장음표시 사용
151쪽
Liber sua tus. post 32. I. I. quo reperitur numerus rectorum angulorum, quos elficiunt anguli cujuscunque rectilianei , qui numerus divisus per denomina torem figurae exhibet denominatorem proportimis anguli Hi ra ad rectum. Quoniam vero de figuris ordinatis multa hactenus
sunt proposita , fiat hunc librum Procli celebre
Theorema. Τbeorema. iTI ei tantum fgurae ordinals videlicet 6. triam gula aequilatera, q. quadrata , 3. hιxagona spatii m replere possunt , hoc est unam continuam supersciem collituere. Quod sic demonRratur . Ut aliqua mura ordinara saepius repetita possit replere spatium , requiritur , ut anguli plurium ejus speciei Hurarum circa unumpunctum compositi possint conscere quatuor rectos; tot enim circa unum punctum possunt constitui, ut patet ex coroll. 3. p. I 3. I. I. ex.
gr. ut triangula aequilatera possint replere spatium, requiritur , ut aliquot anguli talium triangulorum , M, L, K, I, II, circa punctum A compositi essi- Fig. i ι .ciant quatuor rectos . Atqui quasvor rectos epiciunt 6. anguli trianguli aequilateri nam unus facit duas
tertias b unius recti, ac proinde σfaciμnt I 2.tertias b Per eor. unius recti, hoc est q. rectos;)item . . anguli quadra ιι- p, 37. ti, ut patet; item 3. anguli hexagoni unus enim fa δ cit q. tertias c unius recti , ac proinde 3. faciunt12. tertias unius recti , hoc en rursum q.rectos.
Quod autem id nulla alia Aura possit , liquido
constabit , si angulum ejus repertum , ut supra , qu crinqve numero multiplices ; semper enim aut descient a q. rectis , alii excedent.
152쪽
momenti in Geometria sit scientiastu proportionum, nemo in Mathematicus, qui ignoret. Ea traditur ab Euclide totoqMinto, Ofexto libro. Sed quamvis illi, csteri Alse elementorum conditoribus plurimum debeamus; in iis tamen, quae de proportione tradiderunt, desiderari aliquid videtur . Di cultas tota in definitione s. l. s. rtitur, tibi tradit Euclides, quid sit quatuor magnitudines esse proportionales ,sive duas rationes easdem , similes, squales esse. Desinit igitur duas rationes tum aequales dici,seusimiles, quando antecedentia quocunqMe nis mero aequaliter multiplicata conseqMentibus etiam quocunq; κumero aequaliter multiplicatis semper voι simul rq uafunt,vel simul mavra vel simia min -ra. a AtqMe ex ea definitione omnes deinde Go'libri demonstrationes mediate, vel immediate deducit . Haec doetrinae Euclidaeae summa est, quae multiplicem , ut dixi, dissicultatem babet. Nam in primis certum esct , ea definitione non naturam aequa lium rationum, sed Uectionem solummodo aliqream explicari. Deinde illa multiplicium proprietas adducitur , vel tanquam signum infallibile rationum aequalium , ut quandocunque ea demonstrata fuerit de quibuszis rationibus , inferre certo liceat , aeqΗatiscas esse ue vel issensus illius est , ut per magnitMdi
153쪽
nes eandem rationem habentes nihil aliud intelligi velit, quam earum multiplices modo jam dicto excedere , vel excedi. Si primum, demonstrare aebuerat, eam assectionem omnibus, s solis rationibus qualibus inesse, ut ex ea rationu aequalitas certo possit inferri. Id vero minimὰ vulgare theorema est, quod neque Euclides, neque alius post Euclidem ullus demonstravi t Si secundum ;securi quidem erimus de veritate theorematum infensu definitionis acceptorum , minimὸ tamen ex vi demonstrationum nobis constare poterit de absoluta rationum aequali- . tate. Exemplum esto prima sexti. Certi erimus ex Fig. 2. l. 6. Euclidaea demon, tratione, rationem triangulorum ' ABC, T DEF aequalem esse rationi basium AC, T DF per rationum aequalitatem sol- intellia gendo dictam illam proprietatem multiplicium non colligemus tamen rationes illas triangulorum basium rationibus verὰ, or affoluid aequales esse, cum demonstratum non sit,assectionem illam multiplicium cum absoluta , o vera rationum aequalitate necessario esse connexam . Quomodocunque igitur illa definitio accipiatur, librorum s. aco. demonstrationes vacillant, quamdiu demonseratum non fuerit, veram rationum aequalitatem cum ea multiplicium proprietate semper esse connexam . Denique ut sibi constarent omnia, tamen ille multipliciun
Iabrinthus mibi, aliisque semper displicuit, er ronibus plurimum semper facesvit negotii ,
quorum ita plerumque mentes intricat, ut exi-.tlim vix reperiant. Quare ut doctrinam proportionum, qlia quasi medulla , atque anima Geometriae , O universae Matheseos,st , ab ea lube indicemus, haec tria praestare conabimur .
