장음표시 사용
321쪽
rchimede 'produxerunt latera AB, ED; siquidem P est
media proportionalis inter AB coni latus, &Bk radium baseos, S uerb media est inter ED, ct DO; & circulus radii dest aequalis segmento a superficiei conicae , quae intercipitur inter a Pre rduos rarallelos circulos diametrorum CG, BH, quia ς media est inter BC, & compositam ex Bla, ; dc ob eandem causam circulus radii R aeluatur segmento superficiei conicae inter paralleos circulos diametrorum CG, DF interceptae Ergo circulus radio I descriptus aequaturomiibus simul conicis superficiebus si lscri,tis. Quod erat dem.
inantur eadem , quae in a. lemmates disca- Fig. 1 tir recta EB ab extremitate diametri AE adrermnum Iaseris AB diametro proximi. Dco omnibus superficiebus conicis segmento Dbaesto Din inscriptis aequalem esse circulum, cuju. radiur en medius proportionalis inter EB, T sementi axem . . Dmonstratio planὸ eadem, quae praecedentis; sed po P. 16. citetur P. II.
PROPOSITIO XX. SVpeficies conter sphaerae inscripta inobaera su
persiem desinunt. Data sit , perficies quantumvis parva X:manis stum est ima sphaericam superficiem ACEG dari
322쪽
aliam posse concentricam, quae ab hac deficiae quantitate minori, qu m sit X. Ambarum plano sectartim per centrum maximi circuli sine AC EG, DPLΜ. Ducatur diameter ADE, dc in D tangat N Si arcus A E bisecetir in C, & residuum bisecetur rursus, & sic dei ceps, relinquetur a tandem arcus AB miror a eu AN; huic si subtendatur recta AB, mn, festum est, eam non pertingere ad peripheram PDΜL, esseque latus figurae aequilaterae, &parilaterae circulo C AGE inscriptae, cujus ivllum latus pertingat ad peripheriam PDΜI. Quare si circa diametrum A E in orbem aganur omnia, patet, superficiei sphaericae exteriori ii scribendas esse conicas. superficies, quae indu- dant superficiem sphaericam alteri concentricara,
ac proinde illa sint b majores. Quoniam inur sphaerica superficies DPLΜ, deficit a suprGcie sphaerica AC EG quantitate minori, qiam sit data X; multo magis superficies conicae ab eadem sphaerica AC EG deficient quantitatemianori, quam sit data X, ac proinde e in A Gsuperficiem desinent. Quod erat demonstr. .
PROPOSITIO XXLCOηlas fi perficies segmento sphaerico Da F inscripis in ipsam segmenti sphaericas f
perficiem desinunt. Demonstrabitur eodem ferὰ ratiocini, quo'
323쪽
DEmonstratum est propos I 8, circialim , cu-aus radius est medius proportionalis inter diametrum , ter rectam E B , quae ab extremitate diametri ducitur ad terminum lateris diametro proximi , aequaIem esse omnibus fu- persciebus conicis Db erae inscriptis. Dico hκnc circulum desinere o tandem in circulum , cujus radius est A E sphaera diameter. Nam si plura semper, ac plura in Infinitiam a
latera circulo maximo inscribantur , quae deinde circa A E in orbem acta conicas producunt superficies in patet latus ΑΒ feri tanciam quavis data recta minus , ac proinde subtensam E B ad diametrum A E accedere ad intervallum etiam quovis dato minus , unde fit , ut disserentia irsarum A E , B E etiam sat quavis data minor. Ergo multo magis media proportionalis intexA E, B E, quae semper major est , quam B E,
disseret ab A E tandem defectu minori quocumque dato. Ergo etiam circulus , cujus semedi meter est media inter A E, & B E, a circulo , cujus radius est AE , tandem disseret defectu minori quocunque dato, hoc est in ι ipsum desinet. Quod erat demonstr.
Haec per se fatis clara non est necesse F rosas demonstrare.
324쪽
266 Theoremata selecta PROPOSITIO XXIII
Fig EmonRratum est propos I9, circulum, cuius I radius est medius proportionalis inter E B, AO segmenti axem , aequalem esse omnibus supersciebus conicis portioni Dbaricae D AF inscriptis . Dico hunc circuitum desinere in circulam , e
jus radius est recta AD a segmenti vertice ducta ad peripberiam circuli Da FR, qui basis ostsegmenti. Nam, quia jam ex praeced. demonst. liquet E Bdesinere tandem in AE, patebit quoque, mediam proportionalem inter EB , dc ΛΟ desinere tamdem in mediam proportionalem inter Λ E,dc ΑΟ, n Peμ e . n hoc est in ipsam. A D. Μanifestum est igitur , & circulum , cujus radius est medius proporti . natis inter E B, & Λ Ο , etiam desinere in ci culum radii A D. Quod erat demonstrandum. Tumma ad sequen. .
