장음표시 사용
211쪽
Liber Sextus. I 6 N BU, US, ' in siingulis ne d una pauciores , quam desiderentur in tum rectae ducantur L R, OS, QV. Hae quatrisecabunt datam
Nam quia per c Hr. LO, RI para telar, aequalas jungunt er OS, etiam ba erunt a a Per 11 parallela. Pari modo OS , OV sunt paralleia Ergo cum A sit Iecta in tres aequales partes etiam erit A I Ie a b in tres aequales . Similia L naeqreales , tota igitur AB di. Iecta es in quatuor aequaleI. Hae duae praxessunt faciliores Euclidaea, quia pauciores ducendae sunt parallelae .
Due rectam AC Ex BA producta accipe Λ F parem BC. Per F ad Λ C duc parallelam FX infinitam, cui in Loccurrat producta BC. Dico A B est ad B C, ut B C ad C L. Nam AR est ad AF , c ut BC ad C L. Sed Λ F est ii par B C. Ergo A B est ad BC, ut BC e Per a. I. ad C L, adeoque C L est tertia proportionalis , si
quae petebatur . . Pereonst. Aliter .
STatuantur A B, b C ad anaulum rectuma . Junge AC. Ex C duc CX perpendicularem ad AC infinitam , cui in L occurrat ΑΒ producta Dico AB est ad BC , ut BC ad B L . Patet
212쪽
164 Elementorum Geometria scholium. Poterit vero proportio data non solum per res ,
terminor , sed etiam per infinitos continuari GT tota tonitorum proportionali κm terminorum summa exhiberi . Fideberrimὸ hanc rem, totumque adeo Geometricae progressonis negotium Gregorius αS. Vincentio profecutus est toto libro a. sui operis . Nos in pratiam studiosorum succinctam reiis constructionem, ac demonstrationem in exbibe
SI ratio minoris inaequalitatis L ad L R semper
continuetur, venietur ad quantitatem quavis data maporem.
ouoniam igitur continuando rationem L O d primam L O semper accedunt partes ORIO Dc c. perpetuo crescentes,patet veniri ad quantι- issem quavis data majorem. Quod erat demonstrandum.
Fig. 13. UI ratio quaecunque majoris i qualitatis AB ad μ r qμη - C B semper continuetur , ad quantitatem venie tur quavis data minor m ' , or Assa Per s.l.6. . Data sit Lo quantumvis parva . Fiat a ut BL odPeriem. 3.BA, silc LO ad LIL Poterit d ratio LO aa Lli το-ιies continuari, ut Miquis terminus habeatur, pu-
213쪽
ta L I, major, quam AB. cuoties vero continuata jam est ratio LO ad LRo per totidem terminos CB, EB, FB continuetur ratio AB ad CB, erit FB minor, quam O L. Viim ex const. patet IL,QL, Mia,OL QUproportionales ipsis AB, B, EB, FB . Igitur ex aquo, ui e IL ad OL, sic AB ad FB is permn- etando f ut IL ad AB, sic OL ad FB. Sed IL est ma- , jor, o quam AB . Ergo etiam data OL est mador , ,
quam FB. Quod erat demonstrandum. g Pere . Problema.
D ta sit ratio minoris ingqualitatis AB ad BC., 9.
Oporteat hanc per infinitos terminos continuare, omnium summam exbibere. Erigantur perpendiculares A L, BO aequales datis AB, BC, per LO ducatur recta concurrens cuABC producta in Z . Dico I. si ex C erigas perpen ,
dicularem C Q., erit C a tertia proportionalis. QC transfer in CE, s ex E erige ERO erit haec quarta. EN transfer in FF, er erige F S, erit baec quinta; atque ita ratio AB ad BC, hoc est AL ad Bo per te minos AL, BO, Cc, ER, FS, oec, siῬe AB, BC, CE, EF, FI, &c. in infinitum continuabitur , quia quilibet terminus ut m poterit auferri ex residuo FZ; cum enim LA boc es AB) sit minor, quam AZ, etiam F S erit b minor, quam FZ. b Patet ex Dico a. AZ est aequalis toti summae infinitarum proportionalium.1 Pars A Z en ad BZ, ut e AL ad B O; hoc est , ut AB ad BC. Igitur permutando O AB OPeO6. en ad A Z, ut BC ad B Z . Ergo AZ est ad s. BZ,dut BZ ad C κ . Sed ut AZ est ad BZ, sic d 'ρ eor.