154쪽
I Io Elementorum Geometria elide per multiplices demon, trantur, eo ferὸ loco halemda esse, quo axiomata, ac proinde declaratione potius subinde aliqua , quam de stratione egere. Ita proportionum cognitio, quam ille circuitus multiplicium dissicilem bactenus , is perobscuram secerat, plana,ta expedita reddetur. becundo demonRrabimus, quandocumque antecedentium quaelibet aqu/ multiplices cons quentii quibuslibet aequὸ multiplicibus vel pariter majores sunt, et ei pariter minores , Ῥel pariter equalis , thm rationes esse verὸ aequales, seu similes. Quo stabilito omnes Euclidais demonstrationes ειοtaque illius de proportionibus doctrina sub illa,nt , qui nostris probationibus contentus non sit , ad Euclidras quamvis prolixas , Jam tamen securas, ac solidas se possit convertere. Assignasimus item. ac demonstrabimus proportionum aequalιum aliud indicium clarismum, ac primum , ex quo omnes
Quinti libri propositiones deducere potιrit , qssi
voluerit. Tertio . De proportionum denominatoribus,
gorytbmo, compositione tractatum subjungam penitioris Geometris studiosis pland necessarium , lib. etiam demonstrabimus axioma illuu , seu potiustbeorema badtentis indemonstratum ratιonem ex tremorum ex rationibus quotlibet intermediorum componi.
155쪽
Proportionum elementa faciliori meoiast
1 D Ars aliquota magnitudinis est, quae aliquot ties repetita magnitudinem metitur , sive adaequat. Pars aliquanta, quae non metitur. Longitudo unius pedis est pars aliquota Iongiatudinis io pedum , quia illam decies repetita metitur . Longitudo vero pedum est pars aliquanta lineae io pedum , quia aliquoties repetita is , nempe bis illam non adaequat, repetita vero ter e
cedιι. a Magnitudo magnitudinis multiplex est , cum minor metitur majorem , ac proinde ejus pars aliquota est,sive clim major minorem aliquoties continet praecisd. 3 Ratio, sive proportio est duarum ejusdem generis magnitudinum mutua quaedamsecundum quantitatem habitudo
Sunt igitur in omni proportione duo termini , quorum ille Antecedens dicitur , qui primis nominatur, sive is, qui nominandi casu fertur , alter Consequens. Cum an secedens , Or consequens funt aequales , proportio aequesitaris dicitur , cum ins quales , dicitur esse proportio inaequalitatis. Ratio, seu proportio rationalis est , quae existit inter magnitudines commensurabiles, &numeris exprimi potest . Proportio irrationalis est,
156쪽
est , quae existit inter magnitudines incommemsurabiles. & nullis numeris explicari potest. Porro commensurissiles quantitates sunt, quas aliqua communis mensiiras metitur, incommensurabiles , quas nulla metitur mensura commu
' miles, aequales , eaedem , cum unius antecedens
A in aeque, seu eodem modo hoc est nec magis, nec minus )continet suum consequens B) quo alterius antecedens C ) continet 1 uum consequens s F. Vel quando unius antecedens Α ) eodem modo continetur in suo consequente B ), quo C antecedens alterius in suos D.)
