장음표시 사용
311쪽
himede . Micae supersciet dimensio, si nimirum altitudo ducatur in baseos peripheriam, ut si altitudo sit pedum ao, peripheria basis pedum ε; multiplicaao per ε, proveniunt Izo pedes quadrati pro cylindrica superficie .
ut 0lindri Iesus scBὶ ad quaintam s. partem diametri baseos. Sit GH media proportionalisinter BC, &BD
diametrum basis, ac proinde etiam media a pro- α Per .
portionalis inter BA, seu AN, & duplam BC. Circulus GPH radii GH aequatur curvae superficiei b cylindricae C D. Sed circulus GPH ad h. ., eylindri basim ABN rationem habet duplicatam e να. Le rationis GH ad AN ; hoc est d eandem, quam dula BC ad ΒΛ radium; hoc est eandem, quam BE ad Bo quartam diametri partem. Ergo etiam supersietes cylindrica est ad basim ABN, ut BC ad Bo quartam partem diametri BD. Quod erat
S Uperficies cylindri habentis latus diametro basis aequale, baseos quadrupla est. Si verblatus fuerit quarta pars diametri baseos, superificies cylindri basi aequalis erit. Utrumque ex Propositione manifestum est.
PROPOSITIO XIII. CIrculus, cujus radius OL est mediuspre portionalis inter eoni recti latus BC ,σb si radium AC, aequalis en superficiei conica.
312쪽
Intelligantur circulis AC G , OP L circum . scripta esse polygona ordinata E F,IN, & super polygono E F erectam esse pyramidem cono ci
Quoniam per hyp. AC, seu AG est ad OL,
ut OL ad BC , erit ratio Λ G ad BC duplic adesi. Io. ta a rationis Λ G ad O L. Sed ut AG ad BC, . ita triangulum sub A G , & ambitu E F est ad triangulum sub BC, & eodem ambitu EF. E go ratio trianguli sub A G , & ambitu E F ad triangulum suo BC ,& eodem ambitu est etiam duplicata rationis AG ad ΟL. Sed triangulum: per 'ν sub A G, & ambitu EF sequale est b polygonoe P.=9.bis. re triangulum sub BU , & eodem ambito. E F sequale e est superficiei pyramidis circumscriptae. Ergo ratio polygoni EF ad stiperficiem pyramidis etiam est duplicata rationis AG ad O L . Atqui etiam ratio polygoni E F ad polygonum sibi per constri simile IN est duplicata Pers t d rationis A G ad O L . polygonum EF
ad superficiem pyramidis , sic ad polygonum IN eandem habent rationem, quς proinde squae I rs l. Ita e erunt .. Eodem modo ostendam superficies ' pyramidum, quae cono in infinitum magis mi
gisque polygonae circumscribi possunt , sempersequales esse polygonis , quae circulo OP L possunt circumscribi etiam in infinitum . Quare , fPὸν 19. & pyramidum I superficies in coni supers- hujus . clam, & polygona in circulum, OP L tandem Por 3 hu. desinant, etiam coni I superficies, & circulusi x - ΟΡ L erunt aequalia. Qvqd erat dem. ιPer praeclaro theoremate exhibetur cir ἰμ 'I supersciei conicae aeqκalis.
313쪽
ripheria CG comprebenso. Sit ΟL radius media promtionalis inter AC,& BC. Quia peripheria CG in ad peripheriam P, ut a radius A G ad radium OL ; hoc est per aphἡ hyp. ut o L ad B C , erit triangulum sub pri- butis ma, nempὰ peripheria CG, & sub quarta BCb aequale triangulo sub secunda, nempe peripheria P, & tertia O L ; hoe est c circulo O P L , 'hoe est d superficiei conicae BCD . Quod erat histis:
Ex hoc corollario liquet superficies conicas triangulorum subire leges. Itaque . a Superficies conicae B AF, QXR aequalia Fig m. latera B A, Q X habentes sunt inter 1e , ut b, σsium diametri BF, QR. 3 Et CFT, AZB) , quae bases habent et quales, sunt inter se, ut latera C F, A Z.ὶ λ tib Et, quae similes sunt B AF, YZR , duplicatam habent ratiotiem ejus, quae est inter ba- Oditi ib. sum diametros. I 2.3 Et quaelibet rationem inter se habent com- ead.
positam ex rationibus laterum BA , QZ,ὶ &diametrorum B F, QR ) , quae sunt in basibus.
