장음표시 사용
371쪽
Problema VIII. Invenire simum arcus , qui prater gradus, mι- nuta prima , etiam secunda contineat . INveniendus sit ex. gr. sinus graduum 36. 2o ,
I 6 t. Arcum grad. 36. 2ol. proximὰ minorem dato repraesentet FB; arcum vero dato proximὰ majorem, nempe grad. 36. a I referat L B. Λrcum datum grad. 36, et oi I 6 i , qui inter hos medius est, referat IB. Sinus autem horum trium
arcuum sint L X, F R , I S, & ducatur perpendicularis F o Arcus igitur L F est 1 seu 6ossarcus I F, I 6 , L differentia Sinuum LX grad. 36,ai & FRgrad. 36 ao Quoniam igitur arcus I F, utpote I , insensibiliter differt a recta linea, di multo adhuc minus arcus ΙF, Issi, erit per propos. 6.I. 6. Ut L F ad ΙF ita L indifferentia ad Io diff6oti 16 i Sinuum &c. sinus &c. Qitare cum tres primi termini sint noti , etiam innotescet quartus , differentia IO , quae addita FR sinui grad. 3 6. aol. dabit sinum quaesitum Is .
Problema IX. Dato S nui arcum agiIrare . SInum datum quaere in tabulis. Si eum reperieς, arcum illi debitum habes adscriptum,si no reperies,qugre eo proxime & majorem,& minore,quos V 3 referat
372쪽
referat L X, FR , datum vero repraesentet I S. Ducta perpendiculari F erit per lib. 6. I Q excessus. Ut Sinus L X proxime majoris dato supra minorem F Rad Io excessiim sinus dati IS supra minorem F Rita arcus I F so secund. adnumerum secundorum, quae debentur arcui ΙF. Quare cum tria prima sint nota , etiam qua tium innotescet, numerus nempe secundorum
debitus arcui IF , qui additus gradibus , ac minutis arcus noti F B dabit arcum debitum sinui dato IS.
isque haec quidem bactenus de Sinuum, rangemitum , Secantium inventione . I liquum est , ut quaedam ad plenam hujus rei theoriam facientia I quenti Scholio declaremus. Scholium. Quaestio est, cur radius circuli in tot partes divisus assumatur.
UT brius assumpti causa intelligatur, meminisse
debemus, omnes Sinus, Secantes , ct Tangentes
inventas esse vel per radicis extractionem,zel per R gulam proportionum. Et quidem illi Ieto sinus ar
373쪽
Liber Unicus. 3IIcuum se invicem qs minutis superantium per extractionem radicis reperti sunt, ut patet ex 'Problim. I, 2, 3, qa . Caeteri Uero omnes inter hos medii ex illis 12o per proportionis regulam innotuere , ut ex Problematis 3 postrema parte connat . Tangentes au tem, N Secantes ex sinibus jam notis per regulam eandem reperta sunt, quemadmodum Problem. 5.6lensum est . Iam vero numeri, Θ quibus radix fuit elicienda , ut plurimum sunt non qu drati , ex quibus se radicem educas , ea semper a vera , qua ut lib. 3. Arith. cap. 6. demonstravi impossibilis est , disteret excessu, defectuve aliquo, minore tamen , quam sit unitas. Haec porro disseremtia,quae obfractionum in supputando molesta negligi
tur,eo minorιs momenti erit, quo ma)or fueris numae
rus ille,d quo radix educta fuit.Erit antem ille num rvs eo may0r, quo radius in partes plures divisus asesumetur. Exemptu stutuamus in sinu s graduu,quem Probl. 1. docuimus obtineri , si exsemige quadrati simus totius radicem extraxeris . Si numerus radii, seu simus totius assumatur magnus , qualis hic enI OooCCoo, illius etiam quadratur, adeoq; G qu dr semissis 3 ooooooooooocio multo erit major .Pomro radix integra,qus elici potest exue oooOOOOOOOOOo, ere 7o7Io67 , quae quia ex maximo numero elicita eri, etiam ipsa magnus'numerus. Undest , ut ipsius a radice cera impossibili defectus , qui semper
unitate minor en, ad ipsamproportionem habeat insensibilem , proiiaeque tuto , er uisque sensibili errore ullo negligatur . Hanc igitur ob causam tantur numerus partium simus totius assumi debet. Verum, ut hujus rei cassa manifestior evadat , omnia erra rum capita exactius erunt colligenda . Primum capra erroris est in sinibus illis primis Iro, quos rep
