장음표시 사용
271쪽
Liber Duodecimus. II 'go per porisma universale sequens etiam circulorum proportio duplicata est proportionis di metrorum. Quod erat demonstrandum. Pori a um versale.
Si ea , quae ductus Ruris B) inscribuntur, in ipsar desinant , quam proportionem inter se semper balent inscripta , eandem balent erm
R Sit ratio X ad Z ea, quam inscruΑ B X Z pta semper habent inter se. Si
C F ergo negas rationem figurarum A, B eandem esse cum ratione.
X ad Z, quam semper habent ea , quae figuris inscribuntur , sit ratio A ad B primo major ratione X ad L. Ergo alia quaedam quantitas Rminor quam figura A, erit ad figuram B, ut X ad Z. Quoniam inscripta per hyp. desinunt in figuras Λ, & B, erunt aliqua figuris A, dc B inscripta , quae ab ipsis deficient a minori quantitate, quam R deficiat a figura B. Sint ea C, & F.Er- ' 'δgo C erit majus, quam R. Ergo C est ad B in i, si maiori , quam R ad B; hoc est ut ponebatur inquam X ad Z; hoc est per hyp. quam idem Cad F. Qimniam igitur C est ad OB in majori pro- .
portione, quam ad F, erit B figura minor e sibi inscripto F, totum sua parte. Eodem modo ostem detur, rationem B ad Λ non posse esse majorem ratione L ad X. Ergo ratio A ad IA aeqvdis est rationi X ad L. Quod erat demonstrandum.
272쪽
habent usum, quam ut per eas demonstretur quinta , quam nos sine illis multo facilius d monstralimus. Lemmata ad P. V.
b Per Io. aequales b sunt. Quare sectiones O SE, ABC. e sunt similes. Eodem modo similes esse ostema p. 'i, sectiones R X L, IV . Ergo ratio sectio ι.6. nis A BC ad OS E est duplicata d rationis lat tum B C ad S E, & ratio sectionis Iu dad RXZduplicata est rationis V Dd X Z . Atqui rati , , hes BC ad S E, & V Q ad X Z sunt eaedem est BC ad SE , ut e CF ad E F; hoc est per Po=tiam hyp. ut OL ad L L ; hoe f est , ut Vo ad X L.
273쪽
ΡΥramidi Z C AFὶ trianguilam bubenti basi prismata in infinitum inscripta desinunt in ipsam pyramidem.
. Dividatur latus pyramidis in aliquot aequales
inscripta intelligantur pyramidi phismata trian-
inde extra pyramidem continuatis intelligantur pyramidi esse circumscripta prismata CIBA ,PXGB, NHFG. Excessus circumscriptorum , .
supra inscripta sunt solida IM, Xk, HG , quae simul sumpta sequantur prismati CIB A ; nam H G esto aequale D B , ac proinde HG cum Xk aequatur PXGB; hoc est ρ ΜEBErgo tria H G , X k, I Μ aequantur toti CIBA- a collig.
Atqui si AF in plures sine fine partes aequales ex lem. a. dividatur , ac proinde prismatum numerus febοι.ps infinitum multiplicetur , ΑΒ fiet a quavis data minor. Ergo etiam b prisma CIBA fiet quovis b Patet extato minus. Ergo prismatum circumscriptorum multoque magis pyramidis L C A F , quae pars est prismatum sibi circumscriptorum ) excessus . supra inscripta prismata fiet quovis dato minor. Ergo inscripta prismata in pyramidem c tandem desinunt. Qi md erat demonstrandum.
ΡΥramides triangulares aequὰ altae eam inter se proportionem habent , quam bases ES X. Pyramidu altitudines squales reserat latera A
274쪽
EZ, quibus in quot placuerit aequales partes , sed aequὸ multas utrimque divisis, factisque per divisionum puncta sectionibus ad bases parali Iis, intelligantur utrique pyramidi inscripta esse
prismata trigona aeque multa , & aeque alta , .
Iam vero , quia prismata L Α, IE sint sequὰ aua Per cor ta , erit prisma L A ad prisma IE , ulla basis 3. 3 -ἰ- i, LOB ad basim ΙNh; hoc est, b ut basisse Λ adb Persem -S XE . Eodem modo ostendam , singulae P.ν i,. prismata pyramidi QRAR inscripta esse ad sin- l. s. gula inscripta pyramidi S Z E X, ut basis Q Rd lem. a. ad basim S E X . Ergo etiam e simul omnia sunte Perporis ad omnia,ut basis ad basim . Quare cum ea tan-μη vers desinant d in ipsas pyramides, etiam ipsine, bases . bod erat demonstrandum.
