장음표시 사용
133쪽
gula CBo inter se aequalia sunt. Singula enim
aequantur quadrato tangentis BF. La ex eodem puncto circulum tangunt
BF, B Uequales sunt, earum quippe quaIata aequantur singula eidem rectangulo CB
quadraso BF, haec circulum tanget in F. Ex B ducatur tangens BQ,& ex centro ductis ad F rectis EQ. E F )ungantur B E. Qii niam rectangulo CB I aequantur quadratum BF per hyp. dc quadratum B QIer 3 6. haec in ter se aequalia sunt, adeoque dc rectae B Q, BF aequales . Igitur triangula FEB, Q EPsbi mutub sunt aequilatera . Ergo b anguli Q, F se- bPers.l. quales erunt . Sed Qe rectus est . Ergo etiam Per Frectus est. Ergo B p d . .
134쪽
D liber totus Problematicus en . Docet , quo artificio Mura praesertim ordinatae circulo inscribantur circumscribantur. Amplissemus est illius usus in munitionibus extruendis , crex illo quasi fonte eximiae illa sinuum , tangentium , cr secantium tabulae ingent i bono Matheseos fluxere.
et laura rectilinea circulo inscripta est, Vel x circulus figurς circumscriptus, cum singulorum angulorum vertices in circumferentia existunt. a Figura rectilinea circulo circumscripta est, vel circulus figurae inferiptus est, cum singula latera circulum tangunt. 3 Figura ordinata , seu regularis est , quae aequilatera, & aequiangula est.
non majorem inscribere. Accipe in peripheria quodvis punctu B.Cetro
135쪽
B intervallo datς A describe arcum circulo oc- eurrentem in C. Duc rectam B C. Dico factum.
gulum . t Circulum tangat E F in D. Fiat angulus EDG par a angulo C. & F D H par B. jungam iturque G H. Dico factum. Nam angulus Hae , . quatur b angulo EDG: hoc est c auulo C , & ι. ι. G aequatur.FDH, hoc est e ipsi B. Ergo etiam e Pereonst. GD HI aequatur A. Factum est igitur , quod
CIrculo circumscribere triangulum aquiangu--3lum dato IL K. Latus Ili utrimque producatur, ut fiant externi anguli Ο, &N. Fac in centro A per a 3, lib. I. angulos G A B,B AF pares angulis O,N. D inde in punctis G, B, F circulum tangant tres rectae coeuntes in C , E , D. Triangulum CDE est circulo circumscriptum , & aequiangulum dato ILE. In quadrilatero CGAB anguli G, & B iunt a P.,. duo a recti. Ergo reliqui GAB , & C conficiunt l. 3. simul etiam duos brectos, ac proinde aequantur duobus simul Ο, Ι. Ablatis igitur GAB,& O aο- j qualibus per constr. remanent squales C, dc I. iEodem modo ostenditiir E squilis esse k- Erg'. Ρὸἡ eoVOLD, dc Le etiam squales erunt . Factum est igi 9.p. 32.ι. i.
136쪽
- Quod autem tangentes concurrant, sic osten . μὲν 1 ι ditur . Anbuli O, I, dc k, N sunt squales e . rei. Ais. I, k sunt minores duobus frectis . Ergo fPer 3ῖ-t Ο, I I hoc est per construct. GAB, & ΒΛ p)i' sunt majores duobus rectis . Ergo G ΛF est mi-x Per cor. duobus g rectis . Ergo reista GF cadit in-3l-13 D. Ergo cum A GD, AF D sint recti, erunt D GF, DFG duobus rectis minores. Ergo i CGD, EFD concurrunt versus D. Si- - , ratione demonstrabis concurrere reliquas.
Duos angulos C, & E biseca rectis C A, E A eoeuntibus in Α Ex A duc perpendiculares AB, AG, AF. Circulus centro A per B descriptus transibit etiam per G, & F, tangetque tria datera trianguli. In triangulis enim C A G, & C A B, ouia an
guli Λ GC, ABC, itemque GCA, B Λ per
const. aequantur, & latus quoque Λ C est com-a v. Σ6. mune, exi m AG, AB a aequalia erunt . Paril. i. modo ostendam, paria esse AB, AF . Circulus ergo descriptus centro A transit per B, G, F.;&b P.- 16. quia anguli ad B, G, F sunt recti, tangit, omniatib. a. trianguli latera. Fecimus ergo, quod petebatur .
'Mungulo circussum circumscribere : sive per I. tria data pundia B, C, D) non ad unam rectam posita circulum describere . Puncta data B, C,D binis rectis BC, CD cominecte
137쪽
necte, quas biseca perpendicularibus o A, EA concurrentibus in A. Hoc erit centrum circoli per B, C, D transeuntis. D uctae intelligantur rectae A C, Λ D, Λ B. Per const. latera D Ο , Λ Ο aequantur lateribus OC, O Λ,& anguli ad O sunt recti. Ergo A D a sequatur AC. Eodem modo AB se' atur AC. ι , Ergo etiam AD, AB b aequales . Ergo circu- i ιlus centro Λ descriptus per B transibit etiam . per C, & D. Qu0d petebatur. praxim tantum opus est, centris B, C, D describere tres aequales circulos se mutuo intersecantes per intersectiones ducere rectas , hae sibi Oecurrentes dabunt centrum quaesitum.