374쪽
rire oportuit per edi monem radicis ex in eris no1, quadratis . In resiquis deinde, qui ex bis per regulam prop. eliciuntur, idemque proinde vitium participant , alii duo infunt errores proprii , videlicet quod in triangulis L FR, II O arcus L F que , σarcus IF IS , S assumantur tanquam rectae lineae ;atqueinsuper,cum regula proportionum exercetur,quod fractio ex divisione residua negligatur. clio vitio postremo etiam Tangentes, o Secantes , quae omnes ex sinibus pcr strop. reg. obtinentur, laborent nece Je est. Denique cum sinus perpauci tantum immediate reperiantur, caeteri vero sinus omnes deducantur ex invicem, ex simbus auit m Tangentes,VSecantes, manifestum rit, singulos praeter errores sibi proprios
contrahere etiam Citia eorum , d quibus ipse derivan tur; undest, ut error, qui in sinu immediate inventos plex erat, in Isicundo quasi duplicetur, in tertio triplicetur, a sic diinceps. Unde consequensnt, eo sinus esse accuratiores, qui ex paucioribus derivantur 3 exactissimos vero elye eos , qui immediate, hoc est ex aliis nullis in venti sunt. Ex his ergo capitibus Sinisum, Tangcntisem,Secantium defectus oriuntur, qui ne essent notabiles, sed quodammodo ezanescerent,radium maximo partium nxmero divisum assu
cre oportuit; s quamvis defectus illi sint nororinus, seu ut sam ostendi) plures, tamen quod singum. Ii nullius fere momenti sunt, etiam simul juncti errorem vix sensibilem inducunt, si assumatur pinus
totus partium admodum multarum ; quae nim pro portione augetur numerus radii, eadem crescunt nu εχncri senisum, ac proinde errores , qui in iis suppis'-tandis commitri debent, magis e Tamscunt.
Deinde istud itiam tyronet intestigant, si Sinus, Tangentes , Secantes accipiantur au sinum totur a
375쪽
1ocoozoo. quales passim in tabulis reperiuntur ab jectis duabus primis notis haberi Sinus, Tangentes, Secanter ad radium 1 oooco, totidem videlicet 9-fris mulctatum . Ex. gr. posito radio IoOCOOoOSι- 1ius 8 grad. est 130 17 31, si cupiam minorem ad radium I ocooo, omissis duabus primis notis, is em talis enim Sinus , Τangentis, Secantis disterentia a majori solum erit fracilio , cujlis nume ratorset notae abjecta, denominator πerd sinus t tus duobus Osiris mulctatus. Itaque simus 8. grad- 13917 minoris a maiori 139173I , differentia erit diametri. Ratio pendet ex natura logisti
decimalis, quam exposui Arithm. Tradiicae lib. 2. cap. 9. N seq. praesertim ex Τbeor. I. T 2. c. IO. Pinemo hoc imprimis hic observabitur,csem Sinus, Tangentes,Secantes expetuntur respectu radii ex gr. Icoooo,exaptoressore eas lineas,si supputentur respectu sinus I Cooo Coo datum excedentis duabres cst .fris, O ab iis ita supputatis totidem primae notae , ut jam dictum est, abjiciantur. Ratio est, quia errores sinuum multis notis constantium, non Tersantur nisi in primis notis. Ita Regiomontanus, cum simus clipe- 4ret ad partes radii 6ooooo,assumpsit radisi sco o, ocooo, τ ὰ sinibus ad eum radium supputatis primas quatuor notas sustulit. Similiter Rheticur,ut haberet simus ad radiu a Coococooco assumpsit radiuIO OOΟo, Coooo,ooooo,N a sinibus per hunc repertis praescidit quinq; notas primas. Quo artificio obtinetur,ut notae residuae omnes verae existant , ac proin' des nur ita reperti ὰ veris non desciant per unam intiam earum partium, quarum radius in tabulis, sive canone assumitur . Et tales sunt ii omnes , qui
in tabulis pabim descripti sunt.
