장음표시 사용
251쪽
Liber Undecimus. 199 tertiar recti hoc est η rectos. Ergo ex tribus hexagonis nequit constitui solidus angulus , multo miniis a pluribus. Cum vero tres anguli hexagonici sint rectis
aequales , tres anguli figurarim quarumlibet be xagono majorum , ut septagoni, octagoni , ctrc. q. rectis majores erunt . Quare manifestum est, reliquar muras ordinatas omnes esse ineptas , ut Iolidum angulum constituant, adeoqκe praeter jam
dicta s nulla ordinata corpora dari posse . PROPOSITIO XXII, XXIII. AOmo um prolixae sunt , ac molestae uronibus , o ferὰ usu non Neniunt. PROPOSITIO. XXIV. ΡLana parallelepipedum continentia I. in funt parallelogramma , et in quae ex adverso , sunt ilia , I) aequalia.
I. Pars. Plantim Λ F secans plana B D, FH ex desin. I 3. parallela facit a sectiones B A, FE p rallelas. Rursum planum AF secans plana AH, B G per defin. 1 3. parallela facit b feci iones AE , BF parallelas . Ergo BF E A parallelogrammum est. Simili argumento reliqua parallelepipedi plana sunt parallelogramma. a. Pars. niam ex prima parte patet AB, B C parallelas est e E F, F G, erunt e anguli ABC, EFG pares. Qitare, cum & latera alternis sint paria, similia sunt parallelogramma adversa BD, F H . Eodem modo probatur de caeteris oppositis.
3. Pars patet ex prima parte, & q. Vel 8. I.
Fig. 29. a Per IG. l. II.b Per eam. a Per Iz. l. II.
252쪽
PROPOSITIO XXV. SI parallelepipedum GF DI, in aut quodvis prima plano a Ny secetur adῬersiis planis parallelo, erit ut basis DC P Oὶ ad busi OPFE ita solidum GP ad solidum MF.
Demonstrabitur eodem modo, quo I. 6. Corollarium. Prisma sectum plano adversis planis parallelo sectionem habet similem , & squalem planis adver
PROPOSITIO XXVIII. ΡLamim per adversorum planorum diametros, E G) transiens parallelepipedum secat in
duo aequalia prismata. Quoniam a BG , BE sunt parallelogramma, C G, A E se quidistant eidem BF. Ergo & binter se sunt parallelae, ac proinde ih uno sunt plano. Ergo rectae AC , E G e in uno sunt plano. Jam vero planum per illas ductum secare parallelepipedum in duo prismata aequalia , sic ostendo. Intelligatur pristina AEGCDH supra planum suum E A CG ita constitui, ut anguli D, H vergant ad angulos B, F. Μanifestum est tum adhuc fore inter parallela plana BADC , S E HG. Tum vero necesse est, ut D cadat in Hin
253쪽
Liber Undecimus. 2OIH in F. Cadat enim Dextra B, si fieri potest,in N, Angulus B A C sequatur d angulo D C A . Sed DC A sequatur N AC est enim unus, idemque angulus). Ergo ΒΛ C, & Ν Λ C aequales sunt, quod est absilrdum . Ergo D incidit in B, & pari de causa H in F. Ergo prisma AEGCDHcongruit prisinati Λ CGEF B,ac proinde e squa
E FI M) ,-altitudinem eandem , ac proinde existunt inter parallela plana EF ΙM, GA OL , aquailia sunt. Vel enim existunt inter lateralia parallela plana EΛΟΜ,& FGL I, vel non. Esto primum. EX 2.3. hujus, & 8. l. r. patet triangula AEB , C Μ Ο , item G F H , k IL sibi mutub aequilatera, & sequiangula esse. Quare, ut in praecedenti , ostendam prismata C M OL Ih, B EA HF G sibi mutuo imposita congruere , ac proinde a aequalia esse . Quare addito communi solido FEBHkC MI tota parallelepipeda FEΛGkIΜC, FEBHLOΜI aequalia erunt . Quod
Sit deinde parallelepipedum F X RE ΜIP R
non inter eadem. lateralia plana parallela
Existens cum parallelepipedo FEΛGkCΜI . Quoniam ex hypothesi GK , AC, RP, Q X sunt in uno plano ad basim E FΙ Μ parallelo, RP, QX secent Gli in L,&H; AC uerb ino,& B, junganturque EB, ΜΟ, FH, IL, facile ostensu est, plana selidii FEBHLΟΜΙ continentia paral
254쪽
ao 2. Elementorum Geometriae lalogramma esse ex adverso aequidistantia , adeoue Per d.f. que selidum illud c esse parallelepipedum. Sed huic t, II. per prima partem parallelepipeda EXQEΜIPR,& FEAGΚCΜI sunt aequalia. Ergo etiam sunt aequalia inter se. Quod erat dem. Scholium.
