장음표시 사용
241쪽
Liber Undecimus. I 8 B non est rectae plano CA F. Liquet ergo
EX est,quod ponebatur B a esse remplano C, di reeiden demonstratum, BQ non esse rectam iplano F C; ac proinde ex eo, quod negaretur asser- tio theorematis , eadem a sertio directὰ proba ta est. Hie demonstratio quoad substantiam est Ioannis . - I. ciermans. .
tres illae erunt in uno plano. Sit enim, si fieri potest, earum una ΒΑ in alio plano Ro, quod secet L Q planum duarum reliquarum C A, FA recta AO. Qvqniam R A per hyp. perpendiculariter insistit duabus CA, F Α, plano L ecta a erit. Ergo cum ΛΟ rectuum aperirie. facit b angulum R A O. Sed etiam ex hyp. angu- b Per deflus RAB rectus est. Ergo anguli R AB,&RAO 'aequales sunt. Quod est absurdum.
le . Postulari poterat ut per se notum ; licebit ta- men sic demonstrare . Iuncta B D, fac in plano F E lineam D G norm lem
242쪽
I9o Elementorum Geometriae lena ad BD, & parem Β Λ, junganturque DG Λ, G B. Reetae B D, D G ςquantur a B D, B A:& anguli BD G,l DB A sunt recti. Ergo Λ D, B G e 1 unt squales. Igitur triangula A B G,G D A sibi mutuis aequilatera sunt, ac proinde anguli ABG, ADG aequales. Sed ABG e rectus est. Quare & ADG rectus. Sunt vero & BDG eκ constr. & C D G ex desinit. 3. recti. Ergo G Dad tres C D, Λ D, B D recta est. Ergo C D cum AC, B D est in uno i plano sed etiam Λ B cum AD, BD o in uno plano est. Ergo AB, CD sunt in uno plano . Ergo clim anguli ABD, CD B sint p recti, erunt AB, CD q parallelae .QUd erat demonstrandum.
in eodem plano in uno es cum ipsis plano. Postulari poterat . Qui volet sic demonstret. λ . Planum rectarum AB, CD secet aliud planum per puncta E, F; si iam E Fnon est in plano Λ B, CD nqn erit EF communis sectio . sit ergo a Per a l. Ε G F. Ergo L G F a est linea recta . Duae igi- ' tur rectae E F, E G F concludunt spatium. Quod
HIne sequi ur, si EF secat parallelas AB,
CD, in eodem esse cum ipsis plano; om-b Per def. nes enim parallelae b sunt.in uno plano
243쪽
Liber Undecimus i χρ IDROPOSITIO VIII. SI pares telarum AB, CD una plano E F) st recta, etiam altera scDὶ eidem plano
erit recta. Poterat postulari. Si demonstratio quaeritur, sere similis ea est demonstrationi propositionis ε.
parallelae , licet non in eodem cum illa plano, etiam sunt inter se parallelae. Quamvis postulari posset, licebit i men se
In plano parallelarum AB, CD duc Gh normalem ad CD. Item in plano parallelarum EF, C D due Hk normalem ad C D. Ergo C h recta est plano GkH, Ergo cum A G, EH sint parallelae ad Ch erunt Λ G, EH b rectae plano GkH. Ergo Α G, E H c sunt parallelae . Quod
rectis DF, EF, licet non sint in eodem plano , aquales angulos F comprehendunt. Fiant C A, C B aequales F D, F E, & ducan
244쪽
a Per 33- sint parallelae, & aequales, etiam AD, CFap rallelae sunt,& aequales. Si militer ostendam BE, CF esse parallelas, & aequales. Ergo etiam A D, bPerprςς BE-b parallelae, & c aequales . AEquanturd AB, DE. Cum igitur triangula B Λ C, ι. i. EDF sibi mutuo sint aequilatera, anguli C,&e Per g. Fe aequales erunt. Qu9d erat demonstrandum.
Fig. it. Λ D planum datum id dato extra illudae L puncto C perpendicularem ducere. Constr. In plano Α B due quamvis D F,ad quam ex C perpendicularem describe CE. Ad eandem per E in plano A B perpendicularem duc Α Ε Μ. Tum ad A M ex C perpendicularem demitte C G. Dieo C G plano Α Β rectam esse . Per G ponatur H G parallela ad DF. p.ἡ .. I. Per constr. D E recta est ad C E, & E M. Ergoii. DE recta aest plano C E Μ: adebque &b H. G. b 8. l. ii . Ersto e C G recta est ad H G. Sed C G ex constrie Per ἐή- est ad E M. Ergo CG d recta est plano A B.
ium planum erigere.' A quovis extra planum E F puncto D sae D BαPerprςς. planum EF rectam, junctaque ΒΛ due AC parallelam D B. Dico latam. Demonstratio P
245쪽
ΡRactire per datam punctum perpendicularis
ducitur dato plano, si norma O K ad da tum punctum applicetur.
