장음표시 사용
301쪽
io accuratior . Iuxta hanc est. Diameter II 3. Circumf. 33 inter omnes parvis numeris constantes ianitaverae propinquior : ex hac enim, posita diametro Io, OOO, OOo, provenit circumferentia 3I,
AI , 9a9 , quae a vera solum penes notam priamam 9 dissert excessu paulo majore, quam sine duae particulae decimillionesimae diametri ''Sed utraque multb exactior est gemina illa Li dolphi a Ceulen: prioris termini constant notis a I, posterioris vero notis 36.
Disserentia utriusque circumferentiae est pam licula una diametri denominata numero, qdi constat unitate, & ao cistis, ac proindὰ haec, qu m illa a vera circumferentia disteri minori quantitate, quam sit diametri particula dicta, videlicet centies millionestes missionesies Qillio i
302쪽
Differentia utriusque circumferentis , interquam vera existit, est diametri particula una tadenominata a numero , qui constat unitate , dc di s cistis, quae particula ad diametrum minorem
habet proportionem, quam arenula una ad orbem terrae . Non. enim constat orbis terrae tot arenulis , quot continentur particulae tales in diametro .
Frustra igitur sit ulterilis progredi . Progrediere nihilominus ultra in infinitum , si ratiocianium Geometricum , crins methodum expediatam tradit Snellius, placuerit continuare . sobolii .
PF oportionis jam traditae fructus eximiisum hi ,
qui sequuntur.' Inventio Diametri ex circumferentia. Μ orem terminum unius d proportionibur
jam traditis statue primo loco , minorem secundo, circumferenιiam tertio; bis ιribus numeris quaeratur per regrelam auream quartur propcirtionalis; is erit quaesita diameter. Ut si detur circumferentia maximi circuli terrae milliaria continere Belgica unius horae 8sa oo quae . ratur terra diameter, sic natum termini
Juplica jam fecundum per tertium, o productum divide per primum; pro veniunt, milliaria Belgica*7Fo pro diametro orbis terrae .
303쪽
Eκ Archimede, ' a sinuentio circumferentiae ex Diametro . ΤErminus minor unius ἡ proportis ibus supra
truditis statuatur primo loco: major secundo e Diameter nota terito. His tribus numeris quaeratur quartus proportionalis. Is daliis quaestam circumferentiam. Visi detur orbis terrae diameter continere millia
ria Belgica unius borae arso a s quaratur ambia rus ; termini ita stabunt i
Toc secundum mulsiplica per tertium, N produ'ellam divide per primum t provenient milliaria
Belgica 8 o. pro ambitu orbis terrae. Quam modita bae circumferentia veram exce-d dictum est supra , excessu videlicet paulo majore,quam sint diametri terrestris duae particulae decimilitonesimae, boc est se Iopedibus sentandisis, quorum I 8ooo constituunt milliareborariam. d si usamur proportione Ludo bina
etiam priori , cujus termini conflant 2I notis in venietur circumferentia insensibiliter a vera diste, ros non solum diametro data milliariorum setigicorum a7so, qualis en terra; verum etiam Ii, , cet diameter ponatur centum milliarium eorun
dem milliariorum, qualis fortas est diameter framamenti ue hac exum posita proveniet circumferen- ua minori quantitare a tera disserens , quam una centimillionesima particula pedis Mynlandita . od si ad infestigandam circumferentiam ortis terra istamur proportione Archimedis , intervati tum circumferentiarum vera majoris, ac minoris excedet s milliaria Bestica. Non est igitur udbib
304쪽
da Archimedaea proportio, nisi in quantitate pamva ; imo semper expediet Metiana uti , quae modicis constat terminis , er plusquam millier exactior est.
SEmidiameter multiplicata per dimidium ci
cumferentiam producit area' circuli: quemadmodum patet ex coroll. I . p. s. hujus.
Ut si semidiametrum orbis terrae , quae neglecta fructione continet milliaria Belgica 137s,muutiplicemus per dimidium terrae ambitum, per milliaria nempe Belgica q32o; provenient milliaria estica quadrata,9qo, oco pro circulo maximo terrae . Dsserentia inventa circularis areae a vera habetur , si disterentia inventae circumferentiae dimidiae vera ducatur in femidiametrum δε- tam , aut se diffrentia semidiametri in entae ὰ Fera ducatur in datam semicircumferentiam .
