장음표시 사용
101쪽
iunS 1 in 'eirculi ambitu duo puncta fumaritur Fig. a. BC in , recta , quae per illa ducitur , intra ei culum cadit. Accipiaturin recta BC quodvis punctum O, dc ex centro A ducantur ΛΟ, ΑΒ , AC. Quoniam
AB, AC aequantur, etiam a anguli B,& Caequa- aPer s.LI. Ies erunt. Quoniam igitur externus ΛΟCbma- b Pεν e jor est interno B, major erit quoque, qu m C. roll. a. p. In triangulo igitur OAC latus AC subtendens l. 3. majorem angulum AOC majus est C latere Ao Per 1s.l. rsubtendente minorem C. Clim igitur AC tantum pertingat ex centro ad circumgerentiam, AD non pertinget. Ergo punctum o intra circulum cadet. Idem ostendetur de quovis allopunctor me BC. Tota ergo BC cadit intra circulum. Ex ipsa etiam notione Iinea recta , τ circu
laris propositio est manifesta. P R o P o S IT 1 o m. SI incirculo rectaper centrum aucta AEL) aliam
CF non per centrum ductam secet bifariam , secabit quoque perpendiculariter. Eis secet perpendiculariter, secabit bifariam. x Pars. Ex Α eentro dueantur AC, AF. Triangilla X, T sibi mutuo aequilatera sunt; nam Co, Foex hypotesi,& AC, AF, quia σκ centro , aequales sunt; Λ Ο vero communis est. Ergo anguli ADC, AOF sequales s
102쪽
ι Por def. les . Ergo i recti. Quod erat primum. ι a Pars. Quia ex syp. anguli A O C , AOFφ I- , er i quad. AC o aeq uale quadratis AD, ' C O; & qiuid. AF aequale quadratis AO, FO . Clim igitur quadrata Α C , Λ F sequalia sint , etiam duo simul ΑΟ, CO duobus stimul Λ O , F o aequalia erunt . re ablato utrimquo communi quadrato Λ Ο remanent Co , Foaequalia . Ac proinde etiam rechae C Ο , F Ο
sunt aequales . Quod erat alterum.
Io circulo duae rectae BC, FL) nonam ita per centri ni ductae se seaeent , non secismi se mutuo bifariam.
s. Nam si una LF transeat per centrum, patet, hanc non bisecari ab altera BC, quae ex hyp. pi r centrum A non transit. Fij. . Si neutra per centrum transi, ex A centroduc ΑΟ. Si jam ambae B C, FL forent bisectae σPer irrc. in O, anguli quoque ΛOC, AOL essent a recti, ac proinde aequales, totum,& pars. Qu9d. fieri non potest.
I6.ct DcuIi se mutuo secantes, aut interitis tan- gentes non habent idem centrum. Alias enim ductis ex communi centro A re
103쪽
Libest Tertius. PROPOSITIO VII. SI in circulo quodvis aliud a centrρ A) accipiatur pundium C), ex quo rectae plures C B,
C L, C O, CF in circumferentiam cadant.1 Maxima erit CB), quae per centrum transit.
et qua diametri pars s CF minima. 3 Aliarum vero major est ea, quae maximae C B propior. 4 2Neque plures, quam duae ex disto puncto C, quod a centro diversum es , ad circumferentiam duci possunt squales .
Pars I. Ducatur ex A centro recta AL. niam AL , AB aequales sunt, addita communi AC erunt LA cum AC, & BC aequales. Sed LA, AC sunt majores b quam LC. Ergo etiam BC major, b Per zo. quam LC. Eodem modo BC ostendetur major iquavis alia. Pars a. Ex centro duc Ao rectam. ΑΟ hoc est ePer ear M.
AFὶ est minor equam AC, C O. Ablata igitur communi AC remanet FC minor, qu m Co. E dem modo erit CF minor quavis aua. Pars 3. In triangulis COA , CL A latera LA, AC aequantur lateribus OA , AC; Angulus V xb LAC major est angulo OAC. e Ergo basis LC major basii ΟC. l. I. Pars q. Patet ex praecedentibus. Nam si tres duci possent aequales C O , CI, Cq: forent: duae Cin CI ad eandem partem inter se aequales. Q d repugnat parti 3.
104쪽
66 Elementorum Geometria PROPOSITIO VIII.
FU-9 O a puncto extra circulum accepto M ' 'o circulum ducantur plures rectae B, AC AMI Earum, qua in ca vim per beriam incidunt,
a Aliarum major en ea, quae maximae AB propior. 3 Extra circulum minima est AO , quae pr ducta per centrum transit.' Pux minims propior, minor est remotiore .
