장음표시 사용
111쪽
accedentis ad intervallum quocunque dato minus, nunquam tamen . concurrentis , quod praeclardobservavit , & demonstravit Μarius Bettinus noster in Apiariis , & ante illum Barocius, a que Cardanus ex Rabbi Μoyse Narbonensi , cujus demonstrationem reseri Cardanus. de su tilitate lib. I 6. scholium. Demonstratur,& solvitur fallacia paradoxorum, quae ex angulo contactus deduci solent.
AVVe hsc quidem ex I6. prop. hactenus dediti
ctahmira, s certa sunt. Pug vero deduci ex eademsolentpraetereὰ , omnem captum humanae mentis excedunt. cuare suspicari aliquando coepi laetere hic aliquid , cujus ignorario subtilibus etiam ingeniis illuderet, paradoxis illis immanibus a ferendis ansam praeberet. Et plane, quod suspicatus sum , itase habere, mihi tandem videor depreben disse . Paradoxa, quae ex 16. inferri solent ex aliis multis , breferὰ praecipua sunt. I u gidus contingentis O AC omni acuto mi-- a nor est. Acutus ello , ab hoc auferri potest dimidius , cy ὰ residuo iterum dimidius , Ο sic deinceps sine termino . Quo pacto acutus flet quocunque dato minor; quantumvis tamen in in itum minuatur, semper tamen residui anguli, exempli gr. anguli uin, lutus unum os a intra circulum ca--is. det , ac proinde angulus contactus OAC intra acu - l. 3. tum continebitur , eousque pars erit , ideoque illo
a Angulus semicirculi, licet recto minor sit , est
112쪽
Mnni, arato major. Quia ob eandem causam acuturimantumvis magnus B A Q. intra femicirculi angκ- Ium BAO comprehenditum . Haeduo in ipso textu propositionis inferuntur: Quamvis nonnulli dubitent, Euclidis ea sint, an M aliquo adjecta . Appollonius certe magnus Πο- megra, cum eandem assectionem in ellipsi, hypembola , G parabola demonstrat , bas illationes praetermittit.
3 Angulus rectus CAB , imo acutus quicunquec continet infinitos aequales angulos contactus, ac proinde infinities illo eu major. NAn arullius, CAR dividi potest in acutos infinitos minores semper , a minores, quorum nihilomisims guti sunt bPer par majores b angulo contactus OAC . - η Angruus contactus C O es vera pars anguli recti CAR pundem quippe nna cum semicirculi angula OAB constituit: nequit tamen ulla ριi mulitia plicasio suum totum adaequare ; ac proinde hic in nita aequalia sibi addita non liciunt infinitum.1 Transitur a minori ad majus, per omnia
media , neque tamen per aequale. Siis datur majus aliquo , G dasur eodem minus, neque tamen datur eidem aequale. 7 amsi recta AB fixo manem te puncto A moveatur , donec congruat cum tange
te , describet acutos angulos BAP , B es a mnes alios pumiles , qui quamvis semper am
Per p ra geantur , semper tamen erunt minores c semici κρη - culi angulo BAO; quamprimum vero AB congruet ranienti C A, immediaes habetur rectus C AB major angulo semicirculi. Hso, er plura alia ex hac 16, propositione deduci solent, quae profecto, si ita,vν proponuntur , sese habeant merito incomprebensibilia videri possent. 'Pe-
113쪽
Iurius, ut bis paradoxisse expedias a negas, asulum contactus esse quantum . um confecerat ,si dixisset , nullum angulμm esse quantum . Sed is vehementer errat, cum inde infert, omnes semicircidiangulos esse aquales, quod pianὸ non in nrret, si intelligeret, quod de sontactus angula riserueras, omnibus angulis convenire. 2raque iampn Clamo nostro in sua illa adῬersus Peletarium apologetis di putatione assentior . Mea quidem sententia uterque fallitur, bis dum omnes omnino angulos esse pu- tat quantitatem, ille dum omnes, praeser angulum contingentia. cliij se, existimant, hac una responsione omnes difficultates solvere, si dicant, curvilianeos angulos, c7 rectilineos esse incomparatiles,r gati vero, cur sint incomparabiles, respondent, quia
angulus contactus quantumcunque multiplicatus nunquam potest gquare rectum Isiclitum. Atqui hoc en pargdoxum ommium maximμm,m-jus explicatis petebatur, qui nimir im feri possit,upangulus contactus anguli rectipars sit, o tame , quotiescunque multiplicatus eumdem superare noqueat . Respondent, angulum contactus non esse partem recti, quia eum non potest auaquare. At paradoxorum assertores replicant hinc solum sequi, nesse partem recti aliquotam, mram tamen esse partem, eo quod cum semicirculi angulo rectum componat . Unde, qui hac via dissicultates propositas volebant disivere, debuerant ostendere , anisum contactur nullosensu partem esse rectilinei anguli, neque addito sibi semicirculi Mngulo rectum comis ponere: id quod facturi deincepi nos sumus. Mibi Ud tur res omnis ex Euclidaea definitione Def.