HAEc proposivio similis est propositioni 7s. I. I. a mat enim de solidis,quod illa de planis .
Quare similis etiam eris reliquorum casuum demonstratis .
Habeant parallelepipeda primo latera ad bases normalia. Ad latus F G productum fiat parallelogrammum G Μ la H aequale, ac simile paralleloorammo AO, perfectoque parallelogrammo M P R, rectae P Μ, R G occurrant ipsi h H in L. Jam vero intelli antur super Gk, G , GP constitui parallelepipeda, quorum latera
sint ad bases recta, altitudo autem omnium communis sit S. Solidum E GS est ad solidum G P S, ut EG b ad GP; hoc est quia EG, Ao per hyp. aequantur in ut ΛΟ ad GP; hoc est per constr ut G k ad G P; hoc est ut e G Q ad G P; hoe est d ut solidum G QS est ad idem solidum G P S Quoniam igitur solida EG S,& G eandemicient rationem ad solidum G P S, erit solidum EG Se aequale G QS; hoc est solido fGkS; hoe est quia bases Gla,m sunt a squales, di similes , solido
255쪽
solido i A OS. Qiiod erat propositum. Per to- i patet extiim discursum solida accipiuntur recta. 's. l. D-Habeant deinde parallelepipeda data E GSA OS latera ad bases EG,& ΛΟ obliqua. Fiant super E G, A O parallelepipeda, quorum latera
sint ad bases recta in altitudine S, haec aequalia erunt obliquis per 29. aut 3 o. l. II. Qitare cum parallelepipeda recta per primam partem sint paria inter se, erunt & obliqua aequalia . Quod erat demonstrandum.
se ut bases. Bases sint Go, & A; super Co fac parallelo grammum o E par ipsi A.
Super BC, O E intelligantur erigi parallelepipeda in altitudine k: haec igitur partes erunt Mnius parallelepipedi BE k . Ergo a parallelepip dum o Ela est ad parallelepipedum BCk ut ba- isis O E ad basim B C; hoe b est, ut basis A ad b, b Per cosi sim B C. Sed quia bases Ο Ε, & A sunt aequales, parallelepipeda O E k, & Ak c aequalia sunt. Ergo etiam parallelepipedum A k est ad parallelepipedum BC k, ut basis A ad basim BC. Quod erat
O d hic de parallelepipedis oriensum en, δε-
256쪽
ao Elementorum Geometria PROPOSITIO XXXIII. Fig.3s, parallelepipeda HA, O C M) sunto in triplicata ratione latcrion homologorum
TD.ρ δε- p.rallelepipeda AH , C Μ similia. Ergo An .s.l. ii omnia ipsoriim plana similia a sunt; adeoque A Bb Per de- ad b est, ut E B ad B O; & ut F B ad B G, sie EB ad Bo. Insuper dc anguli c planorum aequa C er ead--Collocentur sie igitur solida Λ H, C Μ, ut aequales anguli C B Ο ,'A B E sint oppositi , dc latera AB, CB in directum; tum vero etiamd mire ex d EB, OB in directum erunt. Cogitentur jam a vob- - super B in&EC facta sblida sic, ut solida k B , HA sint unum parallelepipedum, &kB, PO faciant unum similiter parallelepipe- .Pὸν 2ue. dum, &PO, C Μ unum quoque parallelepipe- l. ii. dum conficiant . Solidum H A est ad solidum
i. ti. O BO; hQςζst, ut g EC ad Bin hoc est, ut so-Ρ.ἡ .Ed. lidum 3 idem EB ad 1blidum ΡΟ. Continuanti Per id si ergo eandem rationem tria solida H Α , k B P O moseni solidum k B est ad solidum P Ο, ut Esupr B R ad basim B Q.; hoc est , ut ι E B ad n Pὸν l. ut m FB ad BG; hoc est, n ut ι.6. planum FC ad planum BS; hoc est, ut idem o. Ρὰν et s. rursus selidum PO ad C Μ solidum . Qiuattuor lib. ii. ergo solida H Λ, kB, PO, C Μ sunt continuest Per proporti'nalia . Ergo ratio primi H A ad quax- ψει- 2: p Ulicata rationis primi H A ad 1i i. k B secundum ; hoc est, xationis q A E ad B R;ν Per i. est, r rationis homol sorum laterum AB ι.6. ad B C. Quod erat demonstrandum.
257쪽
O d bic de parali lepipedis ostensum est , in
libro 12. demonLirabitur de pyramidibus propos. S; de quibuslibet pri malibus coroll. a. poni p. 9; de conis , er cylindris p. 12; de obaeris p. 18.
