장음표시 사용
201쪽
R sportioni doctrina libro flinto universim exposita in sexto figuris planis applicatur . Et sunt, quae hoc libro traduntur , adea scitu necessaria, ut sine illis arcana Geometria, penetrare , frudi pse f/aves Matbes os percipere nemo possit. Ad propositiones propὸ singulas
oporteret encomtum texere , tanta omnium utilitas est.
x Imiles figurae sunt, quae & singulos angulos singulis aequales habent,& latera,quς aequalibus angulis opponuntur, vel quae inter aequales angulos existunt, vel quae sunt circa aequales angulos eodem omnia recidunt proportionalia. 'Ut: triangula X,Z dicentur similia , si anguilui sit aequalis angulo F,Vangulus B angulo Langulus C angulo L: atque insuper si AB sit ad FI, ut BC ad 1L;WBC ad IL, ut CA ad LRCA ad LF, ut AB ad FG com parando semper Iatera aequalibus angulis oppo ita . Eodem modo Hiaru gurarum rediilinearum omnium similia
iudo explicabitur. a Reciprocae figurae sunt,cu in utraque ante g. 2s.
202쪽
cedentes , dc conseqtientes rationum termini fuerint.
Ut in parallelogrammis Xa Zx . , si sit ad c B, et ι FC ad CL antecedentia sunt FC, quorum in utraque Hura unum esι; cI consequentiasunt CB, s CL, quorum similiter in quaquemura Mnum eji: p rallelogramma proinde X, Z reciproca dicuntur. Idem de aliis Iguris intellige. 3'Altitudo ligurae est perpendicularis ve lice ad basim deducta. Est Euclidis 4. Ut.Τrianguli A B C altitudo di perpendicularis
AD A vertice cadens in basim B C vel intra triangulum , vel extra in basim parariam. Bagis a rem,s vertex assumuntur ad libitum. Similes arcus circulorum dicuntur, qui eadem habes ad totas tuas circitiarentias rationem. Ut,si ambo sint j uae circumferentiae pars tertia, Vel quarta aes c.
AOPC, Da Fὶ, quae eande habet estitudinem,si ve inter e Ude existunt parallelas es t n ter se proportionem habent,quam bases AC,DF.
Ab hoc theoremate dependet totus sextus liber, imo quidquid uspiam de figuris sive planis , sive solidis per proportiones demonstratum est. Demonstrat illam Euclides per multiplices,quae in primo statim aditu hujus libri ty-xones perturbant. Aliam igitur demonstrati
203쪽
nem dabimus facillimam ex theor. s. partis cundae lib. ue . hunc in modum. Sumatur baseos DF quaevis pars aliquota , ex. gr.DG una tertia,& ducatur recta GE, erit etiatriano ulum DEG tertia pars trianguli DEF , ut colligitur ex 3 8. l. r. Quare recta DG, & triam oulum DGE sunt consequentium a similes alis α- quotae. Auferatur deinde DG ex basi AC qu ties potest,puta sexies,ducanturque rectae HB,
quales 1 unt singuis ipsi DG,etiam sex triangula CBH,HBI&c. triangulo DEG aequalia berunt Per 33. singula. Ergo quoties DG continetur in antecedente AC, toties trianoulum DEG contin tur in antecedente ABC. Eodem discursu ostendam,quascunque consequentium baseos DF,&trianguli DEF)similes aliquotas in antecedentibus basi AC,& triangulo ABC aequali numero contineri. Ergo per theor. s. partis secundae lib. ue ut basis AC ad basim DF, ita triangulum ABC ad triangulum DEF. Quod erat demo
Quoniam verb parallelogramma AP, DR e Per i. sunt dupla c triangulorum ABC, DEF, etiam, i. illa erunt inter se,ut bases. Corollarium.