anguli pendere.Hsc enim,si penitus expendatur,m
nifesὸ docetini illum anguiam esse quantum, qM μηst
114쪽
erroresublato, paradoxa omnia evanescunt. Sentis igitur. 1 Nullus angulus est quantitas, sed moaus quantitatis . Sic enim balet definitio Angulus pia nus est duarum lineari c c. alterius ad alteram inclinasio. Atqui linearum inclinatio non est quantitas, sed modus quantitatis,cum enim curvitas non fit quantitas, cur inclinatio sit, qur ah illa non magis dissert, quam inflexio, c fradito p Deinde. Si anga- Ius esset quantus, foret vel linea, vel superscies,vel corpus . Pon esse lineam, aut corpus patet. Sed neque superscies est, ea enim ablatione partium C, B, az. minuitur, non angulas . Neque potes dici, angulum se perficiem indeterminatam , cum angului quilibet determinatus sit. a Quoniam anguli non sunt quantitas, sed modus
quantitaris,eori inter se comparatorum relatio non
est squalitas, er ins qualitas, sed similitudo,edif- similitudo. 3C- igitur anguli inter se comparati squales dicuntur, aut ingquales non aliud intelligi potest ,quam episimiles esse inter se, aut dis iles. Maluit tamen Euclides squales, s ins quales dicere ob multar horum terminorum in angulis restilineis commoditates. Duem proinde loquendi modum etiam nos retinebimus .
4 Similes porro anguli sunt, quorum ambo latera superimposita congruunt. Dissimiles,quorum non congruunt latera. Angulus enim nihil ekt aliud, q uam inclinatio linearum alterius ad alteram . Ergo similes anguli sunt inclinationes linearum smiles . n sunt autem inclinationes linearum smiles , nisi ambae Ai mutuo impositae congruant . Ergo similes anguli sunt, quorum congruunt latera a
115쪽
dissimiles quorum non co rvunt.1 Itaque manifessum est, nullum angulum curvilineum aequalem dari posse usit angulo rectilineo . Nam gqualitas angulorum non aliud est,quam simia litudo per conclussa.& 3. Similitudo angulorum sola laterum congruentia sper conclus. q. Laterum congruentia haberi nequit, dum angulus curvilineus imponitur rectilineo Ergo erc Errat igitur Procllis, dum descriptis aequalibussemicircutis ita ratiocinatur: RAEqualium semicirculorum Anguli EAD,C. aequales funt. Ergo si bis addatur communis angulus fg CAD, erit angulus EAC curvilineus aequalis recti lineo . Fallit ne ergo axioma, se aequalibus addas, vel demas squalia, tota, vel reliqua erunt equalia φ equaquam ; hoc enim ad res quantas solum pertinet; anguli porro quanti non sunt . Axioma, Min angulis valeat, ita formari, ac intelligi debet. Similes anguli si apponantur similibus angulis, semiliterque positis, qui tum orientur, erunt similes. At Troclus comparat angulos similes quidem : sed communis , qui utrisque additur, cum ab una parte habeat Iasus rectum, af altera curvum, dissimiliter utrisque additur . 6 Quare, cum tota essentia anguli sit linearum se tangentium inclinatio, non erit unus angulus pars alterius, una siquidem inclinatio pars alterius inclinationis non est; neque angulus auferri ai angulo poterit; inclinatio siquidem una auferri nequis ab aiatera, sc. Hsc enim non laterum inclinationibus,qus quantitas non sunt,sed supersciebus inter latera
Postremo ex jam dictis colligemus, quomodo intelligi debeant illae locutionum formae,quibus Geo- mctrae passim, atq; ipse inprimi uclides, utantuν,
116쪽
eum angidorsecari, augeri , imminui, alterum ἁ- .
