장음표시 사용
191쪽
denominatorum multiplicatione producta habet ad nnitatem , seu consequens commune . Ergo ratio ex iisdem componitur, ex quarum multiplicatione producitur. Τ numeri sequentis demonstratio clarius perincipiatur , obser andum eii multiplicari , ac dividi magnitudines per invicem cum analogia quadam ad numeros . Quemadmodum iPtur numerus per numerum multiplicari dicitur , cum ut est unitas ad alterutrum , ita reliquus si ad alium quempiam , qui productum dicitur , ita plard magnitudo per magnitudinem dicetur multiplicari , cum ut quapiam recta pro unitate assumpta se habet ad alterutram datarum , ita reliquaset ad aliquam quartam , quae produeti vocabitur. Pari modo quemadmodum numerus per numerum dividi dicitur u quando ut unus en ad alterum, ita unitas si ad alterum , qui quotiens nominatur tata quoque magni ludo per magnitudinem dicetur di vidi , quando a sesampta quantitate aliqua pro unitate, ut una se habet ad alteram, ita unitas ad aliam,quae proinde dicetur
Si fuerint quaecunque , O quotcunque quantitates s seu magnitudines , seu numeri , ratio primae ad ultimam componitur ex rationibus mediarum . numeris demonmatum en a Theone, Eutocio, T Vitellione. Qui in magnitudinibus demo iraret , nemo bactenus inventus est. Unde Gregorius a S. Vincentio magnus Geometra l. ad principium
192쪽
fecundum censit inter principia numerandum esse , donec alicui demonstratio occurrerit, qua intor theoremata referri posit. Universalem igiturbu)Us rei demonstrationem dare conabimur hunc in modi m. Demoni: ratur in magnitudinibus . . Atae sint magnitudines quaecunqMe , er quot-IO cunque A, B, C, D. Ostendendum est,rationem A ad D co poni ex rationibus A ad B, B ad C, Cad D . Fiat ut B ad C, ita X ad B. Eruntque rationes ad B, B ad C riductae ad rationes A ad B, X ad Bhabentes commune consequens B, ac proinde rationum denominatores sunt Ab X, cI consequens com- mune B a munus explit unitatis , quae di commune consequens respectu omnium denominatorum numericorum.
Itaque, si velimus magnitudines A, X per invi b Seho cem multiplicare , oportebit b facere ut B unitas est prας, ad Gita A ad quartam Z, quae erit productum mul
pias invicem multiplicare ni meros FUS, sit ut unitas ad unum numerum S, ita alter Rad quartum V, qui eH productis multiplicationis .cuoniam igitur quai. titas Z cst productum ex e Per des multiplicatιone cenominatorum A, X, erit ratio cbu)κs producti Z ad B unitatem, seu commune consequens ea, quae producitur ex multiplicatione rationum A ad B, X ad B; prorsus ut in rationum nume ricarum multiplicatione numero VU ostendimusze-
ηι re in qua denominatores inter se multiplicentur, ratio producit ad unitatem ea est,quasi ex rationum
193쪽
Atqlii per constr. ratio X ad Ben ratio B ad C, Ergoi etiam ratio Z ad B producitur ex multiplicationei ratiouum Aad B, B ad C. Quia vero per constr. ut Ben ud X, ita Aen ad Z, etiam inversim Z ad A, ut X ad B, hoc est per conser. ut Bad C. Igitur permutando ut Z est ad B, ita Men ad c . Sed jam osten- sumbrationem Z ad B produci ex multiplicatione rationum A ad B,B ad C. Ergo etiam ratio A ad C pro-l ducitur ex multiplicatione rationum A ad B, NE ad C. qui num. XI. ostensum est,rationes componi ex iisdem raetionibus, ex quarum multiplicatione, prodacuntur . Ergo ratio A ad C componitur ex r ιionibus A ad B, ω' Bad C. Eodem modo demon, trabitur ratio ad D componi ex rationibus A ad C ad D. Ergo ratio Aad D componitur ex rationibus A ad B,-B ad C, C ad D. Et sile deinceps in infinitum . Quod eraph GmonDirandum. Demon iratur in numeris.
tionem valere in numeris, jam ostendam , unde etiam ve
l ritas illius, ae soliditas magis gliabilietur. η- Dati sint tres numeri quicum- 3que exem. gr. 8. q. 3. Fiat ut 4 ad 8, ita I ad a,er ut 4 adi sic I ad Erunt igitur rationes 8 ad η, s et ad 1, stem rationes 4 ad 3,N I ad 1 inter se aequales;eritque ex aequo a etiam'aa. ratiis 8 ad 3 aequalis rationi et ad L.