PROPOSITIO XIII. LIneae ex eodem puncto ductae DC, EC) n queunt ambae ad idem planum AB) ess
Alias enim per ε. forent parallelae , quod fieri non potest.
perpendicularis est , plana erunt parallela. Sumatur in planorum alterutro F G quodvis punctum C, ex quo ducatur C E parallela ad AB occurrens plano I in E. Erit C E etiam a recta plano utrique F G, LQta re si jungantur rectae AG ,BE, erunt anguli A, B b recti. Ergo AC, BE sunt e parallelae . Ergo A CEB
parallelogrammum est, ac proinde CE, quam jam ostendi utrique plano esse perpendicularem , sequatur d A B . Eodem modo ostendam, omnes utrique plano perpendiculares esse aequales . Ergo plana e sunt parallela. Quod erat demostrandum.
SI recta duaese mutuo tangentes B A, C A ad Fig. duas alias se mutuo tangentes ED, FD sint paralleia, etiam plana per ipsas ducta erunt
246쪽
19 Elementorum Geometria Ex A ducatur AG recta ad planum EF, ponanturque GH , GI parallelae ad DE, DF , Erunt hae a parallelae etiam ad A B , Α C. Cum igitur anouli I G A , H G A sint b recti , erunt etiam c C A G , B A G recti. Ergo G A , quae ad planum E F est recta , etiam recta d est plano BC. Ergo plana e BC, EF sunt parallela . d erat demonstrandum.
Si non : cum sint in eodem plano secante , ' convenient o alicubi in I. Quare cum totae HEI, a FG Isint a in planis AB, CD productis etiam ii. haec convenient in I. Quod est absurdum contrades nitionem 3. hujus.
ΡROPOSITIO XVII. DArallela plana rectas lineas BD ,s HG Y proportionaliter secant. Ducantur in planis PQ T V rectae B H ,
D G, item B G occurrens plano R S in F, ju ganturque FC, FI . Planum trianguli BGD secans parallela plana facit sectiones C F, D Ga Perprre.a parallelas. Ergo est BC ad CD, ut BF adb Pera. t. FG Rursiim triangulum B HG secans parali Ia plana facit sectiones e B H, FI parallelas. Er-
.. m ostendi ut BC ad CD. Quod erat demonstrandum .
247쪽
Liber indecimus. 19 ΡROPOSITIO XV III. SI recta linea F E )sit ad planum AB recta , omnia , quae per ipsam ducuntur plana sunt eidem plano rheta . Ductum sit per FE planum aliquod GC fa ciens cum A B sectionem C D . In hoc ducan tur H k normales ad C D sectionem communem. Cum igitur etiam o F Erecta sit ad C D , erunt k H parallelae ad F E. Sed F E ponitur recta piano A B. Ergo & H k rectae b sunt ι iplano ix D. Ergo G C planum c plano A B r b-s l.
bo recta eidem plano AB) erit etiam com
Quoniam planum Μ F ponitur rectum plano ΛΒ, ex def. q. patet ex puncto L posse in plano M F duci rectam perpendicularem plano AB, eam nempe, quae ex L esset in plano M F perpendicularis ad communem sectionem EF. Similiter, quia planum GD ponitur perpendiculare ad A B, ex def. q. patet in plano G D posse duci ex puncto L perpendicularem plano AB. Sed ex puncto L tantum a una potest duci perpendicularis plano AB. Ergo necesse est, ut recta, quae ex L perpendicularis est plano AB, existat in utroque plano ΜF, dc G D ac prininde sit ipsa planorum MF , & GD communis temo. LE Quod erat demonstrandum.
