장음표시 사용
291쪽
Uammis in Matbematicis disciplinis complures summi , O admirabi
les viri extiterunt, prima tameu
gloria communi quodam consensu Archimedi Bracusano delata es . Sed illum plures laudant , quam legant , admirantur plures , quam intelligant . Cause , Uinor , sunt exemplarium moles, O raritas , sermonis ex Graeco translati obscuritas nonnulla , demonstrationes prolixae , O ardua.
Putami igitur ex studiosa juventutis usu futurum , si elementis jam illuseratis, haec
a me selicta eκ rchimede theoremata , Ovia multo faciliori , ac bremiori demonstrata subnecterem. Selegi porro ea, qua O admirationis plus , O utilitatis habent , Tiamque in demonstrando eam tenui, ut Derem, eum , qui elementa perceperit , haec summi Geometrae praeclarissima inmenta negotio haud magno absecuturum. Sub finem adjeStis tredecim
292쪽
decim propositionibus Archimedis de olindro, Osphaera doctrinam ampliorem facio , atque inter caetera demonstro se quia steram proportionem in tribus corporibus obira , culindro , O aequilatero cono, utroque obara circumscristo , continuari. Varia insuper sparsim, inter quae propositio 12, O corollaria prop. Id .praecipua Junt, di Jcbolia omnia adjeci . Fruere sis , qui uis Geometria candidatus es , O quantum ex Euclide profeceris, in Ogrchimede experire . Cumque in meritatum pulcberrimarum contemplatione defigi te, emebique bursum persenseris , mentem ab infimis hisce rebus f
liciter jam avulsam attoIle etiam altius , atque dirige ad meritatem primam aeternam , immensam , quae Deus est , clus ineffabilimsone nos futuros aliquando aeternum bes res confido. Vale.
293쪽
circulus B ECG, cujus centrum s- 'A, diameter BC, quam ad rectos an .ae Febiam gulos secet recta E G non per cem maia, B-trum,videlicet in D. Ex centro autem et edueantur radii AE, AG.Hispositis.1 Sector sphaerae est, quia sectore circulari Α ECG, seu AEBG circa diametrum BCir orbem acto producitur . . a Segmentum, seu portio Sphaerae est, quan circulari segmento E C G, seu E B G circa eamdem diametrum BC in orbem acto describitur.3 Portionis sphaericae E B G vertex est di metri immobilis extremitas B. Basis est circulus a recta E G descriptus. Axis est diametri pars B D inter verticem B, & D centrum baseos im
Cum sphaeries portionis , aut corporis eἔinscripti, aut coni superficiem nomino , semper intelligo absque basi ; & dum cylindri super ciem dico, intelligo similiter absque basibus, nisi adjungatur tota), tunc enim accipiuntur & b
Rursum cum de cylindris, vel conis ago, non alios intelligo quam rectos. V xi
294쪽
Axiomasta. pla. i. O 1 DOlygoni circulo inscripti ambitus minor est L circuli peripheria. a Polygoni circulo circumscripti ambitus ci culi peripheria major est. 3 Quod si polygonum circulo inscriptum circa diametrum Λ E in una cum circulo circum gatur , erit corporis a polygono geniti superficies minor sphaerae superficie . Et si polygonum circulo circumscriptum circa diametrum una cum circulo circumagatur , erit corporis a polygono geniti superficies major superficie sphaerae. Similiter ambitus polygoni inscripti segmemto eireulari D A Fin minor est peripheria segmenti D Λ F. Et si polygonum segmento inscriptum vn cum segmento circa segmenti axem AO circumagatur , erit corporis a polygono geniti superficies minor superficie portionis sphaericae
s Superficies prismatis cylindro inscripti mi-O 6 nor est cylindri superficie, cirumscripti vero major. Fig. 4. 6 Et superficies pyramidis cono inscriptae mis . nor est coni superficie, circumscriptae aute major.
solidae A, B. Sint autem magnitudines aliae semper atque aliae , quae Huras datas A , ac Bsi minus, ac minus excedendo in ipsas a de- μ' ' sinant , tamen semper inter se aequales sint
295쪽
Eκ Archimede . Dico etiam figuras .a,su aequales esse.
