportio AC , ad BC, quam Dp, ad EF.
Dici, & diuidendo maiorem esse AB, ad BC,quam DE, ad EF . InteIligatur autem esse SC , ad BC , ut DF, ad EF,eritque propor ito Q, ad BC,maior quoque proportione G C , ad, BC: a ideoq; maior erit AC, quam GC. Ablata ergo communi BC ; maior erit Α Β , quam G B: b Ae propterea maior erit proportio AB , ad BC, quam lGB, ad BC: ce Sed diuidendo,ue est GB, ad BC, ita aest DE . ad EF. c posita namque est GC , ad Bia, NDF. ad EF. a Igitur maior quoque erit proportio
257쪽
PROPOS. 3 o. THEOR. 3.. si composita prima cum secunda , ad secumdam habuerit maiorem proportionem, quam rimposita tertia cum quarta, ad quartam: ' Habebit per ciniuersionem ratiotas , prima cum secunda , ad primam minorem prin portionem , quam tertia cum quarta, ad' tertiam.
SIt maior proportio AC, ad BC , qua i DF, ad
Dico per conuersionem rationis, minorem esset proportionem A C, ad AB, quam D , ad DE. Cinn enim fit minor proportio AC, M. BC, quam DF, ad EF ι asteritia diuidendoe maior proporti ΑΒ, ad BC, quam DE , ad EF. b) Quam conuertendo,m noxi erit proportio BC, ad M, qu m BF, ad Der σοὶ Ael or terra & componendo minor erit proportio tortu
258쪽
Si sitit tres magnitudines, & asce ipsis numero aequales, siriue maior proportio primae priorum ad secundam , quam priniae posteri rum ad secundam : Item secundae priorum ad tertiam maior, quam secundae posteriorum ad tertiam : Erit quoque ex aequalita te maior proportio primae priorum ad tertiam , quam primae posteriorum ad tertiam. lSInt tres magnitudines A , B, C, & aliae numero aequaleι D, E, F, sitque maior proportio A , ad B, quam D, ad E: Nec non etiam maior B, ad C, quam
s ualitate maiorem quoque esse proportionem Α, ad C,qtiam D,ad F. Concipiatur euim esse G ad C,vtE,ad F; eritque propterea
proportio B, ad C, maior quam G, ad C s ca) Ideoquela ro. qmi. B, maior erit quam G. cba Qtiare maior erit propor rb 8. q. 3.tio Α, ad G, minorem , quam Α, ad B, maiorem: Ponitur autem proportio A, ad B, maior quam D , ad E. Ergo multo maior erit proportio A , ad G , quam D, ad E . Quo stante denuo intelligatur esse Η , ad G , veD, ad E 3 eritque propterea maior proportio Λ, ad G, quam H, ad G ιcc Ideoque A , maior erit , quam H. cro. ur.
cd Quare maior quantitas Α, ad C, habebit maiorem l d 8. qui. Prop.rtioniis, uuam minor quan ara H , ad eandem .
259쪽
C D e) Sed vi H , ad C , ita est ex aequalitate D . auF. Quoniam vi D, ad Ε, ita est H, ad G,& ut E ad F, ita G, ad C. I viare maior quoque proportio erit A, ad C, quam D, ad F. Quod est propositum .
PROPOS. 3r. THEOR. 32. Si sint προ magnitudines, & aliae ipsis numero aequales, sitque maior proportio primae priorum ad secundam, quam secundae posteri rum ad tertiam: Item secundae priorum ad tertiam maior , quam primae posteriorum ad secundam : Erit quQque ex aequalita maior proportio primae priorum ad tertiam, quam primae posteriorum ad tertiam.
SΙne tres magnitudines A, B, C, & aliae numero aequales D, E , F , sitque maior proportio A , ad B, qua in E, ad F. Item E F, maior B,ad C, quam D , ad E . Dico esse quoque ex qualitate maiorem proportionem Α , ad C, quam D , ad F. Intelligatur autem esse G , ad C, ut D, ad E ; erit. que proportio B, ad C, maior quam G, ad C: 0 Ideoque Β, maior erit, quam G. ba Quare maior erit proportio A, ad inminorem , quam eiuslem Α , ad B , maiorem: Est autem proportio Α, ad B, maior quam E, ad F. Multo ergol maior est proportio A, ad G, quam E, ad F. Quo pini sto intelligatiir rursus esse H, ad G, ut Ε, ad hi eritque Propterea natator Proportis in G, quam R
260쪽
ad Gr ce Ideoque maior erit Α, quam Η. υ) Qio- circa Λ, maior ad C, maiorem habebit proportionem, quam Η, minor ad eandem C: te At vi Η, ad C, ita est ex aequalitate D, ad F. quoniam vi D, ad Ε, ita est G, ad C; Et ut P, ad F, ita est H, ad GoMaior ergo est etiam proportio A, ad C, quam D, ad F. Quod est propositum .
PROPOS. THEOR. si fuerit maior proportio totius ah totum, quam ablati ad ablatum: Erit & reliqui ad res, quum maior proportio, quam totius ad
totum. Q D proportio totius AB, ad totam minuam ablati AE , ad ablatum CF. Dico etiam proportionem reliquae EB, ad reliquum FD, maiorem esse, quam totius AB, ad totum CD. Cum enim maior sit proportio AB, ad CD, quam ΑΕ, ad CF, ca 3 erit quoque
portio AB,ad AE,quam CD, ad CH b ac propterea per conuersionem rationis minor erit proportio ΑΒ, ad EB, . quam CD, ad FD; ca permutando istiuir minor quoque erit pro vortio ΑΒ, ad CD, qtiam EB, ad FD , hoc est EB, reliqua ad reliquam FD, maiorem habebit proportionem , quam tota Ad, ad totam CD . Quod est pro-