TRiangula ABC,FIL ,& parallelogramma
aequales bases AC, FL), vel eandem habentia, eam inter se rationem habent, quam est,tudines BO,IQ. Fiant enim . OR aequales aequalibus basibus FL, AC. Erunt igitur etiam QS, OR inter se aequales. Duc SI, RB. Si in triangulis OBR,
204쪽
QISaecipiantur BO, I tanquam bases, erunt iOR, QS eorum altitudines,quae clim sint aequa- les erunt triangula OBR, P inter se,ut a bases BO,I Sed quia ex constr. ΟR par est AC,&-Pφη 3 par FL, triangula OBR, aequantur btriangulis ABC, FI L. Ergo etiam triangula
ΛBC,FIL sunt inter se,ut BO ad QI. PROPOSITIO II: . I unum trianguli latus BC ducta fueru FL parallela 'aec secabit porportionaliter latera bocet in erit ad FB,ut ad LC. Et si recta secuerit latera C A proportionesiter, erit ad reliquum latus BC ) parallela. Pars I. Ducantur BL, CF. Quoniam FI p i, nitur parallela BC, erunt triangula FBL,LCFj SI eandem basim FL habentia inter a se aequalia ἐν.ἡj. I. Ergo triangultim X ad utrumque eandem bli bet rationem, hoc est triangul. X est ad triang. .vἡνιγρὰ xyiRRgul idem X est ad triang. LCF. Sed sἡἡhaj. triangulum X est ad triang. FBL, ute AF ad FR. νὰγ ii. & triangulum X est ad triang. LCF, ut d AL ad i. s. LC. Ergoo etiam AF est ad EB, ut AL ad LC. Quod erat demonstrandum. ePerprre. Pars a. Ut AF est ad FB, ita triangulum Xe
est ad triangulum FBL, & ut AL est ad LC, ita I*ςrς -- striangulum X est ad triang. LCF. Sed jam p nitur AF ad FB, ut A L est ad LC. Ergo triang. K Perii, X est ad triang. FBL, ut idem X est ad LCF. t ἡ,. i. ExgQ g xxi ngula FBL,LCF eandem habentia basim aequantur. Ergo FL,BCi sunt parallelae. ii Per 3 9.l. Quod erat demonstrandum.
205쪽
Corollarium. SI ad unum trianguli latus BC ductae sum s rint plures parallelae Io, FL), erunt omnia laterum segmenta proportionalia. Ducatur FQIarallela AC. Rectae FS, aequantur o LO, OC. Sed BIest ad IF, ut bQS O ParadSF. Ergo etiam BI est ad IF, ut Coad OL. ,
PROPOSITIO III. SI recta BF angulum trianguli bifariam I
cans etiam feceι bas , habebunt bases segmenta AF, FC eandem proportionem, quam reliqua latera AB, CB. Ei se baseos partes s AF FC) eandem rati nem habuerint, quam reliqua latera ), recta BFὶ basim secans anguilum oppositum
Pars I. Produc CB, donec BL sit par BA, dc junge ΑL. Qvqniam in triangulo Z latera LB, ,. AB aequantur, anguli a quoque L, ct O aequaleS I. i. erunt. Quia igitur externus ABC duobusbin- b Per 3 a. ternis L,Ο aequalis est; angulus I, qui per hyp. y ipsus A BC dimidius est aequabitur angulo e Per 29. L. Ergo AL,pB 1lint e parallelae. Ergo in trian- ι. I. gulo ACL,AF est ad FC, i ut LB hoc est AB ad BC. Quod erat demonstrandum Pars a. Produc iterum C B , donee L B sit par Λ B. Qeoniam ponitur ut Λ F est ad F C, ita AB hoe est L Bὶ esse ad B C, erunt e Per 2. l. Α L, F B e parallelae . Ergo externus I est 6.
206쪽
18 Elementorum Geometria alterno O. Sed quia LB, AB aequales sunt,anguli L ,& o sunt aequales. Ergo etiam I,& Q aequa- les sunt, bisechus ergo est ABC. Quod erat demonstrandum.
lia i hoc est, o etiam Iatera aequalibus angulis opposita babent proportionalia. ΙN triangulis X,Z angulus A sit par angulo F,& angulus C angulo L,& angulus B angulo I. Dico AB esse ad FI,ut AC ad FL; & AC esse ad FL, ut CB ad LI; & CB esse ad LI,ut ΒΑ ad IF.
Dem. Si angulus F ponatur sv pra sibi aequalem Α, latera FI, FL cadent supra latera AB, AC. Et quia s angulus externus ΛIL per hyp th. par est interno B, erunt a IL, BC parallelae. Ergo b BI est ad ΙΑ, ut CL ad LA. Ergo cc op nendo ΒΑ est ad IF,ut CA ad I F.Qi'd si angulus L imponatur angulo C,eodem modo ostendam, AC esse ad FL,ut BC ad IL: & si angulus I, imponatur angulo B, ostendetur pari modo, BC esse ad IL,ut AB ad FI. Liquet ergo propositum. corollaria. . I OI in triangulo ducatur uni lateri BC) p O rallela LI , erit triangulum I FI simile toti CFB,ac proinde CF est ad LF,ut BC ad LI. Nam quia LI, BC parallelae sunt, eruntqCX terni FIL, FLI pares internis B,& C; F vero utrique triangulo est communis . Ergo sunt Mquiangula. Ergo latera CF,LF opposita aequa-
207쪽
Liber Sextus. 179li libus angulis B,& FIL s uni r proportionalia , . lateribus BC, LI, quae opponuntur communi angulo F. a Si in triangulo parallelas AC, Lo secet recta BF ab angulo opposito B ducta secabit eas' proportionaliter. Nam per coroll. r. AF est ad LI, ut FB ad I B; &FC quoque est ad Io, ut FB ad ΙB. Ergo AF d Per tr. i. est ad LI,ut d FC ad Io. Igitur permutando AFest ad F eut LI ad Io. θ
Iduo triangula habuerint omnia latera sibi mutuo proportionalia, etiam sibi mutuo aequi
, i AB ad RF; dico angulos antecedentibus opposi- γ tOS aequari angulis, qui opponuntur consequen-
, tibus. Nimirum C ipsi I,Bipsi F, Λ ipsi o.