194쪽
IIo Elementorum Geometriae Fint deinde ut L ad 1, ita I ad 1 ἰ τ
eruntque rationes 3 ad 1, ct 1 ad . 8 a p boc est rationes 8 adho ad 3 re- 4 Iductae ad duas rationes a ad I, 6 ff. , L
ad i habentes commune conseqΠens unitatem; ac proinde a, O ' erunt b rationum 8- , T ad 3 denominatorcs. Multiplicentur )am per in-Cicem denomina tores Aboc Hisat ut 1 ad L,itast ad L. Erunt L productum ex 2,s ' denominato-
ribus rationu 8 ad η, sa ada inter se multiplicatis. Ergo ratio hujus produm I. ad I 6ι ea,c quae producitur ex multiplicatione rationum 8-q, s T qad 3 Iam Vero,quia per copr. ut ies ad L, ita a est ad Laerit etiam inUersim L ad a, ut 1 ad I. Sed rursum per c4ir. l. sunt ad 1,ut i ad L . Ergo Asunt ad a, ut 1 ad L .Ergo permutando A. sunt ad I, ista ad L .
Sed iam ostendi rationem 1 ad Iesse eam, qua producitur ex multiplicatione rationum 8 ad . ,er qad Ergo etiam ratio a ad L est ea, quae producitur ex multiplicatione rationum 8 ad .g, 4 ad Sedo-flcnsum est supra rationem a ad L parem esse rationi is ad Ergo etiam ratio 8 ad 3 producitur ex multiplicatione ratronum Sad ad 3. Igitur pern Am. XI. ratio S ad 3 ex rationibus 8 ad Α, Γ qad 3 composita est. v. e. d. Eodem modo demonstrabitur , siplu-Τ res dentur numeri quam tres , rationem S ad 23 componi ex rationibus 8 ad tria
195쪽
Liber si' intus . Pars III. III hoc iam est ex rationibus 8 ad η ad σα ratione 3 ad rasionem S ad 73 componi ex rationibus 8 ad as hoc jamen ex rasionibus 8ad η, ad 3,3 ad as) bratione Cad a. cs sic istonitum.
Si dentur quotcumque rationes A ad B, C ad TU. D, E ad F, exhibebitur ratio ex omnibus composita.
SI fas ut A ad B, ita quaepiam Gad H, Nut C ad
D, ita H ad I, is ut F ad F, ita I ad K. ratio enim G ad K erit composita ex rationibus G ad H, H ιd I, 1 ad K, vinum. praeced. demonstrat imus, hoc est per constr. ex rationibus datis A ad B, C ad D, E ad F. XIV. Rotio non est aequalis rationibus, ex quibus
It ter duas quantitates G, Kalia quantitates in-- Fla: 36. terponantur , flve illae sint continue proportionales , sive non : ratio prims G ad ultimam K non es aequaus rationibus intermediis Gad H, H ad AI ad K, licet ex iis sit composita . Putam ex iis componi idem est, quod produci ex earum multiplicatione mutua , ut ostensum est num. XI. Cum igitur ratio G ad K sit producta ex rationibus G ad H, H ad Ι, I ad K inter se multiplicatis, ut ex demonstrassionerum XII. patet, non possunt rationes Gad H, H ad J, I ad K simul Iumptae aequales esse rationi G adnisi cum per accidens rationum additio , k multi-
196쪽
I32 Elementorum Geometriae multiplicatio eandem ejecerint rationem . Ut igntur rationibus dictis habeatur una aequalis , erunt illae sibi mutuo addendae , ut traditur num. Vs VI, ex qua additione proveniet ratio illis omnibus aequalis , quae βιὸ semper, ut dixi , erit diversa ab illa, quae ex earundi m rationum compositione , hoc est multiplicatione exsurget.