214쪽
inceps in infinitum. a Fars . Tota summa infinitorum terminorum neque minor est quam neqΗe major. Ergo qualis . Mnes major , quia, cum jam ostenderim
supra, QC esse minorem quam CZ, or I E quam E Y, T S F quam F Z, T sic deinceps sine termino, poterunt omnes termini a C, RE, S F, G c. me fuerenstitui iuxta invicem in recta iam sic ut numquam punctum Z attingatur. 2 qn erit etiam minor, quam AZ, quia jam ostendi supra AZ, BZ, CZesse continuὸ proportionales, s eodem modo idem ossenditur de reliquis E Z, FZ, cyc. Cum igitur transferendo proportionales a C, ER, FS, esse. in C E, EF, FI, residua E Z, FZ,IM Sc. semper sint continuὸ proportionales, ut jam ostendimus, venietur tandem e Perlem, ad residuum e dato minus, ac proinde summa proportionalium superabit quantitatem omnem, qua m nor sit, quam AZ, undὸ ipsa non potest esse minor , quam AZ.Quoniam igitur nec major est,nec minor, quam AZ, eidem aequalis erit . Od erat demon-1irandum. Neorema.
Pomorum terminorum disserentia, primus terminus , a tota insatiarum proportionalium summa sunt continu/ proportionales. 9, In superioris ra ducatur OXparallela ad AZ: Igitur LX erit disserentia primi termini AL, seu A BAN secundi B O, seu B C. Quoniam XO est paral-fPςr Ir lalaad AZ, erit LX ad XO, ut f L A ad AZ . in p' si sed Xo est AB, s L A etiam est AB. Ergo L Adisserentia est ad AB primum terminum,ut AB primus terminus ad AZ totam summam. Euod erat demonRrandum . Idem
215쪽
Idem univers iter,s brevis e demonstrabitur Fla. ao. in omni genere quantitatis bunc in modum. Sint continuo proportionales quaecumque s etiam numeri AZ, BZ, C Z, c c. quae transferantur omnes in primam AZ. Erunt igitur AB, SC, CE, E F,syc. proportionalium disserentiae, quae una cum postrema quantitate IE aequantur primae AZ . Quia vero, si proportionales in in itum continuentur , postrema quantitas perlem. a. evanescit, patet infiniturum
proportionalium diserentias aequari primae AZ. Deinde, quia of AZ ad BZ, ut BZ, ad CZ, s sic deinceps,erit dividendo AB ad BZ,ut BC ad CZ.erp convertendo ut AB prima disserentia ad AZ prim p p.8 eον mam quantitatem, ita BC secunda disterentia ad BZ is i 8 l squantitatem secundam, sic deinceps. Ergo ut AB prima disterentia ad AZ primam quantitatem,clita qPer Iaomnes disteremiae bocere, ut jam ostendi, prima F quantitas AZ) ad omnes quantitates hoc eri ad to. tam summam tonitarum quantitatum. Quod erat
PROPOSITIO XII. DAtis tribus rectis AB, BC, AFὶ quartam Fig. ai
proportionalem invenire. Disponantur datae rectae, ut figura monstrat,
ct duc rectam B F, cui parallela fiat C L infinita . Ipsi CL occurrat AF producta in L. Dico AB est ad BC, ut AF ad F L, ut patet
ex p. z. hujus. Ergo FL est quarta proportionalis quaesita.