Si diameter diametri dupla en , circulas circuli
quadruplus erit. Patet ex propos. 2.lib. I a. & desin. I o. lib. s .
ΡROPOSITIO XXIV. Fig I6. Ujuscunque sphaerae superscies quadrupla est maximi circuli ejusdem sphaera.
Hoc nobilissimum Archimedis theorema ex jam praemissis expedite demonstrabimus
325쪽
Circulo sphaerae maximo circa diametrum Α Eintelligatur inscripta esse figura ordinata , cujus latera quaternarius metiatur , quae circa A E in orbem ducta producat conicas inperficies super-l ficiei sphaericae inscriptas, ducaturque E B. D monstratum jam supra a est , omnes conicas si . Perperficies sphaerae inscriptas aequales esse circulo, 'cujus radius potest rectangulum AEB , hoc est cujus radius est medius proportionalis inter Λ Ε, ct EB. Atque hoc semper eveniet inscriptionibus in infinitum continuatis. Qtare cum inscriptae conicae superscies , b tandem desinant in . . sphaericam superficiem , circulus Vero cuj . . Tadius est medius inter ΛΕ,& EB, desinat c in circulum, cujus radius ΛΕ, ipsa quoque sphς- d Pis1. rica superficies d aequalis erit circulo radii Λ E, huius. hoc est e quadruplo maximi circuli ΛC EG . Quod erat demonstrandum . . prης
Viam , qua in theoremate nobilissimo demonstrando hactenus usi sumus, Archimedaea multo breviorem , s clariorem esse sciet , qui ianc,Gmedem legerit. l Corollarium . Ex hoc praeclaro, atque admirabili theorem
te , quo immortale nomen Archimedes apud Omnes Geometras consecutus est, exhibetur ci l culus aequalis superficiei sphaericae, is nimirum ,
t cujus semidiameter est sphaerae diameter , sivel cujus diameter dupla est diametri sphaerae. sobolium .
E edita jam erit dimensio superfici iobaricae
principis inter omnes coervas.Duplex es modus.
326쪽
1. Mensuretur circulus Dbaera maxinins ne traditur in scholio post T. 6. hujus . Et multiplicetur per q. Ut si maximus orbis terrae circulus inventus sit continere quadrata milliaria unius borae , sive Belgica 3, 96o, Coo. hic numerus quadruplicatus exhibet quadrata milliaria Belgica 23, 76o, Coo qua in superscie orbis
a. Diameter obaerae multiplicata per circumferentiam maximi circuli exbibet sphaerae super ciem. Ut si terrae diametro dentur m: Iliaria 'mius org 27so . atque inde maximi circuli circumferentia eliciatur milliariorum 86 o. bi duo numeri omissa framone multiplicati per invicem
dabunt rursum quadrata milliaria unius horae a 3a 76o, Coo. totam orbis terrae superficiem constituentia.
Demonstratio patet ex primo coroll. p. s. hujus; rectangulum enim sub diametro sphaerg , er maximi circuli circumferentia per dictum coroll. en quadruplum maximi circuli
perscies ςqualis est circula , cujus radius est recta AD a vertice portionis ducta ad circumferentiam circuli , qui portionis es basis.
Portionis maximae sectioni inscripta cogitetur circa axem A o figura aequilatera , & parilat xa basi dempta , quae circa Ao in orbem acta In i 8.ct portioni inscribet conicas superficies . Ducatur 9.hu ui, quoque recta EL , ut o supra . omnes conic supe
327쪽
superscies segmento sphaerico jam inscriptae amquatitur a circulo cujus radius est medius. pria a Pὸν is portionalis inter E B , & segmenti axem Λ Ο . hujus. Atque hoc multiplicatis in infinitum inscriptionibus semper continget . Qiwe cum & conicae s perficies segmento inscriptae desinant b in sphaericam segmenti superficiem, & circulus, cujus hujus. radius inter E B, & Α Ο medius est, desinat c in e Per as. circulum radii AD, etiam d sphaerica portionis
superficies D A F circulo radii A D aequalis erit.
