장음표시 사용
353쪽
Trigonometriae liber unicus. CAPUT PRIΜUM.
Quid simus, Tangentes, Secantes a quomodo in veniantur. Inus, Tangentes, secantes fiunt rectae quaedam lineae , quarum iα- .analysi triangulorum in Geometria practica, in Astronomia , aliisque usus est maximns.
Sinuum Donitiones. E Sto quadrans circuli ACE , cujus circum t.
ferentia C E divisa sit in partes 9o equales, quas Gradus vocant, & singuli gradus an partes equales εο, quae vocantur Minuta, sicut totus arcus C E divisus sit in partes aequales , shu minuta ue oo. Ex centro A ad singulos gradus , & minuta emittantur rectae, quarum unam desio no litteris AF.Costituentur hoc facto anguli ue oo, quibus subtenduntur arcus totidem uno sese invicem minuto excedentes. Ex has Unum
354쪽
designo litteris C AF. Primus angulus erit minuti unius, s ecundus duorum minutorum , dcsid porro; sexagesimus minutorum eo; hoc ostgradus unius, ct sic deinceps : postremus E AC est graduum so, adeoque rectus. Tandem per minuta singula ducantur rectae ad semidiametrum AC perpendiculares, quae pro nde etiam
ipsae numero erunt 3 Oo computando radium
A E, quarum unam designo litteris FX. Hae appellantur simus arcuum , & angulorum uno minuto sese mutuo superantium. I Igitur arcus ex. gr. FC, & anguli FAC ab ipsb subtensi sinus est recta FX, quae ab Etermino arcus perpendicularis cst radio A C. a Pars radii XC intor arcum, & sinum intercepta est sinus versus ejusdem arcus FC,& anguli FAC. 3 Sinus complementi , sive sinus secundus arcus FC , & adguli FAC est FI sinus illius
arcus , nempe FE , qui quadrantem complet, adeoque & sinus illius anguli, nempe FAE, qui cum priore FAC complet rectum C A E . 4 Sinus totus', sivo radius est semidiam. Α E. 3 Arcus Q F quadrante major eundem habet sinum F X , quem arcus minor C F, qui cum eo semicirculum constituit: & angulus recto major F A Q eumdem habet sinum F X,
quem angulus acutus FΛC, qui cum eo ei cit duos rectOS 6 In omni triangulo rectangulo B Α C, latus BC recto angulo oppositum, est sinus totus , sive radius: reliqua vero latera sunt sinus angulorum , quibus opponuntur ; latus nimia
xlim A B est sinus anguli Ο, latus AC sinus anguli R.
355쪽
Nam si centro C intervallo C B describat tirquadrans F B L, quia latus angulo recto oppositum C B, est jam radius quadrantis, erit C B si nus totus per definit. latus vero AB per des n. r. erit sinus anguli O, seu F C B. Rursum centro B intervallo B C descripto quadrante QCI patet per eandem defin. I. AC esse sint ianguli R, sive C. Ex quo jam nunc apparet, quantus sinuum futurus in Trigonometria sit usus, Definitiones ringentium , er Secantium.
E Sto circulus B XL, cujus quadrans B X intelligatur, ut supra, divisus in gradus, &minuta. Hunc tangat recta infinita B R, & excentro A ad contactum B ducatur radius AB, qui a cum tangente constituet angulum rectum. Cogitentur deinde per quadrantis gradus singulos, & minuta ex centro A emitti rectae AF, A L dcc. quo facto constituentur anguli F Λ B, L A B dce. ad 3 oo, ut suprὲ, quibus subtenduntur totidem arcus BC, ΒΟ, &c.
est recta BF, secans verb AF, sinus totus AB: smiliter arcus Bo, & anguli B AL tangens est B L, secans A L, & sic deinceps.
drante major Lo cum priore B O faciens semi circulum eandem habent tangentem B L, & s cantem Ao L.
R i acuti anguli F A B tangens est F B ipsi oppositum, latus alterum AB ipsi adjacens est si nus totus, seu radius; hypotenusa vero AF, seu latus recto angulo oppositum est secans. Patet ex definit. 6. & prepos. 16. lib. 3. si T 3 centro
356쪽
centro A per B describatur circulus. Pari modo respectu alterius acuti anguli A FAtangens est Λ B, sinus totus, seu radius est FB, secans F A . Patet ex desin. 8., &prop. 16. lib. 3. si centro F per B circulum descripseris. Hypotentisa igitur utritisque acuti s ecans est, ac proinde cum hi anguli inaequales Hint, diversis numeris in tabulis sinuum hypotentisa expri
Caeterum notandae in primis sunt, ac probὰ intelligendae definitiones ε , & 9. ut Sinus, Tangentes, Secantes ad usum deducantur. Sinuum , rangentium , Secantium inNentio. IN venire Sinus, Tangentes, Secantes, est ea rum proportionem ad radium circuli aut veram, aut a vera insensibiliter aberrantem numeris exprimere. Ad eum finem intelligitur circuli radius in plurimas aequales partes divistis, ut in I COOOo, aut Iooo, Cooo. Tum Geometrico ratiocinio inquiritur, quot ex illis radii paribbus si nguli Sinus, Tangentes,Secantes contineant, quae inventio, ut postea ostendam, eo acuratior futura est, quo plures in partes radius circuli divistis asstimetur. Hoc sinuum artificium primi excogitarunt Hipparchus, & Menelaus, horum inventa deinde contraxit, & expolivit Ptol maeus, & novissime Joannes Regiomontanus per fecit, qui ad radium IoCooooo. Sinus omnium graduum, ac minutorum quadrantis supput Vit. Denique horum omnium conatus egregios Clavius noster , Pitiscus , Rheticus , aliique complures illustrarunt. Quamvis autem ab iis omnibus praeclare hoc in genere laboratum sit, quia
357쪽
tamen prolixa hujus doctrinae tractatio est, oditandum sane videtur, ut facilior ea studiosis, atque expeditior, si fieri potest, efficiatur. Quare animus mihi est, artificium quam utile, tam pulchrum, dcclamas, quam caeteri fecerunt, &brevius exponere. Rem omnem tribus Poris in iis, & sex Problematibus ab1blvam. Sit ergo. Torisma. I.
