장음표시 사용
141쪽
I eniosa est Euclidaea pentagoni inscriptio , sed
multis expeditior illa Ptolomaei, quam tradit t. 1. magesti , N est ejusinodi. - Ducantur diametri ED, BF se mutud perpendicu- Iariter intersecantes in dium AD biseca in C. Cetro C per B describe arcum diametro E D occvrrentem in G. Eiecta GB est lagus pentagoni, NAG decaeoni. Demonstratis hic dari nequit, pendet enim a I. II. Eucl. Eam Vide apud Clavium in fisolio post
Super data rectas AB in pentagonum ordinarum rin. 9.
ita construes. Seca e AB sic , ut rectangulum e Per ii,
ABC sit aequale quadrato AC . Ex AB utrimque ι produeta aufer AD, BE aequales mafri segmento Ac . Centris A, T D intervallρ A A describe ameus duos D secantes in F. Item centris B, T E eodem intervallo se secantes in G. Rursum centris F, T G intervallo itidem An alios D fecanter in I . Puncta A,F, LG,Brectis lineis juncta dabunt pentagonum ordinarum choc est aequilaterum, o aequi . angulum) super data AB. Equilaterum esse patet ex conΠructione ς aequia gulum esse , sic demonstrabitur. Ducatur DF . Fatet ex constructione, triangulam AF D esse fosceles. Et basis AD Ut mayιs segmentum laseris DF e trema , media ratione secti est enim DF aequa lis AB, T AD aequalis Ac. Ergo Angulus o o Per eor. O AF est duae quinta duorum reolorum . Ergo p o. i. 4. reliquus F AB est p tres quintae duorum rediο- p Per is . rum, sive sex quinta unius redii; ac proinde est q angulus pentagoni ordinati . Eodem modo et Per cor.
142쪽
1Go Ehmentorum Geometriae orienditur angidum G B Aese sex quintas unius recti , ac proinde parem F AB. Unde necesse jam est, reliquos F, G, I bis aequales esse , ut patet ex S. lib. I. se concipiatur subsendi recta FG.
Iig. io. Irculo pentagoniim ordinatum circumscribe
Inscribatur pentagonlim ordinatum per praec. GHI kΜ, ducanturque tangentes in punctis , G, H, I, k, Μ, quae concurrant in B, C, D, E, F dico factum.
Ex centro duc rectas A G, A B, A H, A C, Λ LQuoniam BG, B H ex uno puncto B tangunt
Per cor. Circillum, aequales aerunt. Trigona igitur GAB,;6. l. H A B sibi mutuo aequilatera sunt. AEquantur
ergo b anguli O, P, item R,S ; ac proinde tot B duplus est ipsius P, & totus G AH duplus est S. Eadem de causa anguli C, & ΗΛΙ dupli sunt ipsorum T, & N. Sed G A H, & H AI sequales e sunt, quia insistunt arcubus aequalibus GH, HI per const. Ergo etiam eorum dimidii S , Naequales erunt . Quoniam igitur in triangulis BAH', C AH duo anguli S, Ν squantur, item d Per 18. que duo ad recti, latusque A H est commul. I. ne, etiam e B H, CH, itemque 'anguli P, T squa-Per 26 erunt. Eodem modo ostendam, rectas BG, F Gesse equales. Igitur CB, FB duplae sunt aequalium B G, B H, ac proinde aequales . Eodem modo instendam , reliqua latera pentagoni circumscripti esse aequalia . Illud igitur sequi laterum erit rest verb & aeqitiangulum, quia, clim jam ostensum sit, angulos B, & C duplos esse aequalium
143쪽
. s artus . Iorci aequales erunt : eodemque mo clo α reliqm. ordinatum igitur pentagonum ci culo circumscripsimus . Quod erat faciendum. Eoaem artificio circulo circumscribitur ordina
ta Hura quaecunque , si prilis illi semilis circulo
ΡEntagono ordinato circulum inscribere , scircumscribere. Duos pentagoni angulos B, C biseca rectis B V,
concurrentibus in Λ . Ex A duc perpendi, cularem A L. Circulus centro A per L descriptus tanget omnia pentagoni latera ; circulus vero descriptus