6 Et, quae aequales sunt, reciprocant latera,& basium diametros ; dc quae reciprocant, sunt
aequales. Quae omnia demonstrantur ex coroll. I. ut supra colloraria de cylindriea superficie deduximus ex corollario isthic primo. 7 Metiemur denique conicam supersicie,si Iatus A
314쪽
FC per baseos peripheriam dimidiam multiplie mus. Ut si latus sit dum 3, peripheria baseos pedum Io, duc 3 per Io, proveniunt so pedes quadrati pro conica superficie . Dem. patetex eo
PROPOSI TIO XIV. Coni rectasuperficies est ad basim,ut latus BG ad basis radium INter latus BC, &basis radium AC sit media
proportionalis OL. Ergo ratio BC ad AC est duplicata e rationis OL ad AC . Jam circulus r dii o est aequalis superficiei conicae CBD. Sed hujus ratio ad eoni basim ΑCG est duplicata arationis ad M, ac proinde eadem cum ratione BC ad AC. Ergo etiam ratio superficiei
conicae CBD est ad balam ACG, ut BC ad AC. Quod erat demeorollaria. 1 Uperficies coni recti a triangulo aquilateraeirea perpendicularem circumacto g nisi baseos dupla en- Est enim KB Iatus aequale BD, adeoque duplum semisseos AB, quae baseos radius est. a Superscies reni a rectangula triam 'lo aequia eruri EBD producta ect ad basem, ut in quadrato diametem ad lagus . ' Ducta in perpendiculari BA, angulus rectus B
315쪽
Ochimede. 2 e 7 bisecatur , adeoque A B D semirectus est est autem& ADB bseivirectus. Ergo DA,'BA ;- c aequites iunt, M proinde BD est diameter qu sati Ak , latus vero. AD . Est vero eadem , yz. t. I A D servidiameter baseos PT, cum perpendi- eularis A B secet d bifariam E D Ex ori &hac I patet corollarium. '
dimidium latus coni. Nam superficies coni GBN est ad basim ΜI, e Peria . ut Iatus B N ad e semidiametrum basis Q N hoc est, ut dimidium lateris BN ad quartam partem diametri GN . Est autem basis ΜΙ ad 1uperficiem cylindri G k , ut i quarta pars diametri ad ID, N k cylindri Iatus . G aequo igitur superficies conica HNest ad superficiem cylindricam Glaut dimidium latus coni ad cylindri latus N E Quod erat demonstr.
gulo sub duabus simul sumptis QD.
N P perpendicularem N A se tu Iem N V, completoque ΝΟ rectangulo, duc Er diameter ΡΛ . Tum ex o parallela QE ad ΝΛ secet ΡΛ in B. Per B ducatur CF para tela ad N P. Quoniam A N est par N V, patet a gae
parem Q D . Igitur rectangulum roll. Dp. .
316쪽
ut probemus rectangula o B, EC, BN sequari, rectanoulo sub NH& duabus N Λ, QB, hoe est suζNQ , θ: duabus NV , QD. Id vero est
manifestum: rectangulum enim 1 ub N NA, ιPeri .M OB aequantur b his tribus rectangulis sub N
rursum spatio BN , ac proinde spatio O B, quod e Per 3 I. ipsi BN c aequale est . Liquet ergo propositum.
parallelo, dico circulum GHM, cujus radius GH est medius inter partem lateris P Q, scirculorum Q SK, HZO radiosi OD , simul snmptos , aequalem esse supersciei conica inter parallelos circulor I , O intercepis. Inter P N , S: N V media sit G F . Item imter P in& 69 sit media Gh, describanturque' circuli GFL, GkT. Erit hic b aequalis superficiei conicae QPR, ille superficiei c ΝΡΟ. Rectangulum P N V sequatur d rectangulo PQ una cum rectangulo sub N Q, & N V , sibmul sumptis. Sed quia e GF media est proportirnalis inter P N, N V , rectang. PN V est aequales quadrato GF,& quia Gla est i media inter PO , QD, rectang. ι PQ D sequatur quadrato G Κ: & quia G H media m est inter , &Q , N V simul sumptax, rectangulum sub QN, , N V simul silmptis aequale est n quadrato G H. Ergo quad. GF par quoque est quadratis G H G k . Ergo clim circuli sint inter sTut o quadrata radiorum , erit qu0qMς ί
317쪽
nicae N PO. Ergo etiam superficies conica NPO, .sequatur duobus circulis G k T, & G ΗΜ. Atqui superficiei NPO pars una QR R r aequalis est ν Per ea d. circulo GkT. Ergo reliqua inter parallelos circulos ZZ , S S comprehensa aequatur circulo G H M. Quod erat demonstrandum.
Lemma ad sequen. Ectae BII, CG , quae in circulo aequales ara is cus BC , HG intercipiunt,sunt para gelae.
Ducatur enim CH. Quoniam arcus B C, H G per hyp. sunt aequales , etiam a anguli B H C , a v. 19. GCH alterni aequales erunt. Ergo BH , & l. 3.
C G sunt parallelae. Quod erat demonstr. :
I cribatur circuito mura regularis parilatera, Fla. it.
