장음표시 사용
181쪽
auferantur quoties posunt, aequalis en utrimque nu
Demonstr. Si negas, erit ratio alterutra, puta ad C F, major ratione G Mad P Q. Quoniam igitur AB ponitur ad CF majorem babere rasionem, quam G M ad N , manifestum est, aliquam puta ' minorem, quam sequalem habere rationem MC F, quam G Mad Manifestum similiter est , aliquam ipsius B F aliquotam sex. gr. unam trigesimam in esse minorem disserentia DB . Sit CE una trigesima ipsius Crima eratur ex AB quoties potest ex. gr. millies, totumque ablatum sit A O. Quoniam igitur Ao est i o CE, S C F est 3OC E , erit AO ad c F, vi Iooo. ad 3 o. Si matur jam ex P I aliquota similis alteri CE , nempe etiam una trigesima . Quoniam ex bp. C E, NP aequali numero in AB, G M continentur , T CE ablata ex AB quoties potuit, ablata fuit mi lies, etiam 2 P ex G M auferri poterit milIies. Quia ergo totum ablatum GK est iooot P , cI Qest po P, erit GK ad P . vi Iooo. ad 3 o. hoc eis ut AO ad c F. cuia vero C E Gata ex AB quoties potuit, reliquit OB, erit OB minus , quam C E. Sed CE, nempe una trigesima CF, es m nor posita quam D B. Ergo OBen multo minor,quam DB. Ergo AO est major,quam AD. Ergo AO ad CF majorem rationem habet, quam AD ad CF. Sed ponebatur esse AD ad CF, ut G Mad ad CF majorem rationem habet, quam G Mad T Q; hoc est multo majorem,quam GK ad N EQuod est absurdum,quia ostendisupra AO esse ad C F,ut G K ad 2 o on possunt igitur rationes datae AB ad C F, o G Mad N e inaequales . AEquales uiatur sunt. Quod eras aemon, Dandum.
182쪽
FG. 26. I aut consequentes C F, aut consequentium aliquae similes aliquota sexe .gr. de-eims ingquali numero in Ontecedentibus AB. , GM) confineantur, rationes AB ad CF, T G M ad ta inaequales erunt, er erit illa major , cujus consequentis aliqma Dpius continetur. Contineatur C E decima una ipsius C F in An millies , o sit - 1 ooo CE ; tum vero residuum O B erit minus, quam una C E . Deinde PQ una decima contineatur in G M tantum nongentes nonagies septies , a sit GKisyr CP;patet residuum K Μ fore minus una ' P, . ac proinde Iooo fore majores , quam G M. Sit ergo GR Iooo P. Quoniam igitur Ao est 1ooo CE, NI Oood F ; CF vero Io C E, π Io , erit AO ad CF,ut GRad Ergo AB est ad C F jn majori ratione , quam GK ad Ni proinde in multo majori , quam G M ad QMd erat demonstrandum. Habemus jam igitur indubitatum , facillimu-que indicium , ex quo rationes aequales , inaequalesque certo liceat discernere . Et possemus ex illo omnes, quae quidem axiomata non sint, lib. s. propositiones, quas per multiplices Euclides demonstrat, multo expeditius demonstrare , nisi magis ex iisti discentium putaremus, illas ea
methodo , qua in prima parte usi jam sumus ,
183쪽
De proportionum denominatoribus , 'algorytbmo , compositione.
Proportionis Divisio. divisio est in rationalem, oe irrationalem , ut dictum def. q. utraque dividitur in rationem aequesitatis , er inaequalitatis . Ratio ins qualitatis dividitur in rationem majoris inaequalitatis , quae babet antecedens majus consequente , o in rationem minoris inaequalitatis , quae habet antecedens minus consequente. Rationesis proportio inaequalitatis majoris di-Ῥiditur in quinque species , quae sunt; multiplex , superparticularis , superpatiens , multiplex superparticularis , multiplex superpatiens. Ratio multiplex est; quando maior minorem aliquoties continet, ut bis , ter , quater, erc. dicitum quae ratio dupla , tripla , quadrupla. ruitio superparticularis est, quando major mianorem continet semel, π unam ejus partem aliquotam: ut ratio ada , vel 5 ad quae dicitur sesquialtera, quia major minorem continet semel , ct ejus dimidium; ratio q ad 3,sive Ioad Ia, quae dicitur sesquitertia , quia major minorem continet semel , O tertiam ejus partem , S sic deincepS . Ratio superpatiens est, clim major minore contia
184쪽
I o Elementorum Geometriaenet semel plures ejus aliquotas non confi-eientes unam Hiquotam . Τalis en rario 8 ad s. vel Id ad io, quia 8 continet 3 semel , s insuper 3. hoc est tres quintas ejusdem numeri s. quae tamen simul sumptae non con iciunt unam aliquotami vis s. Similiter rq continet Iosemel , cy' bis a. hoc est duas quintas numeri 1o, quae tamen simul sumptae nemp) η non conficiunt unam aliquotam ipsius Io. Additur porro , non conficientes unam aliquotam , quia alias esset ratio superparticularis.
statio multiplex superparticularis est, cum mu-jor minorem aliquoties continet , T ivsuper unam ejus aliquotam, ut ratio I. ad a. Io ad 6. ac. io multiplex superpatiens est , cstm major minorem aliquoties continet, s adhuc plures ejus aliquotas non conficientes unam aliquotam , Πιr fio 8 ad 16. ad 6 cyc.