Dyramides quaecunque aquὸ altae eam inter se ae rationem habent, quam bases C FO. B ad O. Ergo pyramides simul A X, B X hoe est tota Λ B Xὶ sunt ad pyramidem Ο Ζ, ut A, Re Per et . e simul ad O. Eodem discursu pyramis ΑΒ Xi est ad pyramidem FT , ut d AB est ad F; & PN pr ARX est ad CR, ut e ΛΒ est ad QErgo AB X simul OL , FZ, CL; hoc est ad
275쪽
Liber Duodecimus. 2Is PROPOSITIO VII. OΜnis pyramis tertia pars est prismatis habentis eandem basim , c estitudinem . Sit primd pyramis trigona BGAC in eadem pla. basi , & altitudine cum prismate B ACF ΕΟ , ducantur BF , AO , Λ F. Triangula BFC , B F Ο 1 unt a paria. Ergo pyramis B F C A pyiamidi BOF A b aequalis est. Ob eandem cau' ,.Lsam pyramis OEAF par est pyramidi OB AF; λ. hoc est pyramidi Bo F Α, sunt enim eaedem pyr mides . Igitur etiam BFCΑ,&ΟE AF aequales sunt. Omnes igitur tres B F C Λ, OEAF , OBMsive B o F Α sunt pares . Ergo tres simul unius B FC A triplae sunt. Atqui tres illae constituunt prisma B ACF Eo . Illud ergo pyramidis BFC A; hoe est e BGΛC triplum est . Q ς Perss.
erat demonstrandum. Sit deinde pyramis quaevis eandem habens ba- Fig. I
sim ,& altitudinem cum prismate A E F H , dumslineis BC, BD, BE,&NI, NG, ΝΗ resolve prisma in triangularia prismata , & pyramidem
in trigonas pyramides . Quo facto patet demo stratio ex prima parte. Νam singulae partes prismatis triplae erunt singularum partium pyram, dis . Ac proinde totum prisma totius pyramida triplum est. Quod erat demonstrandum.
portio est triplicata ejus , quam halent M- mologa latera AB, Sint
276쪽
tao Elementorum Geometriae Sint primo trigonae, perfectis parallelogrammis A M , & H Q. super his constitue paralleleps peda AG, Q in altitudine pyramidum , quavcum pyramides stat similes , etiam patet similia a desin. s. a esse. Ducantur jam E F, , & per E F C B, item per RP IN secabuntur b parallelepipeda in j prismata aequalia : singula horum c triplae Parrrae. pyramidum OACB, &kHIN. Utra que ergo simul: hoc est tota parallepipeda Λ G, HL sextupla sunt pyramidum . Pyramides ergo parallelepipedis proportionales sitiat. Sed horum d triplicata est rationis laterum AB, H N. Ergo dc illarum . Qu'd erat demonstr. sis i ta pyx mido inmites fuerit polygonae, resolvantur in triangulares A R, B R, C R, &Ο h: Facile e ostendes etiam A R ipsi ΟΚ,
ri. per I. partem ratio pyramidum A R, Oh est triplia, cata rationis ΙΜ ad P L; & ratio pyramidum B R,& Ela triplicata est rationis Μ X ad L S ; hoe .r . . est denuo per hyp. rationis I Μ ad P L; & ratio pyramidum C R, Fk est triplicata rationis X oad S T; hoc est rursum I di ad P L. Clim ergo r
tio singularum ad singulas sit triplicata rationis e Per Ia Μ ad PE, etiam ratioc omnium ad omnes hoc est ratio totius pyramidis ABCR ad totam
O E F k triplicata erit rationis ΙΜ ad PL. Quod
x Pars. Sint primo pyramides trigons BACO,
277쪽
Liber Duodecimus 2 2IH k N L: perfecti s parallelogrammis B E, H R,.super his sint parallelepipeda BF, H P. Erunt . haec ut ostendimus in 8 pyramidum ex hyp.
seqv lium sextupla , ac proinde aequalia inter se. , Sunt vero horum parallelepipedorum altitudines H k , BA eaedem, quae pyramidum, bases vero BE, HR duplae o sunt basium pyramidalium o Per 3 BCO, HNL , ac proinde iis proportionales . i. i. Cum igitur ob parallelepipedorum aequalitatem sit ut B E ad H R , ita a reciprocὰ H k ad B Λ, a Per 34. etiam erit ut basis B C O ad basim H NI, ita re-- 3-ciproce altitudo H h ad altitudinem B A. Qvqd erat demonstrandiim. Quod si pyramides habeant bases polygonas , retentis iisdem altitudinibus reducantur ad triagonas, eruntque hae illis aequales per 6. Sed pDramides sic reductae per jam demonstrata reci- 'procant bases, & altitudines. Ergo etiam pyra- .mides datae polygonae reciprocant bases , & a, titudines. Qi d erat demon str. 2. Pars. Quoniam jam ponitur esse BCo adHNL , ut Hla ad B A , exit quoque BE ad .HR, ut Hkad BA. Ergo parallelepipeda BF ,mi 1. . H P sunt aequalia, ergo& sextae eorum partes, .
