Elementa geometriae planae ac solidae, quibus accedunt selecta ex Archimede theoremata. Auctore Andrea Tacquet Societatis Iesu sacerdote, & matheseos professore

221쪽

Liber Sextus

-d erat demonstrandum.

iam latera circa aequales angulos babent reciproca, hoc est Ac est ad C B, ut FO ad OL. Et si latera sic babent reciproca , triangula sunt

aequalia . Ducatur recta F B ; reliqua demonstratio e dem quae praecedentis. Corollarium. TAm parallelogramma, quam triangula, quae

reciprocant bases,& altitudines, sunt aequalia . Et e converso. Patet ex duabus praecedentibus.

222쪽

774 Elementorum Geometriae est rectogula Z sub mediis FLI L. Et si rectani sub extremis aequatur rectangulo sub mediis , erunt ilia quatuor rectae proportio

nales. A

r Pars. In rectangi itis X, & Z circa rectos angulos , ac proinde aequales B, I per hyp. est Λ Ba Per i . ad FI, ut reciproce IL ad CB. Ergo a X, & Zi. aequalia sunt. mod erat demonstrandum. a Pars. Quoniam X,&L jam ponuntur aequa-b Teread. lia. Ergo b circa aequales angulos B, & I est A BFI, ut reciproce IL ad BC. Quod erat de

monstrandum.

PROPOSITIO XVII. ς I rectae AB, FL, BC) fuerint proportio-

o nates, recitangulum sub extremis BC) a quale erit quadrato mediae F L. . Et si rectangulum sub extremis aequatur quadrato mediae, erunt tres illae rectae proportionales. I Pars . Μediae FL accipiatur par o. Quoniam igitur per hyp. Λ B est ad F L, ut FL. Ρὰγ ιγγe. 3 ςstqWς O p.r F L. Exit quoque Λ B, ad FI , ut O ad BC. Ergo o rectang. 1 ub extremis A B, B C aequatur rei angulo sub mediis F L, &O, hoc est quadrato F L.

a Pars. Demonstratur similiter ex secundia, Paris praecedentis FC. Corollarium.

di e M X hac , & ex I3. patet , si in circulo se M. FC perpendicularis diametro, rectangulum Λ C B sequale esse quadrato. PRO

223쪽

Liber Sextus.

PROPOSITIO XVIII. S per data recta sin dato postgono B C simi- 3 3 le , similiterque pisum describere.

Polygonum datum B inresolve in triangula. Super data recta RS fac a angulos R, O aequales angulis B, Α . Coibunt latera in X. Super XSfac angulos V, I aequales angulis T, C. Coibunt latera in L. Dico factum. Nam quia anguli R,Ο aequantur angulis B,A, etiam Ε, k b aequales erunt : & quia etiam e Vaequatur T, totus E V toti k T sequalis erit. Si. militer, quia d singuli O, I aequantur singuli A, p.ἡhsἡ.& C, toti ΟΙ, AC aequales erunt . Et quia e V,& . Pepe r. I aequantur T,& C, etiam L,& aequalesssunt. I Per cor. Polygona igitur RZ, BQ sibi mutuo aequiangula 983 sunt. Reliquum est, ut Pendatur etiam latera

esse proportionalia. R S est ad B F, g ut S X ad g FL;& rursum S X est ad F L, hut S Z ad F h . . d. Ergo ex aequo i RS est ad ST , ut BE ad sp., dia. l.

duplicata proportionis laterum AC, FI I aequalibus angulissubtensorum. Hoc est; si a fiat, ut AC ad FI, sic FI ad a Pεν D. tertiam Ai triang. X est ad trian . L, ut AC i, o prima ad tertiam proportionalem Ain Vide

ioniam triangula X, L sunt similia, erit B A

224쪽

176 Elementorum Geometriae V, but AC ad IF. Sed per constr. ut AC ad I F, sic IFadA . Ergo etiam B A est ad LI, c ut ΙFad A Ergo in triangulis QBA, & L latera

circa angulos A, I, qui per desin. triangulorum similium aequales existunt, sunt reciproca. AEqan-

Per Is i, tur igitur d QIA ,&Z. Atqui triangulum A ad oris i ι 6 , ut eb sis AC ad basim A Zrgo etiam X est ad L, ut AC ad Λ Q. Quod erat demonstram

T, numero aequalia: a ) er totis propor- tionalia 3 3 ὶ π postgonorum ptoportio duplicata est proportionis laterum AB, FG inter aequilas angulos B, G,N BAE, GF Κ) existentium.