De Denominatore Proportionis rationalis.
DEnominator proportionis rasionalis est, quidistinctὰ , clarὸ exprimit habitudinem tinius numeri ad alterum ; sive qui ita se habet
ad unitatem , ut majus ad minorem , ac proinde ostendit, quoties major minorem contineat, CIquoties minor contineatur a majore. Restionis 27 ad 9 denominator est 3. quia ita est ad unitatem, tit a ad 9. ac proinde ostendit quoties consequens in amtecedente continetur, nempὸ ier .c uo
185쪽
Liber cuintus . Tars II. I Icuiuscumque rationis denominator invenitur , si major terminus dividatur per minorem , nam quotiens divisionis erit denominator . Ratio est , quia quotiens ita eρ ad unitatem , ut dividendus D dioi forem , hoe est ut ma)or ad majorem. Exempl. detur ratio 6o. ad G. Diviae 6o per s. quotiens Io es denomina tor. Detur rursum rario 6o ad 16. diviso 6o. per I 6. D quotiens a L , bis est denominator,
De Denominatoribus 'Proportionum o irrationalium. Um rationes irrationales fuerint reductae ad rationes commune consequens habentes,communis consequentis antecedentia erunt rationum M denominatores, er commune consequens munus 3 ae locum explet unitatis.
Troportionis nullius irrationalis, si sola sit , exbiberi potest denominator . At si duae fuerint,
vel plures proportiones irrationales , alio quodam sensu earum denominatores poterunt exhiberi, qui nimirum ostendant, quomodo una ratio ad alteram
se baleat. Id quod egregia observas it P. Gregorius a S. Vincentio operis fui Geometrici I. 8.def. a. Qui ii vir cum praeclarissimis, s prope innumeris inUcn iis Geometriam auxit, tum inprimis L 8.ejusdem ' operis de proportionalitatibus ita scripsit, ut noUams' de proportionalitatibus scientiam coiaidisse censeri merito debeat. Datae sint rationes irrationales sera, i D, OC ad D, quae revocentur ad rationes F H, GHs habentes commune consequens H sic, ut ratio F adigi H set par rationi A ad B, ratio C ad D parrationi G ad II; eommune consequens H munus
186쪽
I et Elementorum Geometriae explebit unitatis, es antecedentia F, G erunt denominatores rationum F ad H, er G aa H hoc eri rationum A ad B, o C ad D, quia ostendunt quomodo una ratio sese habeas ad alteram ι scuti enim Fest ad G, ita ratio F H est ad rationem G H, hoc estrasto ad rationem C D .i V.
portionem habent, quam antecedentia F, G. esprop. a. P. Gregorii a S. Vinc. l. 8. quadr. Hoc est, ratio G ad II tanto major est ratione F ad H, quanto G major est quam F. Ax. a. Reationes Iad L, T I ad M) commune habentes antecedens reciprocam inter fi babent co sequentium proportionem Est propos. 7. P. rogorii a S. Vinc. l. 8. quadr. Hoc est, ratio I ad Len ad rationem Iad M , ut reciprocὸ en D cons Mens ad confessi ens L. : si eratio Iad L tanto major est ratione ej sdem I ad M, quanto L fuerit minor, quam ac proinde quanto M fuerit major ,quam L.
Ax. 3. Reationes rationales eam inter se rurionem habent, quam denominatores. Patet ex axiom. I. Dentur ratio I a. ad 3. ess ratio I 3. ad 6. quarum denominatoressunt l. s a Ex don. a denom.
ratio I a. ad 3. est eadem cum ratione q. ad I. rratio ad 6. est eadem cum ratione a. Z ad I. Sed ratio a. ad I. est ad rationem a I ad I. ut b . .es
187쪽
ad 2 L . Ergo etiam ratio I a. ad 3. est ad rati
A Dditio permitμr, se ruitionum denominatores
addantur. Ratio enim, quam habet denomia natorum summa ad unitatem, es rationum datarum summa quaesita. Dentur ratio I 2. ad I s. ad s. earum dens- 3'minatores q. er a L additi sibi mutuo faciunt 6 .
