장음표시 사용
171쪽
Liber cuintus. Pars I. I 27 F, erit o ratio Λ ad aliam B X quae necessaribo major est, quam a B aequalis rationi C ad F. Jam ne -ι- igitur b permutando Λ erit ad C, ut B X ad F. ἴ ' Sed B X ad F est in majori ratione, c quam B ad uera i 6. F. Ergo etiam A est ad C in majori , quam B l. s.
1dem similiter demonstrabitur de proportione 3 minori;
SΙ. ad BC majorem rationem babet , quam it. FI ad I L etiam componendo AC , ad BC majorem rationem babet, quam F Lad I L. Quoniam ponitur ΑΒ ad BC esse in majori Φratione , quam FI ad I L. Ergo o alia OB quae onecessarid erit minor , a quam A B inest ad B C , a vis . .aetit FI ad I L . Ergo b componendo OC est ad io. l. s. BC , ut FL ad I L . Ergo AC est ad BC in e b Por 18. majori, quam FLad ΙL. Idem similiter demoItrabitur de proportione
PROPOSITIO XXIX. SI AC ad BC majorem rationem habet, quam
F L ad IL , etiam di,idendo AB ad BC Fig. is. majorem balet rationem , quam FI ad I L. iuvia ponitur AC ad BC majorem habere rationem , quam FL ad I L. Ergo o alia OC quae q
necesimo minor erit, a quam A J erat ad D , a
ut FL ad IL.Jam igitur erit dividendo b O B ad ι , BC ,ut FI ad IL. Ergo AB est ad BC in majori, b Pὸr i . quam FI ad IL. l. s. Idem similiter demonRrabitur de proportione ς
172쪽
xr8 Elementorum Geometria iis PROPOSITIO XXX. SI A cad BC majorem rationem habet , quam
FL, ad I L convertendo habebit ad minorem, quam F L ad F I. . Quoniam A C est ad BC in majori, quam F La Per as.l. ad I L, erit dividendo a A B ad B C in m ori ,3- qu,m FI ad I L. Ergo invertendo b CB ad BAb Per 26-ι- minori, quam LI ad IF . Ergo componera
doc C Λ est ad B Λ in minori. quam LF ad I F.
ΡROPOSITIO XXXI. SI AB ad C majorem rationem baleat , quam
p ad L s C ad L si majorem rationem habeat, quam I ad S, s sic deinceps, etiam prima AB ad ultimam Ly majorem rationem haebit , quam prima F ad ultimam S. Quoniam ΑΒ est ad C in majori, quam F ad. Per a -- I Ergo alia o quaepiam OB quae necessarib -- a Per I o. nor a erit, quam A B ) est ad C, ut F ad I. Et quia i 3 C est ad Linn majori, quam I ad S. Ergo C ad aliam quampiam L R. quae erit necessario major , quam L Q)est,ut I ad S. Igitur ex aequo e o Best,. ad LR, ut Fad S. Ergo OB est ad L in ma-d Pers-ι.Djori, quam dFad S. Ergo ΛΒ est ad LQ. in e Per ea multo majori, quam F ad S.
173쪽
Liber ou intus. Pars L 129 PROPOSITIO XXXII.
SI AB ad C majorem rationem babet, quam I9.1 ad C ad L Q majorem, quam F MI, etiam ex aequo habebit majorem rationem AB ad La , quam F ad S. Demonstratio eadem, quae praeeedentis, sed
PROPOSITIO XXXIII. N iota ABὶ ad totam FI in maiorem rationem 1 I. hctupris, quam ablata CB ad illa tam LI ,
tota ad totam minorem rationem habebit , quam
reliqua AC ad reliquam F L. Qitia Λ B est ad FI in majori, quam C B ad
LI , erit a permutando etiam AB ad C B in majo- ,.ri, quam FI ad LI . Ergo convertendo b Λ Bb Per 3o.l. est ad AC in minori, quam FI ad FL. Ergo etiam s permutando e Λ B est in FI in minori quam
Sorationes A ad C, OEMO) sunt squalium Fig. zo. rationum A ad B, G E ad F) duplicats, aut triplicata , s sic deinceps , aequales sunt etiami sumia ratio Λ ad C duplicata est rationis A ad B,
174쪽
I3o Elementorum Geometria ut E ad F, sic F ad O. Cum ergo sit ut A ad B,sic per hyp. E ad Fidio ut Bad C, sic F ad O nam uti, ad C, sic A ad B, hoc est E ad F, hoc est F ad O, igitur b ex aequo erit ut Λ ad C, sic E ad O. SI rationes squales A ad C , O E ad O siue displicatae , aut triplicata , s sic deinceps rationum A ad B, E ad F, etiam , aequales
Si negas, sit ut Λ ad B, sic E ad aliam Z inaequalem ipsi F, dc fiat ut E ad L, sic Z ad X. Qii niam igitur rationum aequalium A ad B,& E ad Ti.duplicataec sunt rationes A ad C, dc E ad X, etiam ratio E ad X aequalis erit d rationi A ad C: hoc' est per hyp. rationi E ad O. Ergo e aequantur Ο,& X. Ergo patet etiam medias F, & Z aequales esse. Ergo A est ad B, ut E ad F, seu L. Quod
Ex contradictorio certionis directὸ illata est
175쪽
Euclidatis per multiplices definitio aequalium rationum demonstratur , exhibeturque , ac demonstrabitur aliud magis immediatum , O facilius indicium aequalitatis rasionum.