248쪽
I96 Elementorum Geometriae PROPOSITIO XX. angulus solidus tribus planis angulis
S I BAc , C DAB continetur a bursim auo quilibet reliquo sunt majores . Si tres plani sunt aequales , patet assertio , si
inaequales, maximus esto BAD. Hic nihilominus minor est duobus reliquis. Ex maximo enim
BAD abscinde B Λ E parem B A C , fiantque
aequales AC, A E. Per E ducatur recta occurrens ipsis AB, AD in B,&D, iunganturque BC, o Per eis. DC. Quoniam anguli o BAE, B AC aequales sunt, & latera B A , A E aequalia lateribus B A, a Per .l. i. A C , etiam bases BE, BC aequales a erunt . ιPςr λς' Quoniam vero BC . CDi majores sunt, quam BD, ablatis aequalibus BE , BC remanet CD maior, quam ED. Sed latera EA, AD aequane Per cost, tur lateribus e C Α, AD. Ergo angulus d CAD Pς δ ma or est, qukm EA D. Cum igitur B Λ C parsit ostensus BAE, erunt duo simul B A C , ' A D majores toto BAD. Quod erat demo
DI ani o uti solidum angulum quemclingite x componentes quatuor re9is sunt minores. Esto selidus angulus Α, planis angulis illum componentibus subtendantur rectae BC, CD , DE, EF , F B in uno plano existentes . Quo facto constituitur pyramis , cujus basis est poly gonum BCDEF , vertex A, totque cincta
249쪽
triangulis G, H, I, h, L, quot plani angui componunt solidum A. Jam vero quia duo anguli AB F, Λ B C majores sunt uno F BC, 5 duo ACB, aPerprg. A CD majores uno BCD,& sic deinceps, erunt triangulorum G , H, I, k, L, circa basim anguli simul filmpti omnibus simul angulis baseos B, C,
D, E, F majores . Sed anguli baseos una cita aquatuor rectis faciunt bis tot rectos , b quot . theo. irint latera , sive quot triangula . Ergo o f hqi-
nes triangulorum circa balim anguli una
cum quatuor rectis conficiunt amplius qu iri bis tot rectos , quot sunt triangula. Sed iidem anguli circa basim una cum angulis, qui componunt solidum, componunt bis c tot rectos , quot c Patetem sunt triangula. Liquet ergo angulos solidum an-- .gulum A componentes quatuor rectis esse min res. Qiiod erat demonstrandum. Corollarilim.
EX hae , & praecedenti satis colligitur , ex
tribus angulis planis rectis quatuor min ribus, quorum duo quilibet reliquo unt majores, i, lidum angulum constitui posse. . Scholium.
EX bac eadem proposivione demonstratur celebre theorema , tres tantum fgurae planae ordinatae, er aequales corpus continere possunt, n mirum aequilatera triangula vel q, TH 8, et 2 o. Quadrata 6. Pentagona Ia. Ac proinde quinqVetantum sunt ordinata , seu regularia corpora. . Pramis , quae Α, Tetraedrum , quod 8, Icosa drum , quod ac aequilateris triangulis continetur, Cubus , qui ct quia ratis , Dodecaedrum , quod Iarequalibus pentagonis ordinatis comprehenditur . Porro corpus ordinatum dicetur , quod planis ordinatis , o aequalibus continetur.
250쪽
Demonstr. Ex duobus aequilateris triangulis non potest conuitui angulus solidus , ad hoc enim Ialte in requiruntur tres . Atribus triangulis aequilateris in unum punctum coeuntibus potes constitui angulus solidus pyramidis; lx quatuor angulus solidus οἱ aedri; ex quinque angulus solidus ussaedri , cum aequi- lauri trianguli anguis tum 3, tum 23, tum sint
rectis minores , ut colligitur ex corollario I 2. p. b colligi- Iaa. I.
creoniam vero tres anguli pentagonici b sunt
rediiis minores , poterunt tria pentagona in unum puneium coeuntia constituere solidum angulum , nempὸ Dodecaedrι . A tribus quadratis in unum plinctum coeuntibus esci solidum angatum cubi, per se patet.
Atque ita quinque expιrgunt regularia corp0ra. Praeter baec nulla esse alia sic ostenditur . sex anguli trianguli aequilateri consciunt q re-οPepeor. Elog , unus enim facit duas o tertias rectit; acta p. φλ. proinde sex tales sicient i a tertias recti , hoc qi rectos: Ergo ὰ sex aequilateris triangulis non poterit lici folidus angulus , multo minus a plu
quatuor quadratis non posse constitui solidum angulum , ac multo χninus a pluribus per se patet Auguli pentagonici sunt rectis majores 'ab pe=eori singuli enim esciunt 6 quintas e recti . Ergo. Ap. I 1.ι- , quatuor pentagonis neqvit feri angulus Iolidus , multo minises a pluribus . hec sane ex aliis muris quibuslibet ordina tis connitui poterit solidus angulus . I res angulidi. r. is l. bc agonici fhsnt ' rectis aequales , unus enino . facit q tertias recti, ac proinde tres faciunt Ia