Dimensio cylindrorum, & Conorum. Um bic appono, quod a circuli dimensione pendeat. Cylindrus igitur ,s prisma quodvis
producitur ex aItitudine multiplicata per basin conus, O nramis ex tertia altitudinis parte in basim dudia,sunt enim partes tertiae cylindrorum , ac prismatum eandem cum ipsis basim , ct estis, tudinem habentium per Io, er 7. lib. I a. Sit bassis cylindri , aut coni so ped. quadrato, rum , altitudo pedum Ico. Duc Ioo in so, pro veniunt soco pedes cubici pro soliditate cylindri. Duc tertiam partem altitudinis Io o, nimirum 33 in proveniant I 666 pedes cubici tro soliditate coni.
305쪽
nem babent, quam diametri. Fig 6.O
Nam polygonorum similium circulo sine fine inscriptibilium ambitus sunt inter se semper , qui a diametri AF,&I C. Sed hi bambitus in p. L. peripherias desinunt . Ergo e etiam peripheriae b Per s. sunt inter se ut diametri. Quod erat demonstr. hujus.
S perficies primatis Cylindro tam eis pti, quam inscripti aequatur rectangulo, cujus altitudo in Iasus olindri , basis vero aequalisperimetro basis prismatica.
r. Pars. Prismatis conscripti superficies tam git cylindrum secundiim lineas EA, N F , &c. quae sunt cylindri latera ; haec autem qubd ex hyp. cylindrus sit rectus ) ad planum baseos recta sunt, ac proinde etiam d recta ad lineas C G, d Per δε--GΜ , &c. Sunt vero & aequalia inter se . Ι - sin. 3 ι ιι tur unum cylindri latus communis est omniumsrectangulorum C Ο, ΟΜ, ΜΗ, &c. altit do . Conscripti igitur prisinatis superficies a quaturis rectangulo sub ambitu bass prism cae, & prismatis, seu cylindri latere contento. fEadem est ratio secundae partis, nam latus δ' R'si' cylindri communis rursum est altitudo rectangulorum B DI k, k I &c. quae constituunt si perficiem prismatis inscripti.
306쪽
Pyramidis ordinatae eono recto circumscriptis superficies aequalis est triangulo , cu)us b sis est baseor pyramidalis circumferentia FHLD , altitudo autem latus eoni BG. Et pyramidis ordinate cono recto inscripta βι- perscies aequatur triangula , cujus basis est ba: feos pyramidalis circumferentia , altitudo vero perpendicularis BO a vertice in latus baseos
deducta. I Pars. Ducantur ad contactus G, k,M rectae B G, B k, B Μ. Erunt hae rem coni latera, ae proinde aequales . Et quia axis B Aa rectus est basis plano Fh D , etiam planum b GB Λ plano Fh D rectum erit. Atqui H G perpendicularis c est ad Λ G communem sectionem planorum FED, & G B Λ . Ergo H G etiam d recta est plano GBA, ac proinde perpendicularis quoque est ad e ipsam B G . Ergo B G latus coni , est altitudo trianguli F B H. Eodem modo latus coni erit altitudo reliquorum H B L, L B D &e. Igitur triangulum circumferentia FHLD , &latere coni comprehensum sequatur superficiei . pyramidis circumscriptae absque basi . Quod rat primum. a Partis similis serὰ demonstratio est.
307쪽
ΡROPOSITIO X. SUperscier primatis ordinati cylindro recto
circumscripti desinit a in cylindri superficiem: ' cho nramidis cono recto circumscriptae superscies ἴii. in coni superficiem desinit.
1 Pars. Prismatum ordinatorum cylindro mne fine conscriptorum , & inscriptorum superficies habebunt tandem inter se differentiam data minorem, uti facile patebit ex 8,& hujus. Multo igitur magis superficies circumscripti prismatis a superficie cylindri inter inscriptam , &circumscriptam media differet differentia minori , quacunque data; hoc est , b desinet in cylindrieam perfidiem minus semper , ac minus excedendo. x Pars. Eodem modo ostenditur ex 9, & 3.hu
In Ruris tantum exbibentur Olindri , ni semisses , ne mulltitudo linearum confusionem p reret . Caeterum cogitandi sunt cylindrus , o conus integri, quos prismata , cr nramides circumscripta ambiunt . Sic enim clarius apparet , planas superficier circumscriptas esse majores, est 3 axiomate. Lemma ad sequen. SInt , c D, EF proportionales, sitque KB Fig. . dimidia AB , N EG dupla EF ; etiam AB, CD , EG proportionales erunt. Recta k B est ad ΛΒ,ut EF ad E G. Rectangulii ergo EB, LG aequatur per I 6. l. 6. re lagulo Λ B, E F.
308쪽
EF. Sed hoc per II. l. 6. aequatur quadrato CD.
