장음표시 사용
341쪽
Eκ Archimede . a 83 PROPOSITIO XXXVII.
Phaera ad quadratum rhombum conicum sibi ci
proportionem habet , quam in quadrato ιatus αι
Μaximo sphaerς circulo HGDI circumscrispium esto quadratum E BCF, a quocirca axem BF in orbem acto rhombus conicus gignatur
Ut EB quadrati latus inspice Fig. h. l. 6. ad diametrum E C, ita fiat S ad R inspice Fig. I r. lib. 3. . quae proportio per terminos b, O , o continuetur . Erit triplicata a rationis S ad R, hoc est E i d EV, ib. ,& ratio O ad R erit duplicata rationis V ad bPer ao sive R ad S, hoc est EC ad EB, ac proinde is l. 6. O est ad R, ut quadratum EC ad quadratus EB, unde Ο est dupla ipsius R. His ita constis
tutis intelligatur rhombo conico
scribi EBCF. Erit igitur sphaera HGUi d .
sphaeram EB CF in o ratione triplicata daametrIGI sive EB) ad diametrum EC, hoc est quod
iam ostendi erit ut S ad O. Sphqra auten EB CF est ad rhombum conicum libi inscrip e Per 3 tum , c ut i ad I , hoc est ut o ad R. Igitur ex aequo 1 phaera H G DI eliad eundem rhombum, qui ei est circumscriptus,uS est ad R, hoc est , ut in quadrato latus E B ad diametrum EC. Quod erat primum. Dcinde ex igcunda parte precedentis patet hemisphcrii super: ciem esse ad stiperficiem coni E B C, ac proinde &totius sphere superficiem esse ad superficiem totius xhombi EBCF, ut latus in quadrato ad diame
342쪽
trum. Ergo sphaera tam soliditate quam superficie est ad rhombum quadratum E B C F ut in quadrato latus ad diametrum . Quod erat da
laeterum BKD capientis , dupla en super sciet ejusdem coni.
Patet similiter ex 3s . Nam superficies pon tionis BG kD est ad inscriptam conicam , ut a Bh ad BA , sed quia conus Bh D aequilaterus ponitur , k B est aequalis B D , adeoque dupla B A . Ergo etiam s uperficies B G k D dupla est inscriptae conicae B k D . Qvqd exat dem.
PROPOSITIO XXXIX. S uerie superficies ad totam coni aequititer; bi inscripti supersciem eam proportionem
habeι, quam I 6 ad Esto Z sphaerae centrum, dc conus aequilaterus sphaerae inscriptus B k D,axis sphaerae,ac cono c5munis k L Λ Ο. Per hunc si secetur sphaera , ac conus, producetur in sphaera circulus maximus o B h D , in cono autem triangulum aequilaterum BED, cujus unum latus B AD erit diameter baseos
conicae QT. Et quia axis coni kA rectus est basi QT,erit angulus BAk d rectus. Igitur quadratum B A aequale est e rectangulo h AO . Jam quia latus aequilateri trianguli abscindit quartam axis partem ΛΟ , erit rectangulum k Λ Ο, hoc est
343쪽
quadrati ΛΟ, erit quadratum' radii Lo ad qua-hatum radii B Λ , ut ad 3. Ergo etiam m cly- ia.
culus OBED est ad circulum QT ut ad Ergo sunt quatuor circuli Ο Β kD , hoc est n ,
tota sphaerae DG superficies ad circulum QT , o Pereo ut 16 ad 3. Atqui O superficies coni squilateri r .p. I . Bh D est ad circulum Q P, basim nempe suam, b I ut a ad et , ac proinde coni Bh D tota superficies, una cum basi scilicet, est ad basim , nempe circulum QT, ut ι ad I, sive ut 9 ad a. Ergo cum ostenderim sphςrae superficiem esse ad eundem circulum ut 16 ad 3, erit sphsrae DG superficies ad totam squilateri coni superficiem, ut i 6 Quod erat dem.