216쪽
1 6 8 Elementorum Geometriae Scholium. PUM rit Bettinus noster in suo arario Mathema ticae Pollosophiae , ex 3I. l. a Iq. bubus , quae ab hac non dependet , datis tribus quartam, cydatis duabus tertiam proportionalem exhibet hunc
Si tres dentur rectae, secunda C B, s tertia B I ponantur in directum , quas prima BA tangat in B Iob quovis angulo. Per puncta C,A, D describe ax circidum, cui AB prima occurrat in Z. BZ est Vliarta proportionalis. Cum enim rectangula ABZ, CBD b aequesta sint, erit AB ad BC, ut B D ad B Z per Iq. hujus, quae ab hac, ut dixi, non dependet. Si dentur duce rectae AB, BC, fecundae BC amponatur in directum B D aequalis B C. Dein ipsam C B in B tangat prima AB sub quoUis angulo. Tum reliqua ut supra . Erit BZ tertia proportionalis: qua ista. Demonstratio similis en , cis enim rectangula BZ, CBD sint aequalia, erit AB ad BC, ut
BD hoc est ut BC ad BZ. PROPOSITIO XIII. Disis duabus rectis AC, CB mediam pro
portionalem invenire . Tota composita A B bisecetur in Ο,& centro O describatur circulus per A, & B. Ex C erige perpendicularem CF occurrontem peripheriae in F.
Diere AC est ad CF, ut CF ad CB. Ducantur enim A F. B F; triangulum.A F B
217쪽
Liber Sextus. 169rectangulum est, & a recto angulo ducta est perpendicularis FC in basim . Ergo Λ C est ad CF,
ut bCF ad CB. b Per cis. Corollarium.
HInc patet, si ex quovis peripheriae puncto F ducta sit ad diametrum perpendicularis F C), eam esse mediam prop*rtionalem imter diametri segmenta A C, C B. Scholium. Hu locus omnino exigit , ut de ductus mediis proportionalibus inter duas datas invenien dis etiam breviter dicamus aliquid in hujus problematis solutionem. Platonis hortatu omnes Graeciae Geometrae fiιmmo studio incubuerunt. M Eutocio in comment. in Archim. varii recensentur subtiliFmi modi, Platonis, Architae I arentini, Menechmi , Dratborienis, Philonis, Bb antii, Heronis, Apollonii Perget, Nicomedis, Dioclis, Spori, Pani, quibus alios deinde addiderunt Vernerus , P. Gregorius a S. Vincentio, F enatus Cartesius. Ex omnibus visum est tres adferre reliquis faciliores. Modus Platonis.
O Porteat inter datas OgB, BC duas medias i
Fonantur AB, BC ad rectum angulum , er pro- discantur in ite Tersus M T E. Accipiantur dein de duae normae ita Claudius Mobardus noster; Fla Io enim unica norma utitur,fed a cujus lateri DF in- αν Id. Fig. sertaset regida mobilis per D E cI unius normae an gulus D applicetur rectae B X, ea lege, ut er Iasus unum transeat per A, ad punctum Ε, in quoiatus alterum fecabit rectam BZ applicara norma
sc ηda transeat per C. Dico BD, B E duas esse
218쪽
17o Elementorum Geometriae medias inter datas AB, BC , boc es, ut AB est ad BD, sic esse BD ad BE, O BE ad BC.Demonstratio patet ex coroll. I. p. 8. l. 6.
ADE rectan ilum triangulum est, Nil angulo recto in basim perpendicularis cadit D B. Ergo perdidium coroll. ut AB ad BD, sic BD al BE. Et ob eandem causam ut B D, ad BE, sic B E ad BC. Inter datas igitur AB, B C repertie sunt du.e media B D, B E. Qiud erat faciendum . Hic modus inter omnes intellectu salillimus est. Modus Philonis 'santii. 11. datae AB, BC jungantur ad rectum angua lum; tum persciatur rectangulum ABCDper producantur D A, DI infinito , ducanturque diametri BD, AC se secantes in E. Centro E per Bdacasur circulus, qui,quod angulus ABC rectus sit,britet ex transibit b per A, O C. Tum regula sic applicet r adpunctum B, ut intercepta BG, OF sint aequalis dico AF, GC esse duas medias inter datas AB, BC; hoc est ut AB, BC; hoc enut ABen ad AF, sic F esse ad G C, OG C ad CB.ς Per ς pr. DemonRr. cuia GB, O Fc aequantur, etiam O G, BF aequales erunt. Ergo aequalia Iunt rectangula, OG B, BFO, hoc est rectangula d DG C, D O. Er- . s: i. 'μt GD ad DF, e sic reciprocὸ AF ad G C. Sed ab bae GD, en ad DF, f ut BAad AF. Ergo ut BA est In pedet. ad AF, sic AF est ad G C. Rursum quia jam osten-
, M G BAen ad AF, est vero BA' ' ad AF, ut G D ad D F, hoc enut GC ad CBi erit quoque AF ad G C, ut G C est ad C B. Omnes igitur quatuor B A, AF, G C, C B sunt continuὰ proportionales , ac proinde inter datas AB, BC in enta sunt duae mediae. Quod erat faciendum.