P portionum elementis metiari nisi fallor
commodiori explicatis , reliquum est , ut quod fecundo loco supra promiseram , prά- stare aggrediar. Hoc igitur loco squod a nullo hae tenus factum en , demonstrabimus , nihil assumendo , nisi quod per se tamine naturali sit manife- sum , duas rationes inter se aequales esse ', quando antecedentium quaelibet aeqvj multiplices consequentium aequὰ multiplicibus semper sunt 'stelpariter majores, vel pariter minores , Tel pariter aequales. Cujus quidem negotii cis satis ardua , atque prolixa sit demonstratis , ut jam roi a cognoscemus , facil) apparebit , praeposterΘegisse Euclidem , qui aequalitatis rationum primum, a fundamentale indicium fumi voluit ex hac multiplicium indemonstrata basienses proprietate , cujustam remota , obscura sit cum rationum aequalitate connexio. Lemma LSIt ad B, ut C ad F; π sint antecedentium quaelibet aequ) multiplices I, Qt nimirum vel duplae , vel tripta , T sic deinceps. Sint item consequentium B, F quaelibet aequὰ multiplices L,R. Erit quoque ut I ad L, sica ad I . Quoniam enim A est ad B ,ut C ad F,etia I dupla
176쪽
I3a Elementorum Geometriae, ipsius A ad B, ut lupla ipsius C est ad Frs I tria pla A erit ad B, ut se tripla C ad F . Et sic in in Drum. Quod quidem aequὸ en per se clarum , ac quodlibet axioma . Quoniam igitur Ioiad B, ut Q ad F, erit quoque I ad L duplam ipsius B, ut Q ad duplam ipsius Fut Iad L triplam ipsius B, ita Rad triplam Fuela sic in ionitum , quod rursus
tam clarum est, quam axioma quodcunque . Liquet ergo propositum.
Ie a. Q I quantitates A, B habeant eommunem mensi ram C, erat g totiessumpta, quoties en C in B , aequalis quantitati B toties sumptae , quoties Cen in Ponatur C contineri in B quater , I in Asexies .
ties C est in siciunt etiam 24 C. Ergo A totiex sumpta , quoties C in B, aequatur B toties sumptae , quoties C in A,
a 3. Q I ratio AB ad F Ι major sit ratione Lad M talis sumi possunt antecedentium AB ,σLὶ ι
que multiplices , tales item beνὰ multiplices consequentium sFΙ, R, ut multipla antecedentis AB rationis majoris excedente multiplam cons quentis FI , multiplex antecedentis L rationis mi noris non excedat multiplicem sui consequentis Sit ratio AB ad FI major ratione Lia ,ssent Bus L majores rationum termini. Quoniam igi
177쪽
tur AB ad FI majorem habet rationem, quam L ad; alia qicedam quantitas Z a babebit ad FI eandem rationem , quam L ad auia jam igitur ratio Σ ad F I aequalis est rationi poniturque ratio AB ad FI major ratione L ad K, erit quoque ratio AB ad F Ι major ratione Z ad F Lac proinde B major en, quam Z: quae omnia per se sunt manife-kla . Igitur ex AB sumi poterit AC par Z : eritque etiam AC ad FL ut L ad Auferatur residuum BC ex AC quoties poten, puta teri, tum seca AC in
tot aequales partes ex. gr. in o. donec earum una posest auferri saepius ex F Aquam BC ex AC puta quater, is re iduum esto OL quod erit minus una partiacula . Hoc quoque feri polse per se en manifestum ,σpatet ex p. I. L Io. quae a proportionibus non dependet. Particularum vero illarum quantitas esto Q. Quoniam igitur OH mensura eommunis quanιitatum AC FO, ergo AC toιiessumpta, quoties aestin F O, nempὸ quater , aequatur FO toties sumptae , quoties steli in AC, nempe sexier. Deinde quia residuum OI es minus una particula inoe est, quam merit OI toties accepta, quoties aest in AC, nem' sexies, adhuc minor, quam AC. Ulterius, quia B Cminus saepὸ auferri poteri ex AC, quama ex FI positum quippe fuit BC ex AC auferri tantum po se ter, Q vero quater ex FI manifestum est, B C toties sumptum , quoties din FI , nempe
quater, majus fore, quam AC, ac proinde mulio
majus esse, quam O I sumptum sexies, quod Rendi Iupra esse minus, quam AC . Atqui d-nensum est AC sumptum qualer , s F O sum pium sexies esse aequalia . Quare si AC sumpto
quater addatur BC quater, s ad FG sexiersumptum addatur OI sexies, erunt AC re 1 3 4 B c,
178쪽
4. BC , hoc est q. An maiora, quam 5. FO,s 6. OI, hoc est quam 5. FI. suta vero A. aequalia erant s. FO, erunt 23.AC minora 5. FI. Sed ut ad FI, ita ponebatur supra L esse ad AC. Ergo periem. I.etiam η. L minorasunt quam G. Acceptrsunt igitur aratecedentium AB, s L aeque multiplices , nempe quadruplae, item aeque multiplices consequentium FI, Ni , nempe fecuplae, o tamen osten-fum est multiplam antecedenetis AB nempo 2 ..ABὶ superare multiplicem consequentis FI nempe G. FI: in multiplicem voro antecedentis L nempe qαὶ non excedere multiplicem consequentis ne d 6. Quod eras demonstrandum .
