장음표시 사용
331쪽
sphaerς superficiem, ut postulatum supr . Atquibus es X pyramidum X N l emper aequales ponuntur superficiebus poliedrorum , & Z basis coni Z O per hyp. aequalis est superficiei sphaerae, ergo etiam bases X desinent in basim L; ac proinde , cum pyramides X Ν sint ad conum ex hyp. aquὰ altum, ut e basis X ad basim Zi, etiam pyramides
Demonstratio jam allata hujus propositionis , ersequeritis penitus diversa est ab ea , qua usus es Archimedes,quae quidem valdὸ subtilis , s ingeniosa ist , sed prolixa , s ardua,ad quam videlicet adhibentur duo manifesta , o propositiones undecim praeter alias non paucas , a quibus ilia a pendent . Ipsum vero theorema ab Archimede proponitur
hunc in modAm r omnis 1phaera quadrupla est c ni basim habentis aequalem maximo circulo sphs-rae, altitudinem vero radium.
V X hoe praenobili theoremare figurae inter corpo- u reas nobili)ssimae elicitur dimensis. 'INam si dia metri sexta pars, sue tertia semidiametri multiplicetur per obaerae Inphoclem jam notam per scholium pr F. 2 ῖ, pro veniet sphaerae soliditas. Incenta sit θbaerae terrestris superficies continere
quadrata unius horae milliara χῖ, 76C,ooc,er sem diameter esto milliarium horariorum I*7 , cujus tertia pars esse .Multiplica que8 omissa fractione per 23,76o,oCo, provenient Io, 882,CRo, Coo cubica unius horae milliaria pro foliditate orbis terra. cum enim obaera sit aequalis acono,cujus altitudo a Per hac
est radiss sphaerae,basi vero superscies obaersi conis autem
332쪽
t Perschol. autem soliditas b producatur ex parte tertia stia p si bojus. tudinis hoc est radii spbaerae 3 ducta in basim , hoc est in Diarae superficiem in etiam sphaerae foliditas obtinebitur ex tertia parte radii duRa iusi persciem. ΡROPOSITIO XXIX. Fig a 3. . Mnis Iector sphaerae aequalis en cono , cujus altitudo est radius sphaera , basis vero I.-ctoris spbaerisa superscies .
ESxo primum sector AEC G) hemisphaerio
minor . Intelligatur sectori circumscriptum esse poliedrum corpus rectilineum . Si caetera ratiocinatio omnis ad eundem modum instituatur, ut in praecedenti, eodem modo concludetur quς-
situm. Id solum oportebit ostendere, ex quo dii scursus totus dependet, superficiem poliedri explanis s phaericam superficiem ECG undequoque tangentibus compositam esse majorem siffer-scie ECG, quod ita fiet. Cogitetur superficiei ECG apponi alia aequalis, & similis planis tam gentibus eodem prorsus modo cincta, quo prior. e Per axis. Erit jam tota e superscies ex planis composita 3 bηjμ major tota sphaerica. Ergo etiam dimidia ex planis composita dimidia sphaerica ECG major erit
Esto deinde sector AEBGὶ major hemisphae-dPer praee. rso, Uterque sector simul sumptus aequalis d est cono , cujus altitudo est radius sphaerae, basis autem tota superficies, hoc est e duobus conis, quo altitudo eadem, bases vero pares superficiei' iphaericae segmentis ECG, EBG. Atqui sectorum
unus AECG hemisphqrio minor per I . parte aequa tur cono, cujus estitudo est radius, basis verb Lu
333쪽
perficies ECG. Ergo alter AEBG aequatur cono reliquo, cujus altitudo est radius, basis ver. iii perficies reliqua EBG. Quod erat dem. corollarium . CVm superficies ECG sit aequalis o circulo radii CG , & stiperficies EB G aequalis circulo radii BG , erunt lectores AECG , &A E B G aequales conis, quorum altitudo est radius sphaerae , bases vero circuli radiorum C G,& BG. sobolium.