6 Duae rationes 1 unt dissimiles , sive una ratio est major ait, a , quando unius antecedens I) magis continet suum consequens L , quam alterius antecedens Ο contineat suum consequens sin, vel quando antecedens unius min . continetur in suo consequente, quam antecedens alterum contineatur in consequente suo . Proportionum aequalitas , inaequalitas explicatur.
O id porro sit unum antecedens aequὰ , vel magis continere suum consequens , quam antecedens alterum contineat suum , si porp tinnes sint rationales, desiniri, ue explicari ulterius potest per numeros, ut si Asit triplum B,.C tria triplum F, perspicuum erit quid sit , A aequ),se eodem modo continere B, qato C continet R ls I sit triplum L, O vero duplum constabitrosumo quid sit I magis continςre L, quam O
157쪽
: s 3 Liber cuintus. Tars I. IIItontineat si proportiones fuerint irrationales; ea res explicari ulterius nec potest, nec debet. Dentur magnitudines incommensurabilis B, per pi- Figcuum es,A non solism majus esse si, sed etiam cerio quodam modo e e majus , A quippe aliter continet B, quam alia quaelibet major, minorvd quam A:
neque tamen ulterius quaeri,aut explicari debet,quis sit certus ille modus,quo Acontinet B,quia per nAllos numeros explicabilis ei. Itaque quemadmodum datis binis incommensura ilibus quantitatibus non debet ulterius qugri, quid sit unam certo modo continere alteram, ita neque, cum dantur quatuor proportionales incommensurae sies, quaeri debet ulteriiss, quid sit C eodem modo continere D , quo A continet B. Sicuti enim modus, quo Acontinet B, ulterius
en inexplicabilis,ita pland etiam identitas modi,quo a continet B, cum modo, quo C continet D, ulterius inexplicabilis est. Quod Zero cuicumque proportioni irrationali A LY.ad B dctilis sint infinitae aliae proportiones irration Ies aquales, majores, minores, diversis terminis constantes, facili poterimus intelligere bunc in modum. Sumatur quaecumque quantitas C, O auferatur B incommensurabili secum quantitate, quotier
potes, puta ter , supersit E F . Sit deinde O tertia pars ipsius C,sit insuper quaepiam X ipse C incom
mensurabilis, quae ma)or sit, quam O. caoniam uiatur .a contιnet B plus quam ter, C vero continet X. minus quam ter nam C continet praecisὰ ter O minorem quam X erit ratio irrationalis C ad X minor ratione irrationali AMB. Accipiatur jam o quarta pars C, π quaepiam eHo Z ipse C incommensurabilis, quae minor sit,quam O. Quoniam igitur A continet B minus, quam quater, C vero con-H tinet
158쪽
II 4 Elementorum Geometriae tinet Z plus, quam quater cum C praecise quater
contineat o majorem, quam Z , erit ratio irr tionalis Caa Z major ratione irrationali A ad B Iam vero, quia C ad aliquam X minorem ratiorinem habet,quam A ad B, 6 rursum , quia C ad alia quam Z majorem rationem habet, quam A ad maniferium est etiam C ad aliquam D mediam inter X, ο κ eandem bulere rasionem , quam A ad B.