a Perdos. I Pars. moniam polygona sunt similia, erunt r. l. 6. a sibi mutub sequiangula, eruntque bini binis ςqua

b P.ἡ .ahdsis FG ad G H, angulique B, & G aequales s uni, e . Per 5. t. similiac sunt triangula P, S. Similiter demonstra-6- bitur, similia esse R, & V. Deinde quia toti BCD. GHI, & ablati BCA, CHF sequales sunt, etiamd Per cor, reliqui ACD, FHI aequales erunt. Eodem modo 9 p 3λ,i. ostendam sequari ADC,FIH. Ergo tertius C AD v r HFI aequalis est . Riare e etiam in Ttriangula similia sunt . Liquet ergo I. ParS. Pars a. Quoniam similia sunt P. A S, ratio P, adfP.ἡ ρρὰ E. S duplicata est Dationis C A ad H F. Sed ob ean-g Per 3 . dem causam etiam ratio Q ad T duplicata est ra-ι. s. tionis C A ad H F. Ergo P est ad S, ut g Q ad T.

225쪽

Liber Sextus. 177

Eodem modo ostendam ut inest ad T, ita R esse 3 in a. t. ad U. Ergo ut i unum antecedens P est ad unum consequens S, ita omnia antecedentia P, UR sis mul sumpta, ad omnia consequentia S, T, V Gmul sumpta hoc est polygonum ad polygonum. Quod erat demonstrandum. 3 Pars. Ratio P ad S est duplicata rationis A B ad F G..Sed ratio polygoni ad polygonum est eadem cum ratione P ad S, ut jam ostendi . Ergo etiam ratio polygoni ad polygonum est d plicata rationis AB ad F G . God erat tertium.

seu regulares

Corollaria. 1 'Mnes figurae ordinat ut aequilatera triangula, quadrata, pen lagona, &c. sunt inter s. in ratione duplicata laterum . Omnes enim ordinatae sunt similes imter se, ut patet ex desin. I. 6. a Si figurarum quarumvis similium latera A B, FG inter squales angulos posita sint nota, st. etiam proportio figurarum innotescet. Sit ex gr.

Α Β a. ped. & FG 6 pedum , fiat ut 2 ad 6, ita

6 ad alium numerum nempe I 8. Figura minor est ad majorem , ut a ad I 8, seu ut I ad 9. Invenitur autem tertius proportionalis numerus , si s

xundus datorum multiplicetur per seipsum, &productus per primum dividatur.3 Ex eadem propositione elicitur methodus praeclara , figuram quamvis rectilineam auge di, vel minuendi in ratione data; ut si velim pentagoni , cujus latus est ΛΒ , aliud facer quintuplum : inter terminos rationis datae AB,' 3 BC inveni m mediam proportionalem BX: super i , hac construe n pentagonum simile dato . Hoc erit quintuplum dati.

226쪽

ἀ178 Elementorum Geometriae Nam per zo pentagonum A B est ad sibi simile B X, ut AB prima ad BC tertiam.

Porro, cum etiam circulorum proportio sit duplicata proportionis diametrorum ut ostende tur p. a. l. I 2. , haec praxis ad circulos quoque pertinebit.

PROPOSITIO XXI. FIgura qμα eidem C in similes sunt, etiam sibi mutuo similes sunt.

Patet ex desin. I. lib. 6. ex axiom. a. lib. I. dc proposit. II. lib- 3-

ΡROPOSITIO XXII. SI quatuor, aut plures rectae FI, LQ;S V) proportionale r fuerint , fgurae similes , similiterque ab iis descripta A, B, o E,N proportionales erunt :Etὸ converso. Demonstratio primae partis patet ex 3 . S. Quoniam enim a rationes A ad B,& Ead k sunt duplicatae rationum FI ad Lues& OR ad SV hyp. aequalium, etiam ipsiE aequales erunt. Pars 2. patet ex 33. lib. s.

227쪽

Liber Sextus. a 79 PROPOSITIO XXIII.

pia cuiauida parallelogramma X, Σ)inter se Ili. ι .. T, rationem habent compositam ex rationibus laterum ad CB, ex LC ad CF. Hoc est , si fiat CB ad O, ut L C ad CF, X est ad Z, ut AC ad O. Vide quae demonstravimus I.

. parte num. I 3. Concurrant IL, SB in Q. Parallelogrammum , b Per r.

X est b ad parallelogrammum R, ut AC ad CB;&Rest ad L, cui LCad CF hoc est, ut CB ad O. Ergo dex aequo X est ad L, ut AC ad O. Quod ierat demonstrandum. corollaria. .

quae unum angulum ad C aequalem habent, rationem habere compositam ex rationibus rectarum AC ad CB, & LCad GF aequalem angulum

continentium .

