장음표시 사용
281쪽
Liber Duodecimus ars PROPOSITIO XIII.
mentum axis O F. Demonstratur, ut prima sexti. Theorema eodem modo verum est de supe scies
aequalibκs sunt inter se , ut altitudines L MS F. Idem conis accidit. Abscinde ab altiori cylindro A R cylindrum A O altitudinis L E ejusdem cum S F. Igitur cylindri A O, C Ia aequales sunt . Cum igitur cy-m Iindrus ΛΟ sit ad cylindrum ΑR, ut D LE ad L. L , etiam CI erit ad Λ R , ut L E ad L Z,hoc est quia L E, & S F c aequantur ut S F ad LZ.
I que de pyramidibus, & demonstratio plane similis. Sed de prismatis ex coroll. I. prop. s. lib. I 2, & 23. lib. II. ejusque coroll. .De pyrami bus ex hoc, & eX 7. l. 13.
282쪽
bases, oe altit dines; G si reciprocant,ia. es sunt. Idem conis accidit. Demonstratur ut P 3 . tib II. sed pro 3 a. &a1. istilic citatis , hic adhibebitur prop. ii, α
Scholium. C m nihil attulerit Euclides de ratione eomp , ita in corporιbus , eam breviter hoc loco de
ma rationιm babeiit compositam ex rationibus basium , Cp alitud num . .
. Sunto cylιndri F D , cy Ab alitori nam in aeque altis res per se pia ιὶ ab cinde A Osque ait m , ac F D . bit etiam ut basiis VT ad basim M inita F ai X, cy ut altitudo 'D , - . seu BO ad altitudinem BR , ita X ad Z. Oportetigitur ostendere , cylindrum F I esse ad Olindrum a Par it. A Rc, ut FN en ad Y Cylindrus F D Hi ad cy- l. ia. lindrum AO , ut a basiis VT ad basim M ;b Percon- hoc , b ut F ad X Olindrus autem A O essau cylindrum A , ut e BO ad Biso hoc eo , i ut .d X ad Z. Igitur ex e aequo cylindrus F D sd Pereon ad cylindrum AR , ut F re ad Z. yr De prismatis res eodem modo demonstrabitur , e r sed εx coroll. i. p 9. a coro 7 p λ la stiam conus ad conum , iv pyramis ad Dr midem rasionem habent compo sitam ex rationibuFrius ad butim,s altitudinis ad altitudin m.
283쪽
Duodecimus. M7Sunt enim e cylindrorum , ac prismatum pam eri o.
ΡROPOSITIO XVI. XVII. HAE propositiones omnium prolixissimae non
alium Uim habent , quam ut demonstretur F. 18. quam nos alia faciliori via demonstralimus. Lemma ad P. I 8.
de lint. Sit Ρ L Y maximus hemisphaerii semicirculus, sitque radius A Z perpendicularis diametro P YSeca Λ Z in aliquot aequales partes Λ Μ , Μ N, N Z; ductisque per divisionum puncta Μ, N pe pendicularibus, &c. Inscribantur semicirculo rectangula OBRE, EDII S, quibus deinde extra circulum continuatis semicirculo circumstriapta intelligantur rectangula FTYP, LUBO, QXDE, eruntque omnia aeque alta excessus autem circumscriptorum supra inscripta sunt plana Fk, LS, XE, VII, TR , quae simul sumpta conficiunt rectangulum FTYP . Nam quia X E aequatur DS , erunt L S, VH. X E simul aequalia rectangulo LII ; hoc est O R . Quare si adjicias utrimque plana F k, T R , erunt simul omnia Fh , I S, XE, VH, TR aequalia r ctangulo FT Y P. Si jam intelligatur semicirculus cum rectangulis circa radium immotum Λ T circumagi, inscripta rectangula EII ; OR px ducent cylindros hemisphaerio inscriptos , & rectan3ula circumscripta producent cylindros hemisphaerio circumscriptos sibi mutuo insistentes ; & sicut rectangulorum circumscript P a rum
284쪽
rum excessus supra rectangula erat rectangulum FY, ita etiam cylindrorum circumscriptorum excessus supra inscriptos erit cylindrus
I rectangulo F Y genitus . Atqui hujus cylindri fallitudo fiet quavis data minor , adeoque etiam, Patet ex iris e quovis dato b evadet minor, si radio in plu- S i res sine fine partes diviso ractangulorum , indeque S cylindrorum numerus sine fine multiplicetur. Ergo cylindrorum circumscriptorum , , multoque magis ipsius hemisphaerii, quod cylindrorum circumscriptorum pars est , excessus supra inscriptos cylindros fiet tandem quovis dato minor. Ergo cylindri hemisphaerio in infinitum e Per desin. 'inscripti tandem desinunt c in hemisphaerium . o t. ι a. Quod erat demonstrandum. Corollarilim.