PROPOSITIO XXXIV. Si paraelelepipeda aqualia sunt BM , CK ,
reciprocant bases, ue altitudines s hoc est , basis AM est ad basim F K , ut reciprocὰ altitudo FC ad altitudinem AB. Et si reciprocant bases , s altitudines, aequalia sunt. I. Pars. Sint primo latera ad bases recta . Si jam solidorum B Μ, C k altitudines sint pares ,
Si altitudines sint inaequales, majori F C abscinde F E parem B A , per E duc planum E L ad F k parallelum . Basis Α Μ est ad basim Fh , ut solidum B Μ ad solidum Ek ; hoe est quod ex hyp. paria sint solida ΒΜ, Ch tit solidum Ck ad Ela solidum ; hoc est, ut cCG ad EG; hoc est, ut d CF ad EF, hoc est
ex constr. ut C F reciproce ad B A. Qimd orat demonstrandum. Sint deinde latera ad bases obliqua. Erigantur super iisdem basibus in altitudine eadem parali .pipeda recta. Erunt his obliqua e parallelepipeda aequalia. Quare clim haec per I. partem reciprocent bases , dc altitudines, etiam illa reciprocabunt. Qtiod erat demonstrandum. a. Pars. Sint altitudines inaequales, lateraqiae ad bases
258쪽
ao6- Elementorum Geometriae ad bates recta, & ex majori CF ipsi B A sume parem E F. Solidum B M est ad solidum Eli, ut fA Μ ad F k; hoc est ex hyp. ut C F ad B Α; hoc Peri .l 6. est ex constr. ut CF ad EF hoc est, ut g CG adi Peras. EG; hoc est, ut solidum i CP ad solidum idem Ela. Ergo solida B M ,& Ck eandem habent rationem ad E k . Ergo sunt paria . Quod erat
O Vae de parallelepipedis demonstrata sunt
niunt privinatis triangularibus, quae sunt dimidia parallelepipeda, ut patet ex p. 28. Igitur. Fit . 3 . I. Prismata triangularia aeque alta si int ut boses A, B. a. Si similia suerint, eorum proportio triplicata est proportionis laterum aequalibus angulis opposi torum. . Si aequalia sunt, reciprocant bases , & altitudines : dc si reciprocant bases , & altitudines, aequalia sunt. sobolium.
pipedis , demonstrabiti r in lib. I a. de nra - miuibus p. 9; de prismatis quibuscunque coroll. 3. postp. 9; de corus , s cylindris p. II.
V- ὸ prolixa , servit sequenti , quam sine
259쪽
Liber Undecimus. ad 7ΡROPOSITIO XXXVI. Ρ Dialelepipedi DII ex tribus rectis pro- ει 3 , portionalibus A, B, C) factum aquailir parallelepipedo IPU facto a media L , er aequi angulo priori. Parallelepipedi D H basis F D habeat Iatus E Faequale A,& latus alterum ED aequale C, latus vero EG basi insistens aequale mediae D. Erit parallelepipedum D H factum ex tribus reetis A, B, C. Parallelepipedi deinde IN tria latera LX, IX, XΜ ac proinde omnia relliqua sint aequalia mediar B, & angulus solidus X sit aequalis an Oulo solido E. Erit parallelepipedum IN factum ex media B, dc priori aequiangulum. Dico etiam esse
Cum enim per hyp. dc constr. st ut F E ad LX, ita reciproce IX ad D E, Erunt a bases DF, IL a Per i . aequales. Jam quia anguli sistidi ad E,& X sunt l. 6.
aequales, si ponantur intra invicem, bcongruent, i, Per def& ob aequalitatem rectarum E G, XΜ puncta II. l. λι- coincident. Quare una erit iitriusque solidi altitudo, perpendicularis nempe a punctis Μ, G jam congruentibus in planum bai eos demissa . Solida e igitur DH, IN aequalia s uni. e Per 3 I. Quod erat demonstrandum. I. II. Scholium.
Hu porro observabimus , id quod magnum
babet up m, ex tribus lineis quomodocisnque inter se ductis ejusdem magnitudinis solidunia gignι
260쪽
ABC. C Λ B. B C Α. In scemate hic apposito duae primae litterae designant basim , tertia altitudinem . Comparemus primum cum secundo. I asis es ad basim C A per a. 6. ut Bla- tus ad C latus , hoc est reciproce ut B altitudo ad .c altitudinem. Ergo per 34 AB C. AE. C A B. Eodem modo ostendes primum tertio , cy tertium secundo esse aequalia.
PROPOSITIO XXXVII. ΡArallelepipeda similia , similiterque a lineis proportionalibus descripta etiam ipsa sunt i
proportionalia; er converso . Patet ex 3 . lib. 's. Rationes enim parallelepipedorum per 33 hujus erunt duplicatae rationum ex hyp. aequalium, quas habent lineae. Conversa patet eX 3 s. lib. s. Propositio vera est de quibuscunqtie similibus corporibus , quae patebit lib. I a. duplicatam h