Corollaria. O Vae de pyramidibus demonstrata sunt per 6.8. 9. etiam conveniunt quibuscunque pris i. -- rmatis, cum haec tripla c sint pyramidum eandem basim, & altitudinem habentium. Igitur. I Prismatum aeque altorum eadem est proportio , quae. basium . Id enim ostensum est pyramidibus Prop. 6. a Similium prismatum propoctio est triplicata. prin
278쪽
proportionis homologorum laterum. Id enim ostensum est de pyram. p. 8. 3 AEqualia prismata reciprocant bases , dc altitudines , dc quae reciprocant sunt aequilia . Id enim de pyramidibus ostenditur p. 9.Mirum est bae ab Euclide praetermiga , ei mpraecipua sint, quae de solidis rectilineis tradi pose
EX bactenus demonstratis elicietur dimensio quorumcunque prismatum , ac nramidum. Frismatis soliditas producitur ex altitudine in basim ducta, pyramidis vero ex tertia altitudinis lparte ducta in basim .
Ut si primaris altitudo sit s pedum , basis vero
as pedum quadratorum , multiplica as per proveniunt Ias pedes cubici pro soliditate prifurtis . Em enim prima postgonum AH. Ejus basi AE intelligatur aequale esse triangulum BAC , superque eo prima BE aequ/ altum , ac AH D, ὰ ' ς aequalia prismata . Sed B Ed p., ριιιprima d producitur ex altitudine sua in basim s. o. l. BAC , boc est e AE. Ergo etiam pri a AHii. At altitudine sua , quae altitudini prismatis BEερ rcρυ- aequalis ponitur , in basim A E. Hinc vero , s ex 7. patet dem furatio partis
dris in infinitum inscribuntur, in conos &y lindros desinunt. i Demonstratur ut lemma propositionis a adminiculo
279쪽
silrilia, Liber Duodecimus. 223culo propositionis 6. dc corollarii et . post p. si ut istic plana circulo inscripta , ita hὶc pyramiades, & prismata, quae sis per planis illis tanquam basibus consistunt, a cono, & cylindro auferantur.
OMnis conus tertia pars est cylindri eandem Ist. ao. basim , Ο altitudinem bes entis. Basi CL intelligatur inscribi polygonum rogulare quotcunque laterum , & s uper illo tanquam basi, cono quidem pyramis, cylindro autem prisma inscribi. Erit pyramis a tertia pars priL 7 i malis. Et si rursum inscribatur circulo polygonum laterum duplo plurium , superque eo inscribatur cono pyramis , & cylindro prisma,iterum erit pyramis tertia pars prismatis. Atque hoc semper eveniet. Quare cum pyramides in conum, b Perlem. b prismata in cylindrum desinant, etiam c conus pr ced- . tertia pars cylindri erit. Quod erat dem.
portio eadem est , quae basium C L, SE Idem accidit cylindris aequὸ estis.
Pyramides conis aeque altis inscriptae sunt, dut bases. Atqui e pyramides tandem in conos de- . Per iam . sinunt. Ergo etiam s coni sunt, ut bases . Cum ante IO.ι vero cylindri conorum eandem cum ipsis basim, Τ& altitudinem habentium sint tripli , etiam si erunt, ut bases . Qu9d erat demonstr. coro
280쪽
Corollarium . Eodem modo demonstrabitur etiam prismata , dc cylindros seque alta esse inter se ut bases , imo quaelibet corpora cylindriformia aequo alta; hoc est quae producuntur ex quibuscunque planis in eandem altitudinem ductis , esse inter se ut bases. Eodem modo de pyramidibus, & cono sequὰ altis, & conicis quibuscunque ratiocinare.
ΡROPOSITIO XII. Onorum similium B AF , N I ZR proportio est triplicata proportionis diametr rum BF , G Q , sunt in basibus. Idemolindris similibus accidit.
Similium conorum basibus inscribe polygona ordinata , quae proinde similia erunt . Pyramides super his polygonis inscriptae coniS etiam . v.=g. sinailes sunt quod facile ostenditur. Ergo earum l. 11. proportio est triplicata a proportionis laterum , b d - BL, QE; hoc est b proportionis diametrorum BF, QR . Quare cum pyramides c in conos d ' Ῥὲἡ t.. , etiam conorum proportio d est triplicata uia 1 o. proportionis diametrorum BF , QR . Quod