Eodem modo demonstrabitur, cylindros cono, conoidi, sphaeroidi, &c. inscriptos in ipsa
Phaerarum proportio est triplicata proportio-O nis diametrorum ΒΚ, ΚΖ,)Radiis ΛΒ , YR in quot placuerit aequales
partes, sed aeque multas divisis, ductisq; perdis Visionum puncta perpendicuralibus &c. Intelligantur maximis sphaerarum semicircisis inscripta esse rectangula seque multa , quae circa radios immotos ΛΒ , YR circumacta inscribant utrique hemisphaerio cylindros aeque multos sibi l 6. ' vicem insistentes. inita kC o est ad CF , ut CF a Per de- ad C B, erit ratio k C ad C B duplicata a ratio-fη Q adC F , hoc est rationis FCad CB. similiter
285쪽
Liber Duodecimus. 229liter erit ratio L E ad E R duplicata rationis X E ad E R. Sed per constr. est k C ad C A , ut Z E ad E R . Ergo etiam b F C est ad C B , ut X E ad ER. Sed B C est ad C O per conssae. ut RE ad ES . Igitur ex aequo e FC est ad Co , ut X E ad ES. Cylindri igitur d FL , X sis
miles sunt , ac proinde eorum proportio est triplicata e proportionis diametrorum FI, XV, seu semidiametrorum FC , X E, quae sunt in basibus Sed proportio F C ad X E eadem est cum px portione , quae est inter diametros sphaerarum
Bh, R Z nam ut jam ostendi FC est ad XE , ut Co ad ES; hoc est ut Bh ad R L, ipsarum
CO, ES per constr. aeque multiplices. )Ergo ratio cylindrorum F L , X inest triplicata rationis diametrorum Bh, R L. Eodem modo demonstro bimus, singulos cylindros hemisphaerio uni inscriptos ad cylindros singulos inscriptos alteri hemia sphaerio rationem habere triplicatam rationis di metrorum B k, R L. Ergo etiam ratio simul omnium ad omnes simul i triplicata est rationis diametrorum B k , R L . Quare clim aggregata cylindrorum tandem in hemispheria k desinant , hemisphaeriorum quoque, ac proinde & sphaerarum ratio triplicata erit n rationis diametrorum. d
Corollarium. Nota igitur : proportione diametrorum etiami phaerarum proportio innotescit , ut si minoris diameter sit unius pedis, majoris I O. con
tinuetur ratio I. ad Io. per quatuor terminOS I. IO. IOO. IOOO. ut I. ad IOCO. quartum terminum , ita
sphaera minor ad majorem. Conorum , Cylindrorum , s pherae dimensio
286쪽
dabitur lib. se l. ex Archimede . Scholium.
Q madmodum similes plana figurae per m
diam proportionalem unam , ita corpora similia non nisi per medias duas in proportione data augentur , vel dimrnuuntur .s; is sphaera, vel cubus, vel adiud remur' quodcunque, cujus radius, si e latus sit M. Dalaitem sit proportis quaecunque A ad B, ut dupla . Oporteat exhibere corpus is duplum dati , is simile. Inter terminos rationis datae B it neniantur duae media proportionales X, Z, ut docuimus
inscbolio post 13. I. 6. sp ra, cujus radius est X, sive corpus dato simile factumsuper latere X erit duplum dati. Nam corpora similia, quorum radii , seu lat ra sunt A, er X, rationem inter se habent triplia Coroll.a catam a rationis A ad X; hoc est , eamdem , bpqr quam A babet ad B. z ' Atque hoc est celabralissimum illud problema, Deliacum a Deliaco Apolline dictum en , siti iou. . ip od is tue saevi βma Aoenas populante consultus respondisset, pestem cessaturam, si ejus ara,
289쪽
Ha faciliori , ac bretiori demonserata ,ερ novis tamentis aucta.