Ex bis babetur dimensio er sectorum , er se mentorum obaerae , fediorum qitidem a se mμL , i. tiplicetur p rertia pars radii per sphaericam sectorum superjiciem , jam notam ex scholio prop. p Patet eae et . sive per circulum radii CG, ῬA BG, sei p. s. mentorum Uero , si mensuretur conus E a G , is a sectorς , si minor est hemisphaeris , aufeiaratur, si major, eidem adjιciatur.
culos sive parallelos, sis non parallelos interjia Fig. igicitur mensurabis , si sementa in s MBa jam nota auferantur ab invicem.
eandem fecum basim s G altitudinem habentis duplum est. Conus cuius basis est. superficies hemisphaeriea S i EO BD,
334쪽
E O B D, altitudo autem radius A B , est ad c ν P,rii. num E BD , a ut basis ad basim , hoc est ut su- elib. ia. perscies hemisphaerica EO BD ad maximiam . i ii. Ρ.ἡ Σι. circulum PT. Ergo cum superficies hemisphas ihisiui. rica Eo BD dupla sit nuximi circuli, etiam cccinus pro basi habens superficiem E O B D, pro ' haltitudine radium AB duplus est coni EBD . ii e post dig. At hemisphaerium aequatur c cono habenti pro bhujus. altitudine radium , pro basi superficiem he- :misphaericam Eo BD. Ergo etiam hemisphae- nritim coni EBD duplum est . Qu9d erat deri tmonst. l
plano MGT per centrum A non transeunte
diameter autem plano secanti rectast BOA . i. in altitudo OB Mmenti IL B G est ad radium obaerae AB, ita OK altitudo segmenti alteriu mi ad aliam K i, Pari modo,ut Oxaltitudosegmentit S KGen ad iradium AK,θiι AB , ita altitudo OB segmenti a terius sat ad aliam B D. a Dico I. Coni I' G, O ID G, quorum altitu dines sunt Od , O D , basis vero communis WGri ;segmentis sphaericis funt aquales. a Segmentorum eadem est proportio, exar Harum DO, J3 segmentum IS KGest ad maximum sibit scriptum conum IKG, ut O ad KO,' sedi imentum ILBG est ad sibi inscriptum conum μι - 1 BG. ut DO ad Bo.
335쪽
Archimeri . 277 pars i. Sphaera, ct coni secentur plano per diametrum B Κ, producentur in sphaera circulus maximus B L Κ G , in conis vero triangula BIG, IK G ; & quia B O K diameter a recta est circulo QT, erit angulus Io B b rectus. Angulus quoqueBIK e in semicirculo rectus est. Quoniam j, itur in triangulo B IK ab angulo recto ducta est Ioperpendicularis in basim ΒΚ, erit B Iad Io, ut d BK ad ΚΙ. Ergo ratio duplicata BI ad Io sequalis est rationi duplicatae BK ad K I; hoc esta per D'b per de sin. 3
quia BK, ΚΙ, ΚΟ f sunt tres proportiona- fPer corol
o Per histes aequalis rationi B Κ, Κ Ο. Deinde , quia est ut o K ad radium AB, ita do B ad B D ; erit quoque invertendo D B ad A o, ut AB ad OK; &permul. DB ad BA, ut BO ad OK; dc compon. DR ad B A, ut BK ad OK. Qtioniam igitur jam ostendi rationem B Κ ad Ox
duplicatam esse rationis B Iad Io, ac proinde aequalemp rationi circulorum radiis BI, ID descriptorum, erit quoque D A ad B A, ut circulus radii BI ad circulum radii Io . Igitur conus sub altituatne DA,&basi circulo radii Io, hoc est circulo QT ςqualis estg cono sub altitudine BA,&basi ei lo radii BI; hoc est i sectori sphaerico AIBG re si tam sectori AIBG, quam cono sub D Λ, &circulo QT addatur idem conus I AG, tota erunt aequalia; videlicet segmentum sphaericum ILBG aequabitur auobus conis, quorum unus est, qui
fit sub basi QT, & altitudine DA , alter I AGiubeadem basi QT, & altitudine Ao. Sed hi duo
coni conficiunt conum ID G. Ergo segmentum ILBG cono IDG aequale erit. Quod erat demonstr. Eodem discursu erit segmentum IS K G aequale cono IN G, eo solum mutato, ut conus I A G, qui prius addebatur, jam auferatur.
l. I 2. st Per Lib. I 2oi per coarol. p. a s: huius. h. atet ex I . l. 12.
