장음표시 사용
161쪽
Discretas rationes sic serimus: A est ad D, ut Q. i. C ad F. Cum plures fuerint proportiomiles magnitudines, quam tres , si proportionales dicantur , semper intelligitur discretim. 1 o Cum magnitudines A B C D) fuerint con--6.tinue proportionales, prima A ad tertiam C in habere dicitur rationem duplicatam ejus rati nis , quam eadem prima A) habet ad secundam
bere dicitur triplicatam ejus, quam eadem prima habet ad secundam B in , & sic deinceps.
II Homologae, 1 eu similes ratione magnitudines dicuntur antecedentes antecedentibuS, consequentes consequentibus . Ut si Λ est ad B, ut C ad F; homologae erunt Λ, C,& B, F. i liquae desnitiones commodius ex ipsis propositionibus intelligentur. Quintus liber propositiones complectitur as. Ex ibis Io. non alium usum habent , quam ut reliquae earum ope per multiplices demonstrentur. 1illis ei tur praetermissis is reliquas proponemus solas Euclidis ordine non mutato. Porro hujus libri theoremata non solis lineis , sed omnibus omnino quanti talibus conveniunt. Lineae igitur , quibus hic utiamur u omne genus quantitatis repraesentant. -ioma.
DAtis lxibus quantitatibus A, B, C dabilis est quarta L, ad quam C eam proportionem hetebet, quam Λ habet ad
162쪽
I ηρβra methodo sunt superfluae. 'ΡROPOSITIO VII.
SI quantitates s B fuerint aequales , alia quaepiam detur Ze erit ad Z, ut nos ad Z , Z erit ad , ut eadem Z est ad B. Haec propositio, ut & sequentes quatuor, sunt
merissima axiomata , ac proinde nullo modo demonstrari debent.
major C ad tertiam Z majorem balebit rationem , quam minor F habeat ad eandem Z. Et Z ad majorem C minorem babebit rasi . nem , quam eadem Z babeas ad F , quae minor est, quam C .
SI A ,-B ad Z eandem habeant rationem, aequales sunt A, O B. Et si eadem Z ad A , N B eandem rationem habeti , rursum A , B aequales erunt.
163쪽
Liber Guintus. Pars I. I 19 PROPOSITIO X.
SI C ad Z majorem rationem habeat , quam s. F ad Z , erit C major, quam F. Et si Z ad F majorem rationem habeat , quam eadem Z ad C, erit F minor, quam C . Ρ R O Ρ Ο S I T I O XI. . R Ationes, quae eidem rationi sunt aequales, s. eaedem , similes , idem omnia penseant sunt aequales, eaedem, similes inιer se. Ut sitam ratio A ad B,quam ratio C ad F sint sequales rationi X ad Z , erunt quoque rationes A ad B,& C ad F aequales inter se. Sive si A sit ad B, ut X ad L, & C sit ad F, ut X ad L; erit quoque A ad B, ut C ad F. Eodem modo rationes, quae aquailibus sunt ae-quades , inter se sunt aequales .