nores , Ῥel simul aequales , ratio ad B) rationi ad F aequalis erit. Si negas , sit ratio A ad B major ratione C ad F. Ergo per theor. praec. poterunt antecedentium A , C fumi tales aequὸ multiplices , item tales consequentium B, ter F aeque multiplices, ut multipla antecedentis A excedente multiplam consequentis B, multipla antecedentis C non excedat multiplam confe-quentis F, quod est absurdum, quia e nil opothesim . Ergo sc.
In hac demonstratione , uti er in sequentibus solum propossitiones ex quinto libro adbibentur , quae per se sque sunt manifestae , atque ipsa axiomata.
179쪽
Si fumi possint antecedentium so, Res tales ae- Fig. aque multiplices, itemqae tales aeque multiplices consequentium si , S, ut multipla antecedentis unius so) superante multiplam consequentis O, multipla antecedentis alterius non excedat multiplam fui consequentis S crit ratio so ad P), cujus antecedentis multiplex superat multiplicen consequentis , major ratione altera F ad S . Rationes illas inaequales esse sic octendo . Si essent squales, quscumque antecedentium eque multiplices ut patet a fortiori ex lemmate primo) quibuscunque aequὰ multiplicibus consequentium, 'vel simul majores essent, vel simul minores, quod est absi r-dum , quia eo ertit hypothesim . Quod autem ratio O ad ZMajor sit, cujus antecedentis mutiplex superat, sic ostendo. Si negas, sit ratio F ad S major ratione Oad R. Ergo per theor. I. tales accipi possunt antecedentium O rquὸ multiplices , talesque item aequo multiplices consequentium S, T Q ut multipla antecedentis R. rationis ma)0ris excente multiplam consequentis S multi pia antecedentis O non excedas multiplam consequentis non autem tales , quod facila ex I. lem. Hlend. in ut multipla O excedente multiplam multipla R non excedat multiplam S. Quod est absurdum, cum eῬertat bypothesim . Τheorema q-
180쪽
r 36 Elementorum Geometriae qualis esse potest. Quare, cum per multiplices inquiritur proportionum irrationalium aequalitas , fotummodo multiplicium simultaneus excessus, defecitU-que spectari debent. Sit proportio irrationalis A ad B. Si A aliquoties sumpta posset feri aequalis B aliquoties sumpta ,
ac proinde eandem ambae ocere quantitatem Z,si gulae A, Nn essent eidem a commensurabiles, ac proinde'commensurabiles inter se , contra bstpote- sim asula tamen secundum tbeorema tam ad rarionalis proportiones pertinet , quam ad irrationales , simultaneo excessui, 2 defetiui aequalitatem simultaneam addidimus cum Euclide. Demonstratis hunc in modum, quae ab Euci idedes. 3.&ε. ponuntur, jam omnes ejus quinti,&sexti libri demonstrationes subsistunt, patetque, multiplicium illum excessum, defectumque simultaneum infallibile indicium esse aequalitatis rati num , non quidem per se immediate; sed d monstratione , quam modo dedimus, prius xito intellecta. Verum, quia indicitim per multiplices quantumvis jam securum, nihilominus remotum est,& implexum, hic aliud clarissimum, & proximum, quod promisi supra, demonstrabo. Neorema
SI consequentes CF, erconsequentium quaelibet aliquotae similes sputa oz decimae, lycentesimae, millesimae,.isa deinceps sine termino in antecedentibus AB, GM aequalisemper
numero contineantur , rationes ad CF , o GD ad aequales erunt.