Omniam aequilateri trianguli latus B D a scindit p quartam axis partem Α Ο , erit ρ . quoque sphaerica superficies B ODq quarta pars, ac proinde superficies B G k D tres quaris super--,
ficiei totius sphaerae . quare si superficies tota , hujus.' statuatur esse 16, B G k D superficies erit Ia. Λωqui superficies B G k D r est dupla superficiei co- ν Per trietanicae B kD , ac proinde ad eam est, ut Ia ad 6. Ergo tota sphaers superficies est ad conicam Bho, ud 16 ad 6. Deinde, quia superficies coni Bh D,
utpote aeqni latexi in dupla s est baseos QT , t quet, erficiem conicam Bh D nimirum absque
basi esse ad totam coni superficiem , ut 2 ad 3, hujus. hoc est,ut 6 ad s. Igitur ex aequo tota sphςrς si perficies est ad totam squilateri coni inscripti superficiem, ut 16 ad s. Quod erat dem.
344쪽
e Per 22. d. 3 d Per cor. I, p. I 4. hujus. e Per 2 hujus
286 Theoremata selecta PROPOSITIO. XL. STharae superficies ad aequilateri coni sibi cis
cumscripti totam superficiem eam proportionem habet , qκam q ad 9
Circulo sphaerae maximo B P Μ circumscriptum sit triangulum aequilaterum Do F , quocirca axem Ο Λ B in orbe ducto productus sit c nus aeqv laterus sphaerae circumscriptus . AEqui- latero autem triangulo D O F circumscriptus etiam sit circulus NDI OF i, quem patet ei se concentricum priori , & axis o A B producatur in N. Quoniam BN est quarta pars axis O N, patet O N esse duplam k B. Quare cunia circulorum ratio sitii duplicata rationis diametrorum, erit circulus B P Μ ad circulum NDI OFut 1 ad 4. Atqui ostensiim jam est in demonstratione prima praecedenti, circulum N DLO Febse ad circulum Q T basim coni aequilateri sphς- rete FL inscripti , ut ad 3. Ex c aequo igitur circulus B P Μ eit ad circulum Q Γ, ut 1 ad 3. Atqui tota coni Do F superficies circuli Q T dtripla est. Ergo tota coni superficies circuli BPM noncupla est . Quare cum sphaerae T P super cies ejusdem circuli B P M e quadrupla sit, erit tota coni aequilateri Do F superficies ad super ciem sphaerae , cui circumscripta est , ut 9 ad ε, Quod erat dem.
345쪽
Ex t rchimede . et 8 PROPOSITIO XLLIV coni Db erae circumscripti tota LX a superscies quadrupla vi superscisi totius
coni inscripti eidem Job era . AEquilateri coni DOF circumscripti tota superficies est ad sphaerae superficiem ut 9 ad .dc sphaerae su perficies est ad coni inscripti sequi- . p. lateri SkT superficiem,ut b I 6 ad 9. Ergo ex c l. s. aequalitate perturbata circumscripti sequitateri coni tota superficies est ad totam superficiem aequilateri inscripti , ut 16 ad ε, sive,ut ad T. Q od erat demonst.
PROPOSITIO XLII. Spbaera ad inscriptum sibi conum aequilaterlim diu.
BKCὶ eam rationem, habet quam 3a ad 9. Sphaera,& eonus B h C secentur plano per axerri communem ho faciente in sphaera circulum m mimum O F k L, in cono autem triangulum sequi- laterum Bh C. Ducto deinde plano per centrum A ad O li recto , abscindatur hemisphaerium is FGkI, cui inscriptus intelligatur conuS max,
mus F k Ι . Quoniam trianguli squilateri latus BC abseindit OP d quartam partem axis ok, erit Ph ad Ah, ut 3 ad a, hoc est ut 9 ad 6. B sis vero QT est ad circulum o F k I, hoc est ad basim N D , ut 3 ad η , hoc est ut 6 ad 8, uti
patet ex demonstratis prop. 39. Quare cum ratio coni Bh C ad conum FhΙ componatur e ex ra tione altitudinis PE ad altitudinem Λk hoc est
346쪽
ex ratione 9 ad 6,ὶ θ ex ratione basis QT ad basim N D hoc est ex ratione 6 ad 8 ,) erit c nus B Κ C ad conum FKI, ut 9 ad 8. Quare eum sphaera C G quadruplas sit coni FKl, erit conus aequilaterus ΒΚ C ad sphaeram CG, ut sad 3 a. Quod erat demonstrandum .