3 2 Un plures , quam duae ex dicto puncto AI in peripheriam diici possunt aequales, e intra circulam , sive extra. Fig. s. Pars I. Ex centro Z duc Z C. Quia aequantur
Z C, ZB ; addita communi AZ , erunt AZ , ZC ipsi A B amitatis . Sed AZ , Z C majores,o. sunt, aquam ΛC . Ergo otiam ΑΗ major A. C. Eodem modo erit ΛΒ major quavis alia. P ars 1. Duc Z F . Latera C L, Z A aequan- tur lateribus FZ , ΖΛ Angulus vero UZAb Per 24. major est angulo F L A. Ergo b basis C Λ majox basi FA.. Fig. io. Pars Duc Z in Duae Am majores cc Per aQ- sunt, quam AZ. Ablatis igitur aequalibus Z Q Zo remanet Ao minor, quam ΛαEodem modo ΛΟ minor erit quavis alia. Pars . Duc L R. Rectae A & QT mino-d Por a r. res frunt d eam AR, R L. Ablatis er o aequa-
105쪽
yars s. patet ex quatuor praeced.
quam duae aequades ad ambitum duci possint , id punctum centrum Erit.
Α centro circuli L Ducantur ad B, C F rectae AB, AC, AF. Erunt hae equales . Quoniam ergo ex aliquo intra circulum o S puncto A ductae sunt tres aeuuales ad ejiis peripheriam Λ B, AC, AF efit Ascentrurri quoque circuli OS. Ergo circuli L Q, & Ο S se secantes habent idem centrum , quod repugnat propositioni f.
ΡROPOSITIO XI. Si duo circudi se intus tangant , rectu per eorum centru ori e 13 ducta transibit per contactum B. 3Si negas , sabeant, si fieri potest , centria, meum situm , ut recta per illa transiens eadat ex- iatra contactum φ secans circulos in O , &
106쪽
68 Elementorum Geometriae sintque centra ipsa Α, & C. ac junge AB, CB. Quoniam igitur CB , Co aequantur, addita communi AC etiam Α C, C B aequales erunt ΛΟ. Sed b AC, CB s uni mnores, quam AB, hoc est e quam AL. Ergo etiam Ao major est quam AL, pars toto. Quod est absurdum.
SI circuli se tangant exterius, recta conjungens cerara per contactum transbit. Si negas, sint, si fieri potest, centra ita pomta, puta in A, di B, ut recta per ipsa transiens per contactum S non incedat, sed circulos secetino, &Q, junganturque AS, BS. Erunt igitur a AS B majores quam A B. Sed AS b est pax ΛΟ, & BS par BQ. Ergo etiam AO, BQ sunt magores, quam tota AB, pars toto. Quod fieri non potest.
PROPOSITIO X III Circuli er sese mutuo, s lineam rectam punis.
ctualiter tangunt. Tangant enim se intra si fieri potest) duo ei culi in parte circumferentiae CL. Per centra A, & B ducta recta b transibit per eontactum pumta in C. Ducantur insuper AL, BL. Qvqniam' igitur e B L, BC aequantur sunt enim ex centro B ad peripheriam OLC) addita communi AB,erunt AB, BL aequales AC. Sed AC est par AL, sunt enim ex centro A ad peripheriam QI C) Emgo etiam AB,BL sunt squales AL,contra a .lib: I.
107쪽
Tangant se deinde exterius duo circuli , si fieri Fig. Ιο. . potest, in arcu OL. Recta AP centra A, Pjungens d transibit per contactum , puta in O. Ducantur in suoer ΛL, PL. Erunt ioicii r duo trianguli latera AL, PLaequalia ipsis AO, Po, seu toti AP, contra a . lib. I. Denique recta BF,&circulus se tangant,si fie- I s. xi potest, in parte aliqua C E. Ducantur ad centrum rectae CA, EA . Erunt igitur CA, EA Ge- quales, ac proinde triangulum CAE est is seeles ;quare e anguli ACE, AEC acuti. Ergo per ' . E. pendicularis ad BF ducta ex A centro cadet inter t C, & E, puta in D. Erunt igitur tam AC, 32 l. I. quam AE aequales perpendiculari AD, quod est f Per eο- absilrdum, contra Coros. I . p. a a. l. I. Nil p corostarium . 'CIrculi, qui habent centra in una recta, eam- . que secant in eodem puncto B, se mutuo in puncto illo B contingunt. caeterum haec propositio liquet etiam ex notione a linearum , quae comparantur . 7θqlie enim ali recta linea , S curva circuli peripheria, aut peri-pberiarum inaequalium diῬersae curvaturs, alitdIsae connexae secumdum ullam sui partem possunt congruere . Congruerent autem , si invicem in tota parte aliqua tangeπent.