336쪽
Pars 2. Patet ex prima. Nam coni ID G , deIN G liint inter se n ut DO, & N O. Ergo &segmenta ILBG, ISkG conis illis aequalia sunt inter se, ut rectae Do , No. Pars . Patet similiter ex prima. Nam conus
I DG est ad conum I BG , q ut Do ad BO . Urso . & segmentum IL B G , cono ID G a quale est ad conum I BG, ut Do, ad BO.icbolium. X prima parte hujus - theorematis habetur ali: eaque facillima. segmentorum sphaericorum dimensio , si nimirim coni ID G , In mensurentur , quod siet si s tertig partes recta-
ρίι m. rum DO , Ny ducantur in circulum Q Τ . PROPOSITIO XXXII. Cylindrus rectus GK spbsre , cui circumscribitur G soliditate , cy superscietota sesquialter est.
Communis sphaerae, ac cylindri axis esto B in conus vero maximus hemisphaerio E O B D inscris plus sit EBD. Quia cylindrus Eli semissist tius G k triplus est a com EB D; hemisphaerium vero b ejusdem coni duplum, patet, cylindrumb Pς Q hemisphaerium, ut 3. ad 2. Ergo etiam totus lindrus Gla est ad totam sphaeram QEBD, ut 3. ad a. QMd erat primum.
Deinde ita cylindri latus kN est aequale b
sis diametro G N , erit ejus superficies abiqvie e Per co-- basibus e quadrupla baseos MI, ac proinde cum in ' δ' bassibus, hoc est tota cylindri superficies erit iu- cupla
337쪽
Ex Archimede . a 79cupla baseos blI, quae par est maximo sphaerae circulo. Atqui sphaerae superficies quadrupla est maximi circuli. Ergo tota cylindri Gli superficies est ad sphaerae superficiem , ut 6 ad . sive ut 3 ad a. Lod erat alterum. Igitur cylindrus sphaerae sibi inscriptae soliditate, & tota superficie sesquialter est . Quod
UUanti hoc Neorema fecerit inebimedes argumeruo eis, quod tumulo suo obaeram
lindro inscriptam apponi voluerit . Atque idcirco fortassMnter alia tam mysta , o praeclara
invenia sua boc illi prae reliquis placuit , quods corporum , superficierum corpora ipsa con tinentium eadem esset atque una rationalis proportio. Similem assectionum identitatem , annulos inter annulorumque supersicies demonstravimus I. q. ylindricorum a s annularium prop. I 3.1q. is. sed ct ipsa in sphaera aliud mihi hujus rei exemplum illustre sese obtulit . D prebendi siquidem , quemadmodum obaera ad cylindrum rectum se ambientem qui necessario aqAilaterus erit in en tam soliditate, quam superscie , ut a. ad 3. ita obfram ad aequilaterum conum se ambientem o soliditate similiter , s superscis eam
habere proportionem, quam ad 9. Ex quo deinde illud consequitur, sesquialteram proportionem ab Archimede in cylindro , sphaera repertam,in tribus solidis, obaera, cPlindro, cono aequilatero continuari. Utriusque de Wirationem, pluraque alia theoremata nostra , quibus sphaerrnatura mirabilis amplius innotescet, tredecim sequentibuspropositionibus comprehensa subiungam.
338쪽
PROPOSITIO XXXIII. S perficies Db erae dupla est superficiei olindri quadrati sphaerae inscripti.