SI singulae magnitudines quotcumque A, B III. Io C in eandem habuerint proportionim ad singulas totidem F , I, L), quam proportionem habent singulae ad singulas , sive una ad unam F), eandem habebunt omnes , B ,
sumptas. Rem per se manifestam exemplo tantum aliqtiori rati
164쪽
Iao Elementorum Geometria rationali declaro; ut si sinoulae ABC singularum F,I, L sint triplae hoc cri, si singulae ad singulas eandem habeant rationem quam 3 ad I ), etiam A, B, C simul sumptae simul sumptarum F, I, Liriplae erunt, hoc est, etiam A, B,C simul sumptae ad F, I, L simul silmptas rationem habent eandem, quam 3 ad proportione irrationali
ALiquotae similes F, I) eandem inter se ra
tionem habent , quam totae A, B. Et universim partes similes C, F) sunt inter se , ut totae B. Vere instar axiomatis haberi potest , si recto intelligatur , quid sint partes similes . Vide d
PROPOSITIO XVI. Siprima A) sit ad secundam B, in ut tertia C ad quartam F , ) etiam permutando erit prima ad tertiam C, ut secunda B ad
quartam F. Ponantur B, &F esse minores, quam A,ci C, nam si aequales sint, res patet. Quoniam A pon tur esse ad B, ut C ad F, erunt per defin. 7. B &
165쪽
Liber cuintus . Parin L I 2IF totorum A, & C partes similes, ac proinde per
praeced. quam proportionem inter se habent i
tae A, C, eam quoque habent partes similes B, F; hoc est, Λ est ad C, ut B ad F. Scholium. SI est ad B, ut C ad F, etiam invertendo erit ut B ad A, sic F ad C. Per se patet. Apud Euclidem hoc est corollarium prop. q. quae cum in nostra methodo tanquam superfluasis omissa, visum est corollarium illud boc loco poner
CB, ut antecedens alterum F I) ad consequens alterum L I ;ὶ etiam di,idendo erit excelsus antecedentis primi supra suum consequens ad idem consequens s C B,) ut F L, excelsus antecedentis secundi supra consequens secundum ad
secundum consequens LI. Axiomatis instar assumi potest: si tota A B,FIcandem rationem habeant ad X, & Z , etiam Gmilibiis partibus mulctata eandem ad X,& Z pe gent habere rationem ; hoc est , adhuc A B se mulctata erit ad X, ut FI se mulctata ad Z. Id Vpro est, quod asserit propositio. Nam quia ponitur Α B esse ad C B, ut FI ad LI, erunt a C B, a Pὸν L I similes partes totorum AB, FI; & AC, F L hi s.
erunt tota similibus partibus mulctata. Cum ergo tota habuerint ad CB, LI eandem rationem, etiaAC , FL, hoc est tota similibus partibus mulctata pergent ad CB ,LI eandem inter se habere rationem ,
166쪽
Fig a C I antecedens unum sit ad consequens u-o num CB, ut antecedens alterum FL ad
consequens alterum L I in etiam componendo erit Ac cum C B primum antecedens cum suo cons quente ad idem consequens CB, ut F L cum LI secundum antecedens cum suo consequente ad consequens LI. Rursum enim instar axiomatis assumi poterit :si duae quantitates A C , F L eandem ad X, &Z habeant rationem, etiam AC, FL similiter,s eu proportionaliter auctς pergent ad X, & Leandem habere rationem: hoc est adhuc erit AC sic aucta ad X, ut F L sic aucta ad L. Id vero est quod propositio asserit . Nam ponitur AC esse
ad CB, ut FL ad LI. Quare si ipsis AC, F L addantur C B, LI; erunt Λ C, F L propo
tionaliter, seu similiter auctae. Cum igitur A C, Θ F L eodem modo se habeant ad C B, LI, etiam .
cum similiter fuerint auctae hoc est ipsae jam A B, FI pergent ad easdem C B, LI eodem modo se habere ; hoc est adhuc A B erit ad C B, ut FI ad LI.
Corollarium I. I antecedens unum ABὶ fuerit ad considi. quens C B, ut antecedens alterum FIὶ ad consequens alterum LI,)etiam antecedens primum ABὶ erit ad AC) excessum suum supra Consequens , ut antecedens alterum FI) est ad
167쪽
F L) excessum suum supra consequens alterum LI.
ut FI ad LI. Cum enim sitiit AC ad AB, sic FL ad FI,erit invertendo ΒΑ ad C Α, ut IF ad I F;& divid. d ιBC ad C Α, ut IL ad L F; & rursum invertem do A C ad CB, ut F L ad LI, & compon. e Λ B , ad CB, ut FI ad LI.