Quod quidem perinde clarum est lumine naturali , atque i lud ; da bile est majus , quam P, s dabiis est minus , quam P, ergo dabile est aequale aliquia
Quid in proportionum aequalium definitione Euclidaea desideretur. O d ad Euclidem attinet, is duas proportionex
ad B, C ad Faequalere edicit , cum ante-ceuentium quaecunque eque multiplices I, a consequentium quibuscunque aequὰ multiplicibus L,Rc clsimul majores sunt , 'vel simul minores , vel simul aequales , boc oti cum Ι superat L, etiam: semper superat R cum I superatur ab L , etiam G per superatur ab N cum Ι est aequalis L, etiam a semper est aequalis R. Ubi benὸ notandum est, Euclidem non assumere aeque multiplicium excessus , defectusque proportionales , seu similes , sic enim inepte idem per idem expIicasset sed excessus , defectus simpliciter . 2Vihilominus hic aliquid in summo Geometra desiderari jam supra declara vimus. 2Vam vel cupit hisce verbis rationes aqua-Ies donire , sic rei definitae proprietatem pro definitione assert: evidens quippe est , hanc muItiplicium assessionem ex rationum aequalitat
159쪽
profluere; vel adducit tanquam indicium primum. T infallibile rationum aequalium; T sic demonstrare debuerat, eam cum rasionum aequalitate ira semper esse connexam , ut byc ex illa certo possit inferri . cur quidem connexioue perobscura, o demon Rr iu diUtilis est; vel denique per rationum aequalita tem nihil aliud intelligit, quam simultaneum illum excelsum, defectumve multiplicium ι ρο sic toto s. ae 6. libro , cum quatuor magnitudines proportionales esse demonstrat , nihil sciemus aliud , quam dictum excessum,s defectum iEis competere, incerti plo/ uetrum magnitudines , de quibus agitur, sint vere proportionales.
Proportionum aequestum aliud indicium priamum, o infallibile assignatur. O d si rasionum aequalium desideretur inde clam infallibile ,'facile, o primum , nos
tale assignabimus , demonstrabimusque trior. s. σ6. partis a. estque eiusmodi. Estiones o aequailes sunt AB ad CF, G Mad quando G consequentes ipsae , N consequentium δεmiles partes aliquota quaecunque in antec dentibus aequali semper numero continentur. Ut si una decima ipsius C F contineatur inducenties, una quoque decima contineatur ducenties in G M ;'si una centesima C F contineatur millies in AB , etiam una centesima contineatur millies in G M is sic deinceps in inmnitum , erit ad C F , ut GD ad Ins quales autem rationes; unt , quando aut consequentes ipsis, aut consequentium aliqua similes ali-
160쪽
iis Elamentorum Geometriaq: Otae in antecedentibus inaequali numero continentur; c illa rario major est , cujus vel consequens , vel consequentis aliquot a saepius continetur in
Ut si ima centimillesima CF saepius contineatur in quam una centimillesima ficu in G M, eritraxio AB ad CF major ratione G M ad quamvis innumerae aliae consequentium C F , similes aliquotae in antecedenribus AB , G M aequali numero continerentur. Porro aequest numero contineri dicuntur , cum ablatae quoties postpunt, aequali numero Iunt ablatae . Ex hoc indicio rationum irrationalium squalitas, er inaequalitas continus elucescit , cs sic antecedentes consequentibus incommensurabiles per ablata comsequentibus commensurabilia. π praeportionesia exhauriantur . et Similes partes sunt, quae in suis totis aeque, seu eodem modo continentur, ut qualis pars sui totius est una, talis pars 1ui totius sit altera . Quod sane nihil aliud est, quam partes ad sua tota eandem habere rationem. Similes vero partes aliquotae sunt, quae sua i ta aequaliter metiuntur, ut si utraque sit sui t tius una xertia, una decima, &c.
8 Magnitudines A B C Dὶ continue propo
tionales dicuntur, cum medii termini B, C in bis sumuntur hoc est , cum sunt consequens res pectit praecedentis, dc antecedens respectu sequentis.
Continuas rationes sic egerimus , Aest ad B , ut Bad Cues Bel ad C, ut C ad D, Ο sic deinceps.s Magnitudines discretim proportionales sunt, cum nullus terminus bis accipitur.