Ducantur diametri BD, CE se mutub secantes perpendiculariter: rectae , quae harum ter- minos jungunt, circulo quadratum inshribunt. Demonstratio patet ex q. l. I. & ex 3 I. l. 3. Dueantur deinde quatuor tangentes circulum iu B, C, D, E concurrentes in I, F, G, H. Figura I FG H quadratum est circulo circumscriptum. Demonstratio patet ex I8. l. 3. ex Coroll. z. p. 36 I 3. ex 28.&36. II.
sobolium. Quadra tum circumscriptum elaevio duptan in inscripti. Nam, quia angulus BCD in semia incula rectus deri, erit quadragum ex DB Mc est ἐμν 3 3
138쪽
ρ6 Elementorum Geometriae' quatiratum FIὶ aequale qRubasis e DC,BC, pros
de duplum quiariai DC, bocere quadrati C DE B. PROPOSITIO VIII. & IX. Uadrato BE FCὶ circulam inscribere , oe
circumscrιbere. Ducantur diametri in quadrato se secantes in A. Centro A per B descriptus circulus trans sibit etiam per E, F, C. Deinde ex Λ duc AD perpendicularem ad C B . Centro A per D descriptus circulus tanget omnia quadrati latera. Pars I. Quia ex hyp. CB, EB latera sunt se- a Per s.l. I qualia, erunt anguli BCE, B EC a sequales . Angulus autem C B E rectus est per hyp. Ergob Per eor. BCE, BEC b sunt semirecti. Eodem modo is 3 α- stendam C B F, & reliquos esse semirectos, Me que aequales inter s. . Ergo in triangulo B AC, cum duo sint aequales anguli CBA, & BCA, ς Per 6. t. ΛΒ,& AC c squales . Eadem ratione A B, ' Λ Ε, Λ F sequales erunt. Circulus igitur centro A per B descriptus transibit etiam per EFC. Pars a. Ex A sint perpendiculares insuper
ΑG, AH, AI . Quoniam in triangulis G B A,& DBΛ ansuli ad D,& G, itemque ad Binter
se aequales sunt, latusque ΑΒ commune, late- e Per a6. ra e Λ D, A G aequalia erunt . Eadem ratione aequalia 1 unt Λ G, AH, AI. Circulus ergo cem tro A per D transiens transibit etiam per G,H,I, IPσ λο- tangetque latera omnia quadrati, quia anguli ad
y D, G, H, I sunt recti . Fecimus ergo, quod polebatur .
139쪽
Sumatur quaevis recta A B , quam ita seca a in D, ut rectangulum A B D sit squale quadrato DA . Tum centro A per B describe circulum , cui inscribe BC b aequalem DA, &bPς i, junge AC Erit triangulum H AC quaesitum. Ducatiire enim recta DC , per C, D, A de
scribe e circulum. Qu9niam rectangulum ABD c Per s.L . aequatur quadrato AD, hoc est BC, liquet BC tangere d circulum DO, quem secat CD . Er- d Per II. go.angulus BCD aequatur e angulo A in seo- ι- 3. mento alterno; additoque communi D C Λ , erit RV
BCA aequalis duobus A,& DC A. Sed quia latera ΛΒ , AC aequantur , ABC aequalis fess P BCA. Ergo etiam ABC aequantur duobus Α,& DC A. Sed etiam externus B DC g sequatur g duobus internis A, & DC A. Ergo ABC, &BDC squales sunt. Recta igitur DC squatur B C, hoc est per const. D A. Ergo anguli A, &DCΑisquantur. Quare angulus ABC, quit Per s. I. duobus ostensiis est squalis , duplus erit unius A. Factum igitur est , quod petebatur. Corollarium.
ANmuli ad basim singuli B, dc Cin triangulo i-sosceliojam constructio sunt dus quintae du Tum rectorum, seu quatuor quintς unius recti,dcxeliquus A est una quinta duorum rectorum . G seu
140쪽
seu duae quintae unius . Patet ex, propositione hac, & ex 31. lib. I.
Ircula pcntagonum ordinatum inscribere. a Per praee. Describatur a triangulum B Α C habens angolum ad basim duplum anguli ad verticem. Huicte Pera.I. aequiangulum C Λ D c inscribe circulo. Angulos ad basim ACD, &. Λ DC seca bifariam rectis CE, DB occurrentibus circulo in E, MB. Puncta A, B, C, D, T rectis lineis connexa dabunt pentagonum ordinatum circulo inferiaptum
Νam ex constructione Iiquet quinque angulos b Per 28. I,N, Q, S, O aequales esse . Quare etiam arcus s. iis subtensi AE,ED, DC, CB, B A b sunt sequales . Itaque rectae subtensae arcubus etiam aff-c Per 23. quales cerunt. Pentagonum igitur aequilaterumi est . Est vera etiam sequiangulum, d quia ejus d Per as. anguli B Α Ε, Α E D &c. insistunt arcubus aequa- libus B C D E, A BC D, &c. Factum est igitur, quod petebatur.
Ngulus pentagoni ordinati facit sex qui a x tas unius recti, seu tres quintas duorum. Nam tres anguli ad A, cum sint aequales, utpote aequalibus arcubus BC, CD, DE insistentes , dc medius per coroll. praecedi sit duae quintae unius recti, tres simul , hoc est ipse pentagoni angulus, conficient sex quintas unius recti. Seholium.