Ο aequilatera, ducaturque EB al extremitate diametri ad B terminum lateris diametro proximi ;angulos vero aequa liter distariἰes ab A , yιngant rectae BII, CG , DF. Dico, rectangulum, quod diametro AE , G μυ- teno EB continetur, aequari rectangulo, quod si ex latere uno murae inscriptae AB, vel BC e c.
o ex omnibus jungentibus AH, CG, DF simia sumptis MDue C H, D G: quonIam B H, C G, D F inter--Per 26. cipiunt arcus a tequales BC, HG , CD, GF; erunt b parallelae. Pari argumetto parallela unx
318쪽
O E. Ergo e ut una antecedentium Bla ad unam consequentium k Λ, sic omnes antecedentes Bia
iungentes B H, CG , DF sunt ad omnes con-1equentes Ak, kL, L Μ, ΜΝ, ΝΟ, ΟΕ, hoc est ad diametrum Λ E. Sed ut B h ad i A la sie E B ad B A. Ergo ut omnes simul B H , C G, D F ad Α E, sie E B est ad B A. Ergo rectangulum sub omnibus jungentibus B H, C G , DE ,& sub B Λ aequatur ractangulo sub A E, & EB.
PROPOSITIO XVII. SEgmento circuli DAF , cuius basis D F
perpendicularis si diametro AOE, infir batur Rura gquilatera, er parilatera, ducaturque, ut in praecedenti recta EB. Dico , rectangulum sub EB , N parte diametri AO , que set lenti axis est , comprehensum aequari rectan udo sub Iatere uno Aura lycriptae , s omnibus jungentibus B H , CG una cum Do dimidis basis DF simul sumptis comprchenso.
319쪽
rc timeri. 25 IDemonstratio eadem, quae praecedentis. Lemma I. ad sequend
Ι' scripta su obaerae maximo circulo figurare
gularis, cujus latera quatenarius metiatAr , circa axem consi lens, quo manente circulus cum figura circumagatur. Dico obaerae inscriptum iri corpus conicis rediis supersciebus contentum.
Lod BA, HA , item D E, F E deseribant
integras conorum rectorum superficies manis stum o est. Deinde , quia lineae CB,G H; & G F, o Vide δε-C D concurrunt productae in eodem utrimquG, pq νέ puncto diametri A E smiliter pertractae , quae jungentes secat normaliter, etiam liquet has do. scribere partes superficierum rectarum conic rum interceptas inter parallelos circulos, quos in sphaerica superficie describunt Vertices angulorum B, C, D.
Srimenti sphaerae, cujus axis AO , sectio ma' r; i. xima esto D EF . Huic inscripta sit Hura
equi latera dempta basi, quae circa axem AO in
Dico fermento Obarico inscriptum iri corpus
conicis superficiebris contentlim. Probatur, ut lemma praeced.
320쪽
num luteris diametro proximi. Dico omnibus si erficiebus conicis sphaerae imp. his sis scriptis ego cisculum , cujus radius rὶ .e7a .s potes a rectangulum AEB comprebensum videli-q u aura - cet siιb diametro AE , s subtensa EB .
Hoc est . b cujus radius Iὶ est medius pro-, portionalis inter ΛE , & EB. Quoniam rectae BFI, CG, DF aequantur re- ΛΚ, CΜ, DO bis sumptis, erit e rectam gulum 1 ub latere uno figurae inscriptae maximo
circulo videlicet sub AB , vel BC , vel CD, vel DE) & s ub omnibus simul jungentibus ΒΗ, CG, DF sequale rectangulo sub AB, & ΒΚ , sub BC, dc composita ex ΒΚ, & GΜ, sub CD, di composita ex CΜ, &DO, sub DE, DO;
sic enim rectae ΒΚ , CΜ, Do singulae fuerunt bis acceptae. Atqui rectangulum sub AB, &omnibus jungentibus ΒΗ , CG, DF simul sum-d τὸν ic. aequatur d rectangulo AEB, hoc est e qu huius . drato I. Ergo quadratum I aequale est rectangu- . Per Dp. lis sub AB, & ΒΚ ; sub BC,& composita ex BECM, sub CD,& composita ex CΜ,Do,sub DE,&DO Sint jam inter AB, & ΒΚ media proportion lis P : inter BC ,& compositam ex BK, CΜ media i. inter C D, dc compositam ex CV, Do media R .viter DE,& Do media S. Erunt igitur quadratai Ρ , in R, S aequalia f rectangulis supradictis. Quare cum quadratum Ι jam ostenderim iisdems , a quari rectangulis, etiam quadratis, ' S aequale erit. Cum igitur circuli sint inter se ei Pator .ae ut quadrata radiorum, etiam circulus radio Iaa. l.6. O descriptus omnibus simul circulis, quorum radii
, aequalis i erit . Atqui circuli radi :e rum P, dc Saequanturi superficiebus eonicis, quas' pro