Si non, alterutra major erit: E. F. sit ergo A major quam B excesi A. B. X. sit X. Per hypothesim dantur magnitudines E, F inter se aequales , quae eXc dunt figuras A, B excessu minori, quam X, quo A ponitiiu superare B. Ergo F minor est quam A. Sed F per hypothesim est aequalis E. Ergo e iam E minor est quam A, quod est absurdum .; cum per hyp. E excedat A. Eodem modo ostendam B non posse esse majorem quam A. Ergo cum
neutra sit major altera , aequales erunt. Quod erat demonstrandum.
sint figurae B; sint autem magnia tudines adiae semper atque aliae , quae a f-guris datis femper minus , ac minus desciendo in ipsus b desinant ,.s semper iκter se aequalesset Dico etiam Duras datas aequales fore.
A. B. T. Si non , alterutra minor erit .
O. P. Esto igitur A minor quὲm B desectu L. Per hypotheum dari pos sunt magnitudines o, P inter se aequales , quae deficiant a figuris datis A, & B defectu minori quam Z, tuo ponitur Λ deficere a B. Ergo P m jor est quam A. Sed P per hypothesim est aequalis o. Ergo etiam o major est quIm A, quod repugnat hypothesii, qua statuitur o minor quam
A. Eodem modo ostendam B non esse minorem quam b Dasinin. lib. IM
296쪽
quam Λ. quare cum neutra sit minor altera , a quales erunt. Quod erat demonstrandum.
P.ROPOSITIO III. AMbitus pol morum circulo circumscriptorum , O inscriptorum desinunt in circuli peripheriam . Similiter oe polygona ipsa in circulum desinunt . Si nimirum arcubus sine fine bisectis plura semper , ac plura latera circulo circumscribantur, dc inscribantur. x Pars. Intelligantur circulo inscripta , & ei eumscripta polygona ordinata, sive ut traditur p. 12. lib. q. sive ut in hac figura , perinde erit .
Manifestum est a FI esse ad EC hoe est to
tum ambitum circumscriptum ad totum ambitum inscriptum ut ΙΛ est ad C A Λtqui IC excessus rectae ΙΛ silpra C A si tandem
quacunque data minor , si plura semper , ac plura in infinitum latera circumscribi , & inscribi intelligamus. Ergo etiam excessus ambitus circumscripti supra ambitum inscriptum tandem fiet quovis dato minor . Ergo militoc magis excessus ambitus circumscripti supra peripheriam fiet quocumque dato minor . Similiter , quia jam ostendi defectum ambitus in- 'seripti ab ambitu circumscripto seri quovis dato minorem, multo o magis defectus inscripti ambitus a peripheria fiet quovis dato minor . Ambitus igitur tam inscripti, quam conscripti in iapheripheriam d desinunt. Quod erat primum Haec ulterius demonstrare operae pretium nouest , cum satis sint manifesta.
297쪽
a Pars. Quia jam ostensum est excessum lateris FI supra latus EC fieri tandem quovis dato mi
norem est enim FI' ad E C , ut I A ad C A in
etiam excessus quadrati FI supra quadratum EC fiet quovis dato minor . Sed ut quadratum FI ad quadratum EC, ita e polygonum circum s criptum ad polygonum inscriptum. Ergo ςtiam excessus polygoni circumscripti supra inscriptum tandem fiet dato minor. Ergo multo magis excessus polygoni circumscripti supra circulum tandem fiet dato minor ; ac proinde & p lygoni inscripti defectus a circulo dato minor
aliquando erit . Igitur polygona circulo ta inscripta, quam circumscripta in circulum i des. mini. Qtiod erat alterum.
Pol nonum o ordinatum circulo conscriptum FI I:j. i. aquati r triangulo , cujus basis en o Desin. Ombitus postgoni, altitudo vero circuli radius . ι 4 Et polygonum ordinatum circulo inscriptum sequatur triangulo , cu ius basis est postgoni inscripti ambitus , altitudo vero perpendicularis μοὶ
in latus unum ex centro ducta.