terias duplam , triplum . aliaque similia aseserunt. Hec favi existimabimus eos non,propria , sed unalogita tantum angulis tribuere; itaque eorisqui 'stoluisse , quod id commodius, s expeditius esset; neque tamen obnoxium periculo , modo in angulis redii ineis maneatur . Angulum 3 g a . itaque dividi rectu D A , non aliud erit squam inter latera E, , C A aliam interponi lineam , quae novas duas cum utroque latere inclinationes, hoc est duos' novos angulos esciat. An
Idum vero EAC esse dμplum anguli EAD, nihil rursum aliud erit , quam inter lineas rectas E A, C A aliam interponi , quae ad utramque similiter inclinetur , unde Ilat, vi rectr E A, D A rediis c. DA inclinationibus non mutatis impositae sit. i . O congruant . Quod si ita ratiocinemur: Angulus 33- E AD est aequalis angulo ILQ,s D AC est quesis Q. LR . Ergo totus E AC toti ILA, aequalis eis . Idem erit, ac si dicatur: Inclinatio redi rum E .aD similis , seu eadem est inclinationi re-etarum ΙLe, sinclinatio nectarum D AC similis est inclinationi rectarum ' Ergo etiam in cIinaeis recturum E AC similis erit inclinationi rectarum vel certὸ quod recidet in idem ,
ex assertione q. supra) collabionem illam se intellige. Latera E AD congruunt lateribus 1 LR, latera D AC congruunt lateribus sera quoque EAC congruent lateribus ILR. quidem consecutio squὸ clara en, atque si squalibus addas squalia , tota aequalia esse . ad eum modum locutiones erreras, que, eum sint quantitatis propriae , ad angulos transferuntur, factu, veritate. Heorematum ubique saeva, interpretabimur.
117쪽
Liber Tertius. Isis ita tan lituus , facilὸ paradoxa a uria dissolvemus, qus satiὸ non aliunde enata sunt, quam
quod angulos eodemquo caeteras quantitases, habuerint loco, ut igitur simul omnia expediam, dico, paradoxa illa, si in proprio verborum sensu accipiantur , ad unum omnia esse falsa. Sic enim accepta non conveniunt nis quanio anguli autem quan ii non sunt, ut jam onendimus . Itaque angulus contactus neque minor en quolis acute, neque pars est anguli retillinei, neque in rectilimo continetur infnities, imo ne semel quidem ι nihil enim horum linearum inclinationi potest competere, quae tota anguli essentia est. Si vero non propriὸ , sed analogico accipiantur, iam nihil continent, quod a communi sensu, ac ratione alienum sit. Sic enim angustum contactus O esse minorem quo ' is acuto , a semicirculi angulum O. I acuto omni majorem, non aliud significam , quam infra tangentem CA, nullam posse duci rectam ad contactum, quin secet peripseriam cus quidem circuli proprie- tas eis omnino digna, quam homines admirantur, en tamen e jusmodi quam possimus intelligere, squae nibit cum ratione pugnans intolvat. Pon alius paradoxi tertii , quarti, o quintifensus erit que ita unius Fuclidiae definitionis auctu, ritὸ perspecta natura anguli , omnes immanium par Mox
Α Pμηcio dato B rediam ducere, qua datum rig. circulum Om tangat
Ex Λ dati circuli centro ducatur ad datum minctum B recta AB secans peripheriam in o. Centro A describe per B alium circulum BS, dc ex O duc
118쪽
8 Elementorum Geometria OC perpendicularem ad AB, occurrat circulom in C. Duc CΛ oecurrentem circulo orin I . Ex B ad I duit a recta tanget circulum OQuia latera B A,IA aequantur lateribus CA, ΟΛ , angulusque Λ communis est in trigonis ι.*-I B , O A C, etiam a anguli AOC,AIB aequa-bv.=eonst. les sunt. Sed ἡ ΛΟ C rectus est . Ergo etiam rectus est AIB. Ergo BI c tangit in I. scholium.