Quod erat demonstr. Hoc alterum est ex Archimedis inventis nobilior ibus, quoa perinde ac praecedeηs , viamid-to , quam ipse , breviori , ac clariori jam d
PROPOSITIO XXVII. Cylindri recti spherr circi scripti HTSV superscies squalis est supersciet Iobaerae. Et se Olindrus , ac Dbor secentur planis ad axem BGὶ rectis , erunt singula superscies 9-lindricς segmenta segmentis singulis superficiei
Dbaericae squalia. 1. Pars. niam cylindri latus H P aequale ινὸν his est o P S diametro basis, erit cylindrica superficies HS , quadrupla a baseos , hoc est maximi circuli sphaerae cylindro inscriptae, cujus Cuma ius. etiam b quadrupla sit sphaerae superscies , erit b Per et . haec aequalis cylindricae . Quod erat dem. ἡμὶμ - 2 Pars. Ducantur rectae BO, GO . Quoniam . angulus B OG i rectus est in semicirculo, ab e que eadit o C perpendicularis ad B G, erit c BO e P.ν eor. media proportionalis inter GB, &BC, hoc est a l. inter IT, α HI. Ergo circulus radii Bo sequa- d Per i. lis est superficiei cylindricae H T. Sed idem ci
328쪽
ePerprae, tutus aequalis est e ctiam 1egmento superficiei sphaericae o Bh. AEquales igitur sunt superficies cylindrica H T, & sphaerica o B k . Deinde , quia eodem modo ostenditur cylim Mica HX sequari sphaericae QBR , etiam reliqua cylindrica IX reliquae sphaericae RO E R im ter duos parallelos circulos interceptae aequalis
Ex his patet de segmentis omnibus.
divise eam inter se proportionem babent , quam segmenta diametri BC, CD, , , FG ad circulos parallatos rectae . Sequitur ex praeceilent; . Sunt enim sphaericae superficiei segmenta Ο Β k , m k R, Μ-Ν,
perprge dcc. a sequalia cylindricis ΗΓ, IX, LN &c. Atque haec eandem inter se rationem habent ,
ιi, b quam axeos segmenta BC, CD, D Λ &c. Esego & illa. Quod erat dem. scholium . Ex hac innotescit proportio Oronarum , O ALmatum inter se. Sunt enim ad invicem , ut segmenta axis , quae nota sunt ex tabula sinuum. Ex eadem habetur dimensiosegmentorum superficiei obaertcg . Plam, quia'tota sybsrg super scies nota est ex scholio prop. a , s segmentorum proportio , utpote eadem , quae partium axis , e iam datur, liquet segmenta singula innotescere.
329쪽
rchimede. 27 caeterum er quatuor prscedentia Ueoremata , erreliqua omnia , sequuntur , omnino singularia, atque admiranda sunt , planeque digna , ad
sur intelligenda Geometris studiose ardenti sudio
ex centro ad contadium ducta est plano tangenti perpendicularis. Secentur planum tangens Ν , & sphaera per tactum o duobus planis , quae in sphaera quidem pi oducant circulos OG , OD, in plano autem QN rectas Co, I Ο, quae circulos comtingent in o. Igitur per 18. l. 3. Λ Ο perpendicularis est ad utramque I O , C O, ac prininde per q. lib. II. recta plano Q Dd erat dem.
Intelligatur sphaerae circumscriptum esse corpus aliquod pollectum, cujus solidi anguli novis planis sphaeram tangentibus abscindantur. Qito facto orietur aliud corpus pollectum sphaeram continens minus priore, & pluribus constans a gulis, & superficiem habens ex pluribus , ac mi noribus planis tangentibus compositam. Si poli dri hujusmodi anguli novis planis tangentibus iterum abscindantur, & tertii poliedri inde nati similiter, atque ita in infinitum: fiet tandem, ut &
330쪽
pollectum excedat sphaeram solido minori qumcunque dato, & superficies ejus ex planis tangentibus quae, ut dixi, sine termino & min ra, ct plura erunt in composita sphsricam superficiem excedat quoque plano minori deto quocumque . Quod utrumque, licet demonstrari posset, tamen, quia per se fatis clarum, postilletur studio brevitatis. His ita constitutis quaesitum ita
Poliedrum jam expositum componitur ex pyramidibus , quarum Vertex communis est centrum
sphqrae, bases vero sunt plana tangentia, quae poliedri superficiem constituunt. Et quia rectae ex centro A ad singulorum planorum contactus ductae ad plana H singula perpendiculares sunt, erunt omnium pyramidum, quibus constat poli drum, aequalis altitudo, ipse nimirum AB r dius sphsrae. Si jam igitur planum X ponatur a quale superficiei ipsius pollecti, superque eo erocta sit pyramis ad altitudinem MN etiam squalem sphaerae radio AB, manifestum est ii omnes pyr mides supradictas, hoc est totum polletium equori pyramidi X N . Ad eundem modum reliqua omnia poliedra sphςram includentia , quς ex truncatione perpetua solidorum angulorum , alia atque alia nascentur in infinitum , semper squalia cxunt pyramidibus per X N reprς sentatis,quarum
altitud nesΜ N sunt radius sphςrς , bases vero X squales superficiebus poliedrorum sphςram ambientibus. Quare cum tandem, & poliedra
ut dixi supra) in sphsram, & pyramides XN
ut mox ostendam in in conum Z o desinant, etiamc sphςxa cono squalis erit. Quod erat dem. Qvqd autem pyramides XΝ a desinant in conum sic ostendo. Poliedrorum superficies desinunt in sph -