Ducto radio AF, quadratum AF a aequatur a Per r. quadratis FC, AC. Quare si ex quadrato ra- l. I. dii, s eu sinus totius auferas quadratum sinus dati FC, remanet quadratum AC, hoc est quadratum F O. Igitur radix quadrata inde extracta dabit rectam F o sinum complementi quaesi
num semisseos ejusdem arcus invenire . Arcui IC subtende rectam IC, ad quam dcentro perpendicularis sit Λ L, quae tam b re- ctam IC, quam arcum c ILCbis secabit, ac pro' l. inde Io est sinus areus LI 1 emisi eos arcus II C. Ex sinu dato C F per praecedentem inveniatur sinus complementi Cm seu F A, quo ablato ex sinu toto Λ Ι, nota fit FI. Nota igitur est summa quadratorum I F, C F , hocust 4 quadrati I C. Εκ quo eliciatur radix qua- 4 47-t, I '
358쪽
, 296 Trigonometriadrata dabit ca rectam ΙC ,ejtisque semissis sinum quaesitum Io. Torima III. ID. c. senibus LX, FI duorum arcuum
ma)or minutis , Duum IS arcus cujusdam medii invenire. Ducatur perpendicularis Fon Erunt L , IO differentiae sinuum LX , I S ad sinum FR. Et quia arcus L F est non major que minutis , adeoque parvus , non disterent arcus L F , IF sensibiliter , rectis lineis , ac proinde L FI FO assumi possunt ut rectilinea triangula oa τὸν Cο- Qxtia crgo Io est parallela L erit a
rolL I. iit datorum arcuum ad arcus medii
prυ i 6 maximi, & minimi dc minimidisterentia differentiam
ita sinuum datorum maximi, & minimidifferentia ad sinus media, dc minimid; fferentiam
Quare cum hujus analogiae tres primi term ni sint noti, etiam quartus Io innotescet, quem si addamus sinui dato minori F R, notus erit medius quaesitus IS . Lemma.
est sinus semisos ejusdem arcus. Ex centro A ducatur radiusin G F ad C B pe
359쪽
Liber Unisus. 297 pendicularis . Erit ergo CG per desin. I. sinus arcus CF . Atqui per lib. 3. CG est semissis C B, per 3 o. sib. 3. C F semissis C F B. Ergo &e Troblema L sinum arcus 43 graduum invenire. Q Uadrantem CF B subtendat recta C B , ad
quam ex centro A sit perpendicularis'; . A G F. Quoniam igitur arcus C B so grad. abi- sectus est in F, erit F B arcus graduum que, cujus sinus est: B G. Deinde ergo ob aequalitatem laterum A C, A B anguli b quoque A CB , ABC b Per s. t. raequales sunt, qui vero ad A rectus erit. Ergo c ς ABC, seu A B G semirectus. Est autem dAGB' 'Tectus reliquus ergo BA Gesemirectus est, idem
Ita sunt. Ergo, quia quadratum AB aequatur f e Per 3 . utrique quadrato B G, AG , unius quadrati BG duplum erit. Semissis ergo quadrati sinus tintilis A B aequatur quadrato sinus que graduum Quare si ex semisse quadrati snus totius eliciatur radix quadrata , dabit ea sinum que grad. qui , quarum partium sinus totus ponitur
Arcuum 6o, s yo graduum sinus invenire. ESto quadrans BC;arcus BF graduri 6o,& sinus Fig. edus DF. Erit ergo arcus F C graduii 3O, cuju-
360쪽
sinus sit FG; ducatur autem B F, & ex centro Λ F. Qtioniam arcus B-est grad. 6 o. hoc est 1 exta pars circumferentiae circuli, erit BF latus bu hexagoni, ideoque a aequale radio AF. Anguli
n, n igitur ad A , & B in triangulo AFB squales
1i 1 ὸν 6. sunt. Clim igitur in triangulis X , L squales sint lib. a. anguli F BD, F AD; item anguli FDB, FDΛb Phγαν. xitpote recti; latus vero F D commune, erunt blib. i. quoque latera BD, AD squalia: ac proinde quadratum BD est quarta pars quadrati sinus totius AB, seia FB; sed quadratum F B squature Per . c quadratis BD, FD. Auferatur ergo quartae i/b- ι. pars quadrati sinus totius, sive quadratum s misseos AD siniis totius a quadrato sinus totius F B, remanebit quadratum F D, cujus radix quadrata dabit rectam F D , sinum εο. graduum. Posito igitur sinu toto Iooooooo sinus grad. 6O. est 86εo236. Sinus porro F G grad. 3o. est semissis sinus t tius, utpote squalis ipsi DA. Idem patet ex temmate. Posito igitur sinu toto Iooozooo sinua
Problema ΙΙΙ.Sinum graduum invenire. n. π Sto semicirculus F B G, cujus basi radius Q Λ Brectus insistat. Tum radio A G bisecto
in D ducatur recta D B, quς transferatur ex Da Ptolom. in C. Recta BC erit a latus pentagoni circulo LI. almag. inscripti.
Ex summa quadratorum A B radii , sue sinus totius , A A D semisi eos radii extrahe b Per . radicem quadratam , dabit ea b rectam D B, 6b. i. hoc est DC. Ex D C aufer D A semissem radii