PROPOSITIO XLIII. Conus equila erur obgrs circumscriptus conisquilateri eidem sphsrs inscripti octupulus
en. Coni aequi lateri sphaerae inscripti, & circumscripti sunt SKT, &DO F, & axis communis esto O K B. Secentur deinde plano per axem tam conus uterque, quam sphaera eruntquα sectiones triangula duo aequilatera, & circulus B ΡΜ maximus. Circa triangulum quoque DOFintelligatur descriptus esse circulus N D O F , &axis O K B producatur in N. Quoniam Vero aequilateri trianguli latus D F abscindit axis O Nquartam a partem N B, patet N O esse duplam ΒΚ. Similiter, quia aequilateri alterius trianguli latus ST abscindit axeos ΒΚb quartam partem BC, erit NO ad Bo, ut Bic ad CK : dc permutando ut Ν Ο ad B Κ, sic B O ad C K. Sed di o dupla est B Κ. Ergo etiam B O dupla est C Κ. Igitur ob similitudinem triangulorum Do F, SKT etiam e DF,& ST diametri videlicet basium
conicarum, sunt inter se in proportione dupla , . Quare cum coni DO F, SKT sint similes, ac proinde eorum proportio d triplicata sit propo tionis diametrorum DF,&ST, quae est a. ad H, erit conus Do F ad conum SKT, ut 8. ad x. Quod erat demonstrandum
347쪽
proportionem bes et , quam 4 9. Sphaera TP est ad inscriptum d sibi conum in d Per rquilaterum S ET, ut 3 aad 9. Inscriptus autem hisjus. k T conus aequilaterus est ad conum aequitaterum circumscriptum DO F, ut si ad , hoc est ut 9 ad 7 a. Igitur ex aequo sphaera T P est ad conum aequilaterum circumscriptum DO F, ut 3 ad 7λ ; hoc est, ut ad 9. Propositione autem qo. demonstravimus etiam sphaerae supersiciem esse ad totam aequilateri coni circumscripti superficiem,ut ad s. Ergo sphaera & soliditate,&s uperficie est ad aequilaterum conum sibi circumscriptum , ut ad 9. Quω erat dem. Od igitur in sphaera, s cylindro sphaeram ambiente miratus eis Archimedes , idipsum in fpbara, aequilatero cono ambiente sphaeram jam demonstravimus, ut videlicet CT soliditatim inter se eadem proportio rationalis, quae superscieruntas , existat. Quemadmodum enim ille reperit pbaram ad cylindrum esse tam soliditate, quam superscie,ut et ad 3; ita nos docuimus obaeram ex soliditate , supermis esse H tanum aquilaterum se ambientem, t/ad 9. Hinc vero illam ipsam proportionem, nempe δεδεμ alteram, quam existere sphaeram inter, ac ο- tindrum Arcbimedes tradidit, ab aequilatero cono circumscripto, soliditure etiam,ac superficie continuari nullo negotio jam demo trabimus , atque ita bula pariter opusculo snem imponemus. T PRO-
348쪽
16. aequilaterus obaerae circumscriptus , O cylindrus rectus sphaerae similiter circumscriaptus , s ipsa θbaera eandem proportionem contianuant, nimirum sesquialteram , tam quoad soliditatem, quam quoia supersciem totam . Nam per 3 a. hujus cylindrus rectus G Κ sph
Tam ambiens tam soliditate, qukm tota sauperficie est ad sphaeram,ut 3 ad a, sive ut 6 ad q. Perprscedentem vero circumscriptus sphaerae conus sequi laterus BAD, tam soliditate, quam stipe sicie est ad sphsram ut 9 ad A. Ergo idem conus est a4 cylindrum tam soliditate, quam super facie, tit 9 ad 6. Qtiare haec tria corpora conus, cyli drus , sphaera sunt inter se, ut hi numeri 9, ε, , ac proinde continuant proportionem sesquialteram. Quod erat dem.