376쪽
. Triangulorum redulineorum Analysis. TRiangulum omne, quod per se manifestum
est, tria latera habet, & angulo* tres, quae simul juncta senarium numerum essiciunt. Ex his tria semper nota sint oportet, ut tria reliqua, quae sunt ignota, cognoscantur. Scientia igitur ea , quae ex tribus datis, sive cognitis docet tria reliqua incognita invenire, Analysis Traam gulorum ab aliis T rigonometria appellatur. Hoc invento vix aliud, seu praestantius, seu utilius. Quod ex nunc tyrones, ut vel eminus perspiaciant, non ea ibium triangula contemplari debent , quae in carta, vel tabula delineantur; sed ab his cogitationes suas transferre ad ea oportet , quae tu campis, atque in aere, imo & in ipso coelo per radios visuales, & ipsas rerum distantias, longitudinesque describuntur. Opportunum erit ex iis, quae postea erunt uberius ese plananda , exemp. unum, alterumve quasi ad rei totius specimen aliquod aflare . Inter Problem ta Trigonometriae hoc erit inter caetera unum, qui dato uno latere trianguli rectanguli, & a gulo acuto uno, reliqua latera quanta sint, imveniri possint. . it. Ex hoc Problemate montis, aut turris altitudinem metiri poteris . Turris alicujus altitudinem reserat recta QF; distantiam vero oculi ab eadem recta ΛΩΤ orizontalis , cum qua T . Ehum angulum constituit altitudo F radium
visualem extentum a turris apice F ad oculum in Λ repraesentet recta F Α. Habemus tria gulum rectangulum intelligibile in aere deseriaptum ,
377쪽
ptum cujus unum latus est Ain distantia oculia turre, alterum inἰ ipsa turris altitudo, tertium radius visualis AF . In hoc triangulo angulus Q A F ut filo loco ostendam ) fit notus instrumento; latus Λ Q φοῦ stantia Iam supponatur nota . Ex his duobus cognitis angulo videlicet acu- ω , es distantia A universale Pr blema sam dictum invenietur quanta sit altitudo turris Adjungamus & alterum. Inter caetera Problemata Trigonometrica etiam istud o currit: datis in triangulo quolibet duobus angolis, quae sit laterum inter se proportio, invenire. Ex hoc Problemate ad distantiam Lunae a Te ra dimetiendam via aperitur. Centrum Lunae sto C, centrum terrae A, oculus in stiperficie te rae in B; semidiameter orbis Terrae Α B. Cogitentur tam ex terrae centro A , quam ab oculo Bextendi rectae ad Lunae centrum C. Quo facto constituitur triangulum a Terra ad Lunam pertingens, cujus unum latus est semidiameter Υerrae AB, reliqua duo sunt distantiae tam centri Terrae, quam ipsius oculi a centro Lunae. In hoc triangulo angulus ACB astronomico artimcio innotescit, angulus vero Λ BCfit notus per instrumentum. Itaque ex his duobus angulis jam cognitis per universale Problema jam dictum imnotescet, quae sit proportio lateris CB, vel AC ad latus A B hoc est, quoties distantia lunae terra semidiametrum terrae contineat: ac proin de cum alio jam artificio, quot milliaria radius te rae contineat, innotuerit, ipsa etiam distantia Lunae k terra in milliaribus innotescet. Ad tamiae rei notitiam nos deduxit problema hujusmodi, quod tyro forte aliquis nullius esse usus judicasset. Hic ergo dicta sint in gratiam eorum, qui-
378쪽
quibus illud in ore semper, cuiusui, ut ex his etiam caetera, quorum usum non perspiciunt , aestimare discant. notationes quaedam pro Dronibus. ΡRiusquam vitrb tendamus, expediet his in mea moriam revocare nonnulla , quae in Elementis traduntur, in quibus sub haec initia haerere plerumque tyrones 1blent. Praetereant ista, qui his non indigent.1 Datum, & notum idem significant in hac
a Circumferentiam circuli partiri solent Μ thematici in partes aequales 3 6o, quas gradus appellant , di harum singulas rursus in εο aequales,
dicitur, cum scitur, quot gradus contineat, tunc enim arcus ille, quanta sit totius circumferentim pars, innotescet.
ex vertice anguli tanquam centro inter ejus cru
ra describuntur. Sic anguli C mensura est arcus O centro C descriptus inter