Ercro & rectangulum Κ B, EG par est quadrato e D. Ergo per 37. lib. 6. ΚΒ, CD, E G
olindrica . Intelligantur circulis ABN, GPH circum- seripta esse ordinata polygona; adeoque similia ΝΜ, RS , & super ΝΜ polygono erectum esse prisma cylindro circumscriptum. oniam BD, GH, BC ex hyp. sunt proportionales , o Per tem. etiam AD seu AN GH & dupla BC . pro-
. Per ,hμ' portionales erunt. Iam triangulum sub AN, α' ambitu polygoni MN contentum a sequatur p lyπono conscripto NΜ; rectangulum verb subbPatet φη Bist, seu EF, & eodem ambitu ΝΜ hoc tib ' itiangulum sub ambitu ΝΜ, & dupla I C) aequaloe Per 8. este superficieiprismatis cylindro conscripti. A bis i. qui triangulum sub ambitu ΝΜ, & AN est ad trias Peri .l.6. angulum s ab ambitu ΝΜ, & dupla BC, ii ut AN ad duplum BC. Ergo etiam polygonum ΝΜ est ad superficiem prismatis cylindro conscripti, ut AN ad duplam BC. Sed quia jam ostendi AN,GH duplam BC esse proportiunales , ratio AN ad dod Pej desi. plam BC est duplicata d rationis AN ad GH. Er ' o. lib. D polygonum ΝΜ ad superficiem prismatis rati nem habet duplicatam rationis AN ad GH. Sed e
iam polygonum ΝΜ ad simile sibi polygonum GRQ rationem habet duplicatam rationis AN ad GH s
309쪽
rchimede . 23 IGH, ut facile colligitur ex I. lib. I a. Ergo p lygonum ΝΜ ad supersiciem prismatis, dc ad p lygonum GR QS eandem habet rationem ; quae proinde aequalia e sunt. Eodem modo ostendam, i. , ''prismaticas superficies cylindro in infinitum circumscriptibiles semper aequales esse polygonis , quae circulo GPH in infinitum circumscribi possisunt. Quare cum & superficies prismaticae fili fcylindri superficiem, & polygona i in circulum h GPH desinant, etiam cylin,i superficies circu-
Io GPH aequalis Quod erat dem. I dij i. regio hoc theoremate exhibetur circulas ae h V 'qualis superficiei cylindricae . i
i perficies olindri recti aequa is est rectam Fig. s. o gulo sub larere BC ,.s baseos peripheria ε
Dupla BC ut ostensum supra) est ad GH,
ut GH ad BA, seu AN; hoc est, ut n periphe- ria P ad peripheriam ΒΝ. Ergo triangulum subprima nempὰ dupla BC, & quarta nempe perbpheria BN aequaturp triangulo sub secunda GH, Ist tertia , peripheria scilicet P. Sed triangulum δ'' /ρ θ' sub GH, & peripheria P aequale q est circulo ' β' GPH; hoc est, r superficiei cylindricae. Ergo etiam triangulum sub dupla BC, & peripheri h ui. N hoc est, frectangulum sub BC, & per, I Patet ex
pheria BN cylindricae superficiei aequale erit. Ιει. 1. Qiod erat demonstr. , Ex hoc corollario manifestum est rectangulorum Proprietates superficiebus cylindricis rectis esse
310쪽
communes. Esto igitur corollarium.
I .ao.O a Cylindricae superficies B M , Ῥὶ aequo a I .l. I a. altae sunt inter se, ut basium diametri BF,Q Nam rectangula sub peripheriis C L, S E, rectis aequalibus FΜ, RN comprehensa; quisbus cylindricae superficies ιι sunt aequales, sunt fPer r. inter se e ut bases peripheriae videlieet CL,SE; hujui. hoc est fui diametri BF, QR. Fig 33-m 3 Cylindricae superficies CI, A R , quae ba- i ses habent sequiaes , sunt inter se ut altitudines TI, BR . Rectangula enim sub aequalibus per nye peri-gPer eο- pheriis GH', Μ θ lateribus TI, BR eo r*it tenta , quibus superficies g cylindricae sunt mi Per ι G sitiit inter i se, ut TI, BR- Similes cylindricae superficies ΒΜ, RII FU Q O rationem habent duplicatam ejus , quam hGςDςa i, 3 basium diametri BF, QR Cum cylindri ponantur similes , erit MF ad I , o ut BF ad 6 R , hoe est, p ut periph j. xia CL ad peripheriam SE . .are etiam rotui. ctangula sub peripheriis CL, SE, & lateribus
Μ F, I Q contenta similia erunt,ac proinde ratio . ι Per aQ. nem inter se habebunt i duplicatam eju , πη
inter se habent compositam ex rationibus ine
quae sunt in basibus . . 1ig.a O 6 Si aequales sunt cylindricae superficies A R,
ita reciprocὸ altitudo F H ad altitudinem R B ,& 4 converse. 7 Denique ex eodem x. coroll. habetur cyli dricas