circulo aequales rectae BC, LF3 aequaliter o s centro distant; S, quae distant a centro aequaliter, sunt aequales . Ex centro A ducatur AC,AF, ite ΑΟ,AI ad an-
108쪽
o Elementorum Geometriae s.l. 3. gulos rectos ipsis BC, FL. Erunt a BC, FLbisectae in Ο, & I. Cum ergo totae BC, FL ponantur aequales etiam dimidiae OC, I F, adeoque & quadrata ipsaxum aequantur Jam vero quad. AC b squale est quadr cis OC, DA, & quadratum A Faequatur quadratis. I F, IA, Cum igitur quadrata A C , A F squalia sint , etiam duo quadra ta OC, O A duobus I E , I A aequalia erunt . Ablatis igitur quadratis O C , IF quae ant ostensa sunt aequalia ) quae remanent, quad. OA, . IA aequalia ςrunt. Ergo etiam perpendiculares Ο Λ , Ι Λ sunt aequales. Ergo BC , FL aequac Per def. les a centro distant c aequaliter . Quod erat
E eonverso si distantiae o A , I A ponantur m quales , tunc ablaxis quadratis rectarum aequa- sum Ο Α, ΙA: Eodem discursu ostendetur, qu drata reliqua O C , IF fore aequalia , ac proi de & rectas OC , ΙF aequales esse , quae cum dPer ι ι,3 sint d semisses rectarum BC , F L , etiam illae aequales erunt, .d erat alterum.
D Ectarum circulo inscriptarum maxima
est diameter 3 caeterarum ea major , quae centro propior. 1
Sit quaevis R S alia k diametro F L. Ex ce tro due ΑR , AS . Duae AR , AS aequantur a Per to, diametro FL , & sunt a majores , quam R S, so&C Sit deinde BI propior centro, quam XZ. Excentro ad illas duc perpendiculares AC, A Q. b P.ν dU. Erit Λ .major , quam A C. Accipe ergo A
109쪽
Liber Tertius. FI patim ΑT , & per O duc RS perpentices,
rem ad ΛΟ, quae c par erit BI, Junganturque cPerpraee.
ER, AS, A X, AZ. inita igitur A centrum est, runt latera A R, A S aequalia lateribus Λ X, A Z. Angulus autem RAS major est angulo XA L. Ergo basis RS, hoc est BI major d. est basi dPὸν ΣιXL. Quod erat demonstrandum. l. a.
REcta IF , quae per extremitatem dia- Fig. 2o. metri CBὶ perpendi laris en , tota cadit extra circulum, eumque rangit 2 eque inter ipsam, G circulum alia recta aes con
iactum s B in duci ροιοι , quin xirculum secet.
Pars x. Accipiatur in recta I BF quodvis p ctum L, ad quod ex centro Λ duc rectam A L. In trigono L Α B, quoniam angulus AB L x ctus est per hyp. erit Λ LB a acutus. Ergo A L Perleor. Opposita majori an ulo AB L mnor est b quam Α B, quae minori AL B opponitur. Sed Λ B tam ι 'tum pertinoit ad circumserentiam. Ergo AL ubtra circumierentiam porrigitur, ac proinde pumctum L extra circulum est . Tota igitur IF extra circulum cadit. Quod erat primum . Pars a. Insta BF si fieri potest cadat R B t ta extra circulum . Quoniam F B A rectus est per hyp. erit R B A acutus, ae proinde ΑΒ non est perpendicularis ad B R. Ducatur igitur ex A centro ad BR perpendicularis Ao , quae e det d versus R, & secabit circulum in QIgitur dP.γ ειν ΑΒ opposita majori angulo, nempe ΛΟΞ recto Il. 32.ι. Imnor est , quam AO, quae oppinitur minori ,
nempe acuto O B A. Sed AB par est A Q. Ergo E etiam
110쪽
7 et Elementorum Geometria etiam A in najor est, quam ΛΟ, pars toto.
Corollaria. pig. 26. 3 Inc rursum patet,containim rect ae linet,
L I & circularis esse punctualem.
Fig. I . a Si centris in eadem linea recta in infinitum protracta acceptis describantur per B infiniti ci culi tam minores primo B SC, quam majores omnes tangent rectam IF in eodem uno puncto B. 3 Circuli igitur in.amplitudinem quacunque data majorem excrescentes propius semper , ac propilis in infinitum tangenti appropinquant ,
nunquam tamen ei , praeterquam in unico comtactus puncto , conjunguntur , quod quamVis evidentissimum sit, est tamen re vera admirabia Fi i 'o Ex his manifestum est, lineam quamcum . que in infinitum esse divisibilem. Ducat enim ab aliquo diametri puncto ad tangentem recta A Infiniti circuli centra habentes in recta BAsine termino productam rectam IF per coroll. a. hic )& se mutub per coroll. p. I 3. tangunt in uno eodemque puncto B, ac proinde nusquam vel inter se, vel cum recta IF conjunguntur praete quam in B. Ergo necesse est,ut rectam Addarimant in partes infinitas, hoc est in non tot,quin plures. s Angulum contingentiae, seu contactus I Bin eum nempe, qui tangente, & peripheria contianetur in nulla recta linea potest dividere. 17. 6 Per circumferentias tamen in eodem puncto tangentes secari potest, ac minui in infinitum. Atque in hoc , & tertio corollario latet totus smysterium asymptoticum, hoc est lineae rectae ad Hyperbolam una secum in infinitum productam