219쪽
Liber Sextus. 17 IHi duo modi quamvis sint ingeniosi , faciles , tamen, quia babita normae, er regula applicatio, non nisi tentando M. Geometrici non sunt. Modus Cartesii. ΡAretur rictrumentum hujusmodi. Duae regula M. et .aperiri possnt, o claudi cir Υ . His infertae
sint plures norma inter se connexa in B,C,D,E,F,Gea lege, ut dum regula XX, F Z aperiuntur, norma B C impeIlat normam C D in regula F Z,er normaC D impellat normam DE in regula FG N DE impellat E E F impellas FG, Ο sic deinceps. Dum vero regulae YX,eT Y Z clauduntur , omnia puncta B,C,D, E,RG incidant in unum , idemque punctum Hoc instrumento inter duas datas non
solis duae, Ied etiam quatuor, o sex, imo quotvis media reperientur . Quod neque perfectiones conicas , neque per modos ullos ab auctoribus supris dissis inventos obtineri potest . Pro duabus mediis opus est normis tribus, pro mediis A normis sic deinceps . Minor datarum transferatur in regulam YX, cssi X B; major in regulam alteram F Z,σ sty E. Applicetur norma prima ad punctum B, ibidemque
Irmetur aperianirer regulae, donec normae tertiae
latus transeat per E. Dico FC, FDesse duas medias inter datas X B, F E; hoc est FBese ad Y C, ut F CG ad F D, NX Dady E.
Demonstratio manifesta est ex coroll. a. p. 8.Iι b. 6. P am ex natura instrumenti in trigono F C D angulus ad C rectus est, ab eoque cadit C D perpendicularis in basim F D. Ergo per dictum coroll. ut F B est ad F C, sic γ C es ad y D . Rursum, quia in trigono F DE Ggulus
220쪽
17a Elementorum Geometriae ad D rectus est eoque cadit perpendicularis D Cin basim Y E , erit ut F C ad F D , sic FD ad
Y E. Sunt igitur ν B, Υ C, Υ D, Υ E quatuor continuὸ proportionales. Inter datas igitur FB, F Eiuventae sunt duae mediae YC, FD. Quod erat faciendum . Si inter duras ΥΒ, FG petantur 4 mediae, aperi regulas donec norma quintae latus FG transeat per G. Erunt FC, FD, ΥΕ, ΥF quatuor mediae inire YB, FG. Demonstratio patet ex eod. coroll. Hic modus quamvis organum sit 'Platonico illa operosius , planὸ eximius est , tis quia nihil perficit tentando , tum quia ad quo G. imo quotcunque medias se extendit. Ter duas medias perscitur problema MIiacum, tubi nimirum duplicatio , s corpora quaecunqueu ch proportione o augentur , Nel minuuntur ,Πε. iiii quemadmodum idipsum in muris planis ejicituri vide cor. p per linam mediam . Hanc viam primus ape-S Hippocrates , quam ut singularem , O linicam omnis Geometrarum poneritas amplexa est.
T Arestelogramma aequalia X, Z , quae unums C in uni so) habent aequalem , etiam latera circa aequales angulos habent reciproca: hoc est Ac est ad CB, ut FO ad OL. Et, si latera sic babent reciproca , parallelogramma sunt aequalia. et Pars. IL, & S B productae concurrant in a P γ i lo Parallelogrammum X est ad parall. R, ut A C a ad