centro A per B transibit etiam per C, D. E, F. Para I In trigonis DC Α, BCA, quia latera. BC, CA, itemque ban uis his ii Η, & o squantur, etiam G, & I aequales c e-riint . Sunt verb a etiam toti B, & D aequales fQuare cum d angulus G sit dimidius angula B , a Popis'. etiam I erat dimidius ipsius D. Igitur D quoque d Per Ibilectus est recta DΜ. ob eandem causam reli-q ui pentagoni anguli E, F sunt bis.cti; ac proin- et omnes dimidii anguli inter se aequales erunt .h perpendiculares AM, AS, AN,AR. Qitoniam igitur in trigonis LBA,MBA anguli G, dc QAquantur, & latus L B lateri M Bςquale est, latuique B A commune, etiam ΛΙ ostendam reliquas p Λ M, A S,A N,AR inter se squari. Circulus eroo
Cuntro A transiens per L transibit etiam per Μ, . i
H,R &, quia anguli ad L,Μ, S,N, R recti sunt per G 3 constro
144쪽
I o 2 Elementorum Geometrias Per ιο, eonstr. tanget g uinque latera pentagoni. Quod
Pars a. In trigono C AB, quia anguli O, & Gjam ostensi s unt squales , erunt latera A C, A Bh P., 6.li 'ΠaER : e donaque ratione aequantur etian A B, AF, Λ E, A D; ac proinde circulus centro A transiens per B transibit etiam per C, D, E, F. Pentagono igitur circulum inscripsimus , & ci cumscripsimus. Quod erat faciendum.
PROPOSITIO XV. I dago circulo Hexagonum ordinarum descri
EDucatur diameter F Λ B. Centro B per centrii A describe circulum , qui datum secet in C, &D. Item centro F per Λ describe circulum, qui secet datum in E, di G.Sex puncta B,C,E,F,G,Drectis lineis connexa dabunt quaesitum. Ex centro A emittantur rectae AC,AE, AG, AD. Patet triangula H, I, M L, a esse aequilat a Ex i. t. i. za deinde quia anguli CAB, EA F singuli b, Pereorol. eniciunt unam tertiam rectorum duorum , ac 2 o. 3λ t. ι . proinde simul duas tertias , patet e E A C etiam e Per corol.esie unam tertiam duorum rectorum. Anguli igia 3 p 1 3 l. i. tur EAC, C AB aequales sunt, sunt autem&l
tera EA, AC aequalia lateribus BA, A C. Ergo d2Τer 4.l. r. EC basic B , hoc est ut jam ostensum radio AC aequalis est. Quare etiam N aequilat xum est . Eodem modo ostenditur aequilaterum este k. Qironiam igitur triangula omnia H, I, la, L, Μ, N aequilatera sunt , patet, latera singula CB, BD, DG, GF, FE, EC aequari radio circuli AC, seu AB, ac proinde inter se. Hexagonu igitUr
145쪽
aequilaterum est. Est vero & sequiangulum,cum singuli eius anguli E, C, B, D, G, F constent duobus aequilateri trianguli angulis . Ergo Hexagonum, quod circulo inscripsimus, est ordinatum.
Corollaria. 1 π Αtus hexagoni circulo inscripti aequale est radio.
a Angulus hexagoni ordinati est quatuor tertiae unius recti , constat enim ex duobus angulis trianguli aequilateri,quorum singuli conficiunt ddPercoro .
duas tertias unius recti. 32, p. 92.
3 Si ducatur insuper diameter P S perpendi- eularis alteri F B, & intervallo radii P Λ centris P, & S sectiones fiant in O, &Hin R, &T; puncta P, L, R, F, O, G, S, D, T, B, in C rectis
lineis connexa dabunt duodecangulum ordinatum una circini apertura circulo inscriptum. Id quod magno est usui in Gnomonica. Ex demonstratis elicitur etiam descriptio facillima trianguli aequilateri in circulo . Ducta diametro FB centro B per Λ centrum describeareum C A D. Puncta C, F, D rectis juncta dant aequilaterum quaesitum. AEquilateri trianguli latus CX D a diametro BF ad ipsim perpendiculari quartam partem B X abscindit. Nam anguli A C X , B C X aequalibus arcubus GD,DB insistentes aequales esunt; & latera AC, C X aequantur lateribus ACCX. Ergo ΛX, B XI aequales sunt. Ergo B X est quarta pars diametri B F.