Omninb clarum est per se . Potest tamen ex praecedentibus sic ostendi; quoniam Λ B est ad FI, ut CB ad LI, erit permutando a AB ad CB, ut FI ad LI. Ergo per conversionem ra-
168쪽
124 Elementorum Geometri a PROPOSITIO XX. XXI.
P ηρ ira methodo sunt superfluae. PROPOSITIO XXII
SI fuerit A ad B, ut O ad Bad C, ut stad
is hic deinceps erit ex aequo ut A prima ad C ultimam , ita O 'prima ad ultimam R. sonantur C,Resse minores, qu m B, eadem foret ostensio, si majores ponerentur. niam a B est ad C, ut Q, R; erunt C, R totorum in Bini partes similes. Cum igitur A, & O ad B, &Q. eandem habeant rationem habebunt quoque ad C,& R, quae sunt iplbrum B,&Martes simi
Ies eandem rationem. Instar enim axiomatis e st, si duae quantitates ad alias duas eandem inter se habuerint rationem, etiam ad partes earum molles eandem inter se habere rationem. Si plures fuerint utrimque quantitates , quaisi tres , eodem ratiocinio procedatur ad reli
PROPOSITIO XXIII. Si fuerit ut A prima ad B secunὰam , ita o
prima ad'fecundam , G At B secunda ad C tertiam , ita tertia quaepiam R ad primam oberit ex aequo ut A prima ad C tertiam , ita E tertia ad assecundam. Ut B est ad C, ita o potest Q esse ad ali quapiam
169쪽
Ioer suintus . Pars L Iaspiam S. Iam quia ut B ad C, sic p R est ad O, p Dr , .ut B ad C, q uc dest ad S, erit R ad Ο, ut ad S. Igitur permutando R est ad ut O ad ' IS. Deinde, quia o est ad inuis A ad B, &-io. est ad S, t ut B ad C, ex aequo erit o ad S, ut l. s. e A est ad C. Sed jam ostendi R esse ad Q, ut o I Per p. est ad S . Ergo etiam d R est ad O , ut Λ ad C.
Vocatur a Geometris haec ratio perturbata.
SI fuerit ut A ad B , ita C ad λο ut Ι ad B, Fθ. is. ita L ad F, erit ut Acum 1 ad B, ita C cum Lad F. Quoniam I per hyp. est ad B, iit L ad F, erit quoque a invertendo B ad I , ut F ad L . Cum aPerschol. igitur A sit ad B, b ut C ad F, & B ad Ι, ut Fad L, ex aequo erit e ut A ad I, sic C ad L. Igi- . tur d componendo ut AI est ad I, sic CL est ι. , . ad L. I verb est ad B, e ut L ad F. Rursum d Per 18. igitur sex aequo AI est ad B, ut CL ad F.
SI quatuor magnitudines s AB, C F, I, L fuerint Fig. 16. proportionales, maxima AB in , s minima L duabus reliquis CF, cy I) madores erunt. Sit A B ad C F, ut I ad L. Ex maxima Α Β sumatur Λα aequalis Ι, & ex CF sumatur C R par minimae L. Erit igitur A B tota ad totam C F, ut ablata Λ Dd ablatam C R . Ergo reliqua ini est ad reliquam a RF, ut tota AB ad totam C F. Sed Λ B major est b est,quam C F. Ergo
170쪽
126 Elementorum Geometriae Ergo & major, quam RF. Jam vero quia Λ Q ipsi I, ct CR ipsi L aequales sunt , etiainta Λ usum L ipsi Icum CR aequales erunt. Quare, si ad Adium L addatur majus mi , & ad I cum C R addatur minus R F , erit totum Α- cum L majus toto I cum CR F . Riod erat de
Quae sequuntur non sunt propositiones Euclidis: sed ex Pappo Alexandrino, aliisque desumpta ob frequentem earum usum Euclidaei r
rationem habeat, quam tertia C in ad quartam F , habebit invertendo B secunda ad primam minorem rationem, quam F quarta ad C tertiam . Quoniam ponitur Α habere ad B majorem ratio em , quam C ad F. Igitur A ad O aliquam B X quae a major erit quam Bin eandem habebitrationem , quam C ad h. Invertendo igitur erit BX ad Λ , ut F ad C, ac proinde b Bad Λ ii minori ratione erit, quam F ad C.
Si A babet ad B majorem rationem, quam Cad F, etiam permutando A ad C majorem rationem habebit, quam B ad F. Quyni alio Λ HB ponitur major ratione C ad