tur tangens circuitum datum B in Centrum A, O datum punctum O jungens recta bisecetur in P. Tum centro P per AENO describe circulum occurrentem dato in B: recta OB tanget. Vam juncta AB angulus ABO in semicirculo rectus cs per r.ergo per I 6.OB tangit circulum .
SΙ. circulum tangat recta linea CL, quae excentro AJ ad contactum B ducitur , tan-- genti perpendicularis en . Si negas, sit ex A centro perpendicularis aliaqusdam recta AF : secabit ea circulum in O Quia ergo angulus A F B rectus ponitur , erit b
1, PROPOSITIO XIX. Fe, δ' C I recta BC) circulum tangat, or ex contactu A) tangenti perpendicularis excitetur A II.
Si negas, sit centrum extra M in Z, & ab eo
119쪽
ad contactum ducatur Z A, erit-angulus ZAC dPer praeurectus , ac proinde par angulo IAC sex hyp.recto, hoc est pars toti.
Triplex est casus. In primo latera B Α, BF-so. coincidunt. Tam vero uia A F, Λ C ex centro ductae aequantur, erunt in triangulo L anguli F , & C a sequales . Sed BACb aequalis esta Per s. l. Iduobus F,& C. Ergo B Λ C duplus est unius b 31.
In casu secundo B Α, C Α cadunt intra BF , 3 r. C F. Tum vero ducta FAX per casum primum X AB est dii lus X FB, & XAC duplus X FC. Ergo totus B A C duplus est totius B F C. In tertio casu BF secat A C , & anguli BAC, S* BFC sunt extra invicem. Ducatur FAL per casum I. totus LAC duplus est totius L FC , di ablatus LAB duplus est ablati LFB. Ergo &xeliquus BAC duplus est reliqui BF C . Q isderat demostrandum.
PROPOSITIO XX LAN.guli B C, BFC , qui in circulo insistunt ιι.
eidem arcui B O C), sive qui in eodem segmento Q C) exi lunt, inter se omnes sunt
Sit primo semetu B Cmajus semicirculo.
120쪽
8 a Elementorum Geometria' Ex centro A duc AB, AC. Per praeced. angulus BAC ad centrum duplus est singulorum BQC ,
ax.6 Ergo omnes BuC, BFC 1 unt a aequales. - Quod erat demonstrandum . Fig. i . Sit deinde s egmentum BQC aequale, aut minus semicirculo. In triangulis Bul, CFI, quia b Per i s. anguli ad verticem I oppositi b aequales sunt, etiam summa reliquorum Q, &R stimmae rei e Per eor. quorum F, & O c aequalis erit. Quare si ab hisa l. .aequalibus summis auferantur angulI R,& Ο, qui per primam partem aequales s uni, utpote eidem arcui insistentes, qui remanent in F aequales erunt. Quod erat demonstran
, S adrilater; circulo inscripti CFὶ oπο- siti anguli duos rectos coinciunt. Dueantur BF, C A. Angulus ABC clinia, a Per 3 a.&X facit a duos rectos . Sed Ο eshi. aequalis I, quia insistunt eidem arcui BC; Ecb Per ait. Xr est aequalis L, quia insistunt eidem arcui AB. Ergo ABC cum duobus etiam Ι', Z , hoc est
ς ς cum toto opposito angulo AF C facit duos rectos. Quod erat demonstrandum.