I. Pars. Radius AB ad contactum ductus aest perpendicularis ad tangentem IF . Qirare si ductis rectis AF , AI, AN , dcc. polygonum
resolvatur in triangula, erit radius AB commmunis omnium altitudo , adeoque triangula ipsa liquet esse aequalia . Ergo triangulum basim habens parem summae laterum FI, ΙΝ, ΝT,&c. altitudinem vero AB aequabitur illis b omnibus, hoc est toti polygono circumscripto. a. Pars
298쪽
a Pars. Simili fere ratiocinio concludetur
a. Iradus est aequalis triangulo , cujus basis est peripiaria circuli, altitudo autem semidia
Polygona ordinata circulo circumscripta , &. triangula bases habentia ambitum polygoni , al-ρἡὰE. titudinem Vero radium circuli, semper sunt a se-b Per s. qualia. Atqui polygona circulo in infinitum ei hujus. cum scripta in circulum b desinunt, similiterque triangula ut mox ostendam) quae pro basi habent ambitum polygoni circumscripti , pro altitudine vero radium A B, tandem desinunt in triangulum pro basi habens peripheriam, pro altitudine e Per I. radium Λ B. ergo c circulus , & triangulum pro ἡμὶμ - habens peripheriam , pro altitudine radium A B aequalia sunt.
d autem triangula sub ambitu polygoni,&radio desinant in triangulum sub peripheria , &radio , sic ostendo . Triangula stib ambitu ci cumscripti polygoni, & radio A B sunt ad tria i Per 1.L6 guluna sub peripheria, & radio AB , ut i basi, ad basim , nempe ut ambitus polygoni ad periapheriam, clim altitudinem habeant communem . ' ambitus polygoni in peripheriam k desinit. Ergo & triangula desinent in triangulum.
t et X hae & 4r. I. I. patet,rectangulum subr '. dio, & dimidia' circumferentia esse sequale circulo: sub radio tota circumferentia esse duplum
299쪽
rchimede . a Iduplum ; sub tota diametro , & tota circumse rentia enti quadruplum circuli. a Circulus est ad quadratum sibi inscriptum, ut circumferentiadimidia C D Eὶ ad diametrum;
ad quadratum vero circumscriptum , ut quarta circumferentiae pars ad diametrum.
Nam rectangulum sub CDE, & radio C A, seu GF hoc dest ipse circulus est ad rectangulum G F CE, nimirum sub FG, & CF, hoc est ad quadratum inscriptum BCDEὶ ut e CDE dimidia circumferentia est ad F G, seu C E di metrum ; quod erat primum ; ac proinde circulus est ad duplum rectanguli GFCE hoc est ad F H quadratum circumscriptum , ut C D Ead duplam diametrum C E,sive ut quadrans C Dad diametrum C E.
CIrculi circumferentia diametrum continet m-nus quam ter, ita unam septimam seu ), pias vero quam ter, er U. Ad hujus Theorematis demonstrationem 'as.
sumit Archimedes polygona ordinata alterum ci culo circumscriptum , inscriptum alterum , utrumque ρε laterum. Deinde ostendit 96 lat Ta circulo circumscripta continere diametrum minus quam ter& L: ac proinde circumferentia, quae ipsis minor est, etiam continere diametrum minus quam ter,& L. Latera vero 96 circumferentiae inscriptas ac proinde & circumserentiam, quae ipsis minor est amplius continere diaet
300쪽
Lametrum, qu inter, &-Poxxb longior est hujus rei demonstratio, quam ut hoc loco adseseri debeat. .Quod si ad polygona plurium adhuc laterum Geometricum ratiocinium velimus extendere , limites jam statutos arctare poterimus magis, magisque sine termino, atque ita propius in infinitum ad veram proportionem accodere. Praestitum est hoc a Ludolpho Ceulen , Grimbergero, Μetio, Snellio, aliisque . Proportiones praecipuas hactenus inventas hic subjicio. Prima est Archimedis hujusmodi Diameter ICircumfer. 22. major Vera. Diameter 71 Circumf. 223. minor vera Rationes az. ad 7 , & a 23 ad i. si ad commone consequens reducantur quod fit eodem modo, quo fractiones revocantur ad eundem denomina
erit circumferentia major vera Is εχ& circumferentia minor Vera I 361 .
Utraque igitur a vera differt quantitate nain xi, quam sit pars diametri. Quod si rationes 7 ad χχ, & I ad ras reducantur ad commune ConsequenS, provenient rationes as6 I ad ΑθQ6,& 116α ad 69O6. Posita igitur circumferentia partium q9o serit diameter nor vera I 361. diameter major vera I 3 62. Utraque igitur a vera diametro differt quanta tale minori, quam sit nos circumferentiae.