Astis 5 L ad I est par rationi 12. ad ratiori
1 F. ad 6. Talet ex axis. I. er 3. Subtractio M allatione minoris denomina toris a majore, nam ratio residui au unitatem, en ratio, quae remanet pori minorem rationem a majori detra ctam . Patet ex arism. I. σῆ. Dentur rationes Ia. ad I s. ad 6. Harum denominaetores sunt.ο ad Aufer minorem a Lamajori'. remanent 3 L ratio A ad I. est ea, qua
remanet , ubi rationem I s. ad 6.seu 2 L ad i. d
traxeris ex ratioue I a. ad 3. seu ad 1. VI. Ragionum irrasionalium Additis, Subtractio. R Iiones data ad B, TC ad D in reducan--, tur ad rationes F ad H,σGad H) babenteF commune consequens H. Antecedentia F,
188쪽
I- Elementorum Geometriae G sibi addita sunt F G. Ratio F G ad Hest summa rationum F ad H, ad II , hoc en rationum A ad B, er C ad D. Patet ex axiom. I. Subtractio perscitur , se rationes data ad commu
ne consequens reducantur, ac tum minus antecedens
G auferatur a majori F ; ratio enim residui ad II essea, quae remanet , post uam rationem Gad H, seu Cad D subtraxeris a ratione F ad H, seu Aad B. Pa
pisionum rationalium multiplicatio , τ .divisio. 3 Enominasores rationum per invicem multipli- a cuti dabunt denominatorem rasionis , qua ex datarum rationum multiplicatione producitur. Hoc est, ratio, quam ad unitatem habet numerus ex denominatorum multiplicatione productus, est ea, quaest ex rationum multiplicatione . Patet ex ax. I. σ 3. Nam multiplicatio rationum est unius ad alteram additio si spius repetita. Hanc autem perfici repetita saepius antecedentium additisne hoc est multiplicatione in , patet ex jam citatis ax. I. ο ῖ. Sint data rationes 9. ad 2o. ad A. denomina orer 3.s s. multiplicati faciunt Is. Rasio IS. ad I. est ea, quae ex multiplicatione rationum 9. ad 3- seu 3. ad 2o. M.q. seu F. ad I.ὶ ' ducitur . Divisio rationum perficitur, si denominaetor maj ris dividatur per denominatorem minoris. TVam ratio quotientis ad unitatem est ea , qus habetur ex divisone rationis data majoris per rationem minorem . Facet ex I. N 3. axioma te. Cum rationis perraiionem diviso sit subtractio unius ah altera saepius
189쪽
v LII. Multiplicanio rationum imasionesium
sint rationes A ad B, Fc ad D per im Fig. 33. vicem multiplicandae . Fiat ut A ad B, ita Dad E. Rario C ad Eest ea, quae producitur ex multia plicatione rationum A ad B, T C ad D. Haee operatio est Gregorii a S. Vincentio L 8. prop. 73.Sed eam nec ine,nec alius quisquam demonstras. Hunc igitur in modum demonHruitur . Ratio cad E producitur ex multiplicatione rationum C ad D, s D ad si, ut pagebit ex demonstratione numeri XII. ab his independente. Sed rationes C ad D, o D ad E per consi sunt rationes C ad D, T A ad B. Ergo ratio C ad E est ea, quae Iit ex multiplicationerationum A ad Bo C ad D.Quod erat demonstrandum . IX.
Divisio rationum irrationesium. D ta sit ratio C ad E di videnda per rationem 33 A ad B. Fiat ut A ad B, sic Cia D. -io Dau E est quotiens. Nam ratio C ad D hoc est per const. ratio A ad n multiplicasaper γ ationem D ad E producit rasionem C ad E, ut patebit ex demonstratione num. XII. ab his independente. Ergo ratio Dad E di quotiens, cum multiplicata in divisorem , qui et ratio A ad Π, rctituat rationem c ad E, qua proponebatur dia,idenda . De
190쪽
De composivione rationum, ejus Definitio . Risio ex ratio nibus componi dicitur, cum rationum quantitates hoc est denominatores inter se multiplicatae aliquam secerint rasionem . Est de itio s. l. 6. Euclidis . Dentur rasiones quotcumque, quarnm denominatores sint a. I. I L . Multiplica denominatorem a. per 3 denom. D 6 denominastor rationis composita ex rationibus, quarum denominagores sunt multiplicati . Hoc est, ratis 5 ad i est composita ex rationibus 6 ad 11 ad η. Quod se denominatorem 6 multiplices per denominatorem tertium I ,s 7 a denominator rationis compositrex tribus datis rationibus, quarum denominatores sunt 2, 3, I L . XI. Compositio rationum non aliud est , quam rationum multiplicatio tyratio omnis ex iisdem rationibus componitur, ex quarum multiplicatione producitur. N. , lit patet ex axiomatis num. .s' ex num. i. ratio, quae ex plurium rationum multiplicatione producitur, ea est, quam quantitas ex denominatorum multiplicatione producta habet ad unitatem , seu consequens commune . Atqui etiam per demit. Euclid. rario , quae ex pluribus rationibus componitur , ea est , quam quantitas ex