Qiadratum maximo sphaerae circulo inscriptum, a quo in orbem di icto describitur quadra ius cylindrus , esto AKL , ducatu que ALdiameter quadrato, S sphaerae communis. Quoniam quadratum Λ L par a est quadratis aequalibus Ali , kL erit duplum unius Ah . Ergo i etiam circulus diametri A L duplus b est cire Ii , euius diameter Ak, circuli nempe CN . Atqui su perficies sphaerae quadruphi c est circuli, cui iis diameter AL , is enim est maximus spha rae circuliis, cum Λ L sit sphaerae diameter. ENgo siphaerae su perficies octu pia est circuli CN . Sed quia Lli , k A aequales sunt, cylindrica superficies A CL quadruplae est circuli CN . Ergo cum s phaerae superficies ejusdem circuli octia pia sit , cylindricae superficiei dupla exit . Qvqd erat dem.
ponantur eadem, quae demolist praeced. in niam cylindri latus L Κ , basis diameter ΛΚ f aequales sunt , erit superficies cylindrica CLg quadrupla basis CN , ac proinde tota cylindri superscies ad utramque basim C N,& S L est, ut 6 ad a.
339쪽
EX Archimede . 28 Is ad a. 'Atqui sphaerae superficies est ad utramque simili basim CN , S L ut 8 ad a, cum in prςced. ostensa sit esse ad unam basim , ut 8 ad 1. Ergo sphaetae superficies est ad cylindricam C L 1- perficem ut 3 ad 6, sive ut 6 ad 3. Quod erat dem.
Corollarium. Tota cylindri recti sphaerae circumscripti superficies est ad totam superficiem cylindri aequilateri inscripti, ut a ad I. Nam circumscripta est ad sphaericam, ut Ia ad 8 per 3 a. hujus . Sphaerica autem est ad inscriptam, ut 3 ad 6 per hanc. Ergo ex aequo circumscripta est ad inscri
ptam, ut 12. ad 6. sive ut et ad I.
BG ad supersciem coni maximi inscripti aue eam rationem habet, quam coni latus BGὶ ad ba-ys radium GO. inoniam portionis IL BG superscies a sqn
lis est circulo radii B G , erit proportio ejus ad circulum QT basim nempe suam , & coni dum ι i , plicata b rationis BG ad Go , hoc est c rationis e Per i . iuperficiei conicae I BG ad basim eandem Q T. hujus. Ergo liquet , super sciem ILBG esse ad sh perficiem conicam I BG, ut eadem conica IB Gest ad basim QT . Quare cum conica I BG sit ad basim Q. T , diit BG ad Go, etiam por- d Per Iotionis superfietes erit ad conicam I BG sibi ire, hHur. scriptam , ut B G ad G Ο. QDd erat dem.
340쪽
a Patet ex 47. l. I b Per a. l.
maximi , se ne recti inscripti supersciem
EBD in eam rationem habet , quam in quadra- to diameter ad latus r ad superficiem vero conisimilis circumscripti , ut latus in quadrato ad
diametrum. I. Partis demonstratio ex praecedenti est in nisesta; est enim portionis cujuscunque, ac proinde & hemisphaerii superficies EO BD ad conicam inscriptam , ut BD ad DA. Est autem BADP quadratum, cujus diameter est BD, latus D Α.α Pars. Semissis quadrati circulo cujus centrum Λ circumscripti esto E B C , qua circa axem Λ B circumacta gignatur conus hemisphaerio conscriptus. Quoniam quadratum EC di plum a est quadrati E B, seu G I, etiam circolus diametri E C duplus b est circuli, cujus di me ter GI, hoc est circuli H GDI. Atqui e superficies hemisphaerii cono E B C inclusi ejusdem circuli dupla est. Ergo. circulus diametri E Csuperficiei hemisphaericae aequalis est. Quare cum superficies conica E BC sit ad d circulum diam tri E C, basim nempe sitam, ut latus B E ad b sis radium EA, erit quoque ad superficiem hemisphaericam sibi inscriptam, ut B E ad E A, hoc est ut diameter in quadrato EBCF adsuun latus. QMd erat demonstrandum.