146쪽
HExagonrem ordinatum super data re iacuita colirues. Fac r triangulum C squi- laterum supra datam C B. Centro A per B, o C describe circulum . Is capiet hexagonum super da tam C B. Patet ex propos. S coroll. I.
O dratum ex latere trianguli rquilateri tria plum est quadrati ex semidiametro circuli ,
cui ιnscriptum est, adeoque ad quadratum diametri en ut ad 4. Ducatur semidiameter A D. Quadratum FD aequatur quadratis s FA , , rectans Per iῖ gulo F bis. Sed rediang. FAX bis est porquadrato Iemidiametri F A seu D.A nam qhiai Pἡst eo=. qticles t sunt , redi angulum F A Xbist price. 4 Vbiis rectangulis nempe sub F A , AGc sub FAE, X B; hoc di reeiungulo u F AB; boc estu Pcri t. quadrato F Ergo quadratum F D triplum es -- quadrati ex semidiametro. Hia autem quadratum totius diametri F ΠquadrVlum x est quadrati HA,patet quadratum diametri ut 3. ad q- - ' sequitur Iulus σquilateri trianguli essecad diametrum , ut radix quadrata ternarii caud a, radicem nempe quadratam quatarnarii a ac proinde esse lineas incommensurabiles .
147쪽
Circulo inscribe a latus pentagoni A C, &trianguli b equilateri latus A D. Arcum CDbi- bPer eorol. seca in E. C E est latus quindecagoni. Nam si tota peripheria statuatur esse Iue, erit accus A C 3 , & arcus Λ D s , ac proinde arcus C D i, ideoque C E unum .
HAc methodo innumerae figurae ordinataeUs 'circulo inscribentur . Nam si duarum ordinatarum latera AC, AD circulo sint inscripta, arcuum disterentia C D continebit tot latera n Vae figurae Ordinatae quot unitatibus disserunt denominatores priorum. Denominator autem novae figurae habetur , si denominatores priorum inter 1 e multiplicentur. Ut si AD sit latus quadrati A C decagoni. Denominatorum di fierentia est 6. Igitiir arcus C D continet 6 latera figurae novae . Ea Vc rb est o laterum. Denominatores enim Α, &xo inter se multiplicati faciunt AO.
Nondum reperta ars Hi, qua sola circino,c regula inscribantur circulo figurae ordinatae laterum 17,sc. Cum illa inscriptio Hurarum dependeat a divsone circumferentie in partes datas , quς etiamnxin desideratur. LAcebit tamen , circuli circumferentia in 36o partes divisa, mccbanic8 fguras quascunque ordinaras circulo inscribere blinc in modum.
148쪽
s us hoc est totam circumferen- a tiam divide per aenominazorem postgoni in1cribendi sexem. gr. nonanguli): quot unitatibus constat quotiens o.) ta graduum fac in centro angulum G S. . A K erit latus istae quaesita non angula) circulo inscribenda .
AT super data recta quamvis figuram ordia natam describes praesidio tabella sequentis; ulus rectus es ad angulum murae.' i deer. In Pentagono ut 3 ad 6... IHexagono ut 3 ad θ... I Heptagono ut T ad Io... 3 octogono vi 2 ad 3... I nagono ut 9 ad I ... s Dccagono ut 3 ad 8... 3 decagono ut II ad I 8... Ti Duodeca no ut 3 ad I .. ari, rue. Oporteat igitur super data recta XB heptagonum ordinatum describere. Centro X describe circulum , a quo abscinde quadrantem B O . , de in tabula qugst proportio recti anguli ad angulum heptagoni , re- ' peries , lit 7. ad io. cy dferentia esst Luadransetem igitur partire in 7. arcus aequales, quorum ad- huc tot ipsi adde ex O in,quot unitales habet dij . ' Per s. l. ferentia . Per tria puncta B X describe a circulum , hic capiet heptagonum datae recta X B.