Patet a. rectangula,ac proinde, dc parallelogramma quaecunque rationem inter se habere compositam ex rationibus basis ad basim , & altitudinis ad altitudinem. Neque aliter de triangulis ratiocinaberis . Patet Quo modo triangulorum, ac paral-- α lelogrammorum proportio exhiberi possit. Sunto

parallelogramma X,& L,& eorum bases AC, CB, altitudines CL, C F, sate ut CL altitudo ad al o p.8 12.titudinem CF, ita basium altera CB ad O . Paral- l6.lelogrammum X est ad parallelogram. Z, ut A Cest ad O.

228쪽

i8o Elementorum Geometriae PROPOSITIO XXIV. Si T omni parallelogrammo S F), quae circa AB A diametrum sunt parallelogramma CLototi , s inter se similia sunt.

Per 27. I. aequales sunt anguli C, S, & L, F. Per eandem E est par I, hoc est per eandem ipsi A; B vero & toti S F, & parti C L comm i i nis est. Igitur totum S F, & pars C L sequiangula sunt. Reliquum est, ut etiam latera squalibus angulis opposita habeant proportionalia.

Quoniam in triangulis BCE, BS A, est C Ee Per ear. partala ad S A , erit e B C ad C E , ut 3 p ι 6. B S ad S Λ ; & C E est ad E B, ut e S A ad φῆς ε' Α Β Quia vero in triangulis quoque E LB, 7 p. ;ά.- AFB, EL est parallela ad AF, erit E B ad E L , ut 3 A B ad A F. Ergo ex aequo 1 CE est fP. radi. ad E L, ut S A ad AF . Igitur I C L, & totum ι s. SF similia sunt. Eodem modo ostendam ΟI es-yr. toti S F . Ergo n CL, &ΟΙ sunt e is P.= dii .l. simi R inter se. Quae erant domonstranda.

L D transmutare. Sive postgonum connituere aequale dato-πsimile alteri dato B.

Super CF latere polygoni B, cui simile petitur , fac rectangulum Q q aequale B. Deindo super FSDebrectangulum R aequale A. Μanifestum est C F , & FI esse in directum . Inter

229쪽

Liber Solus. 18 ICF, FI inveni e mediam proportionalem F L. e Per I s. Super hac fac d polygonum simile dato B, erit hoc etiam aequale dato Λ. d Per i . Nam cum per constr. sint tres proportionales '

CF , FL , FI polygonum B est ad simile sibi

polygonum super F L factum, e ut CF ad FI; e Peraci.l. hoc est i ut Q id R. Igitur permutando ut po- β Φ 4s.lygonum B est ad Q, ita polygonum super F L . . est ad R. Sed per constr. polygonum B aequa tur Q Ergo etiam polygonum super F L simile ipsi B sequatur R, hoc est per construch. dato Λ. Factum est igitur , quod petebatur. Ag. 44

ΡROPOSITIO XXVI. Ρ restelogramma similia B D , F babentia

angulum communem q) circa eandem diametrum existunt.

Duc rectas ΑΕ, CE , si negas AEC esse

diametrum communem parallelogrammorum

B D, & F N , ipsius B D diameter esto recta alia AG C secans FE in G, & due parallelam G H, Parallelogramma igitur F H , B D exbstent circa communem diametrum A G C , ac proinde a erunt similia . Ergo ut B Λ ad AD, b sic a per i .a

230쪽

182 Elementorum Geometria PROPOSITIO 27.28. 29ΤΥronibus facessunt negotium , s nullius fe- τὸ sunt UMI . PROPOSITIO XXX. DAtam rectam ita secare, ut tota AB H ad unum segmentum AC), sicut idem segmentum est ad reliquum C Bὶ

Hoc est ut loquuntur Geometrae) lineam extrema , ac media ratione secare . Per I i. a. ita seca AB in C, iit rectangillum

sub A B, C B sit aequale quadrato Λ C. Dico fa

ctum.

Erit enim per I7. ut A B ad A C , sie Λ C ad CB. Hujus sectionis vir admirabilis est in corporum regularium inscriptione , cy comparatione .

PROPOSITIO XXXI. I ὰ lateribus trianguli rectanguli ACB Ogurae similes quaecunque describantur, erit ea , quae opponitur recto angulo , duabus simul reliquis L, aequalis.

Propositio igitur 47. lib. r. hic redditur uni- b Per ab I Versalis. 6. O D.ἡ Ab angulo recto C demittatur perpendicul des io.t. s. ris C O. Quoniam AB, BC, Bo sunt a tres px e Per eor. portionales , erit Fad sibi similem R, b ut AB2.8.8. l. 6. Prima ad Bo tertiam. Rursum, quoniam c BA, AC