s Angulis A,& C fac sequales X,& Z,& latera co-i eant in N. Etiam igitur B, & N aequales b Pὸν e. I erunt. Quia er o triangula P, T sunt aequi roll. s. p . angula, erit o AB ad RN, ut AC ad RQ. Iz i. i. . Sed ex hyp. etiam est AB ad RF, sicut AC ad qit RQ Ergo AB est ad RF, ut eadem AB ad RN., Ergo RN, RF c aequantur . Pari modo ostem
208쪽
16o Elementorum Geometriaedam sequari ,& QE . Triangula igitur T,S sibi mutuo sunt aequiustera. Igitur angulid Pers- ι Ο aequantur d angulis L, N, X, hoc es: per ' constr. angulis C, B, A . QEd erat demo
FD. io. Ι duo triangulas P s babeant unum angulum
ECF ,- , quae aequales angulos continent, pro portionalia, triangula erunt milia. Angulis A, C fiant aequales X, Z, dc laterae Per cor coeant in N. igitur anguli quoque e B,&Nς- ο θοῦ ι quales erunt. Ostendam, ut in praecedenti, aequales esse R F, R N. Esto vero Rinitrisque triangulis S, T communis. Anguli quoque o, dc X aequales sunt, quia aequantur ambo eidem A; X per constr. Ο per hyp. Ergo etiam I, & Fφ Per t- o aequantur ipsis L,& N. Triangulum igitur S quiangulum est triangulo T hoc est per constr. d Pis 4. L triangulo P. Ergo S, P ιι similia sunt. Quod e-
PROPOSITIO VIII. Iri triangulo rectanguloperpendicularis BC
ab angulo redio in basim ducta secat triangi iam in partes toti, ter interse similes. In
209쪽
Liber Sextus. 161 In triangulis AB F,& L angulus F communis I i. est anguli vero ABF,&X per hypothesim 1 unt Tecti, adeoque aequales. Ergo reliqui Λ, & Ο etiam a sequales crunt. Ergo b triangula A B F,& a Per L similia 1iint. Eodem modo similia ostendam esse triangula ABF, & R, angulumque I parem an- :gulo F. Ex quo jam patet etiam R, & L similia esse, cum aequales sint anguli I, & F: O, & A: V, dc X. Quod erat demonstrandum. corollaria. ΡRimo BC est media proportionalis inter AC, C F. Cum enim sint iii triangulis R, & L. seqv. ang. I, F. eqv. ang. A, Olat. opp. AC, C B lat. opp. CB, C F. Patete AC esse ad CB, ut C B est ad CF. a BF est media proportionalis inter AF, α C F. Item A B est media inter F A, & C A. Nam in triangulis ABF,& L sunt
lat. opp. AB, AC Erit rursum AF ad AB, ut AB ad AC.
PROPOSITIO IX. D tam rectam AB) dividere secundum da
210쪽
PROPOSITIO X. Atam rediam militer fecare, ut al-
Extremitates sectae, & insectae jungat recta IB. Huic ex punctis F, C duc parallelas rectς secandae A B occurrentes in L, dc QJ ico factum.
G propossione discemus rediam datam in Ita quotvis aequales partes secare . Cum redia secanda AB faciat quemvis angulum recta quaepiam tonita ; ex qua circino cape tot aequales partes C F, FI, in quot secare placuerit AB. Duc rediam IB, eique parallelas FL, C Dico fudium . Fig. i . Alter idem, T facilius esciemus cum Maurodico hunc in modum. Sit AB trisecanda. Duc ad AB parallelam IX tinnitum supra, vel infra. Ex IX, si est infra AB, cape circino tres aequales partes I Q, RI, quae simul majores sint quam AB , minores vero , si IX est supra . Ter L N A, item per S, er B duc reetas, quae concurrant in C. Ex C ad Q, τ I dμ tae redis datam A B trisecabunt. DemonRratio patet ex corollar.
is. Ryrsum cum Maurostco aliter idipsum ita ob - tinebimus. Sit quatrisecanda AB. Duc infini tam A X, eique parallelam AZ etiam infinitam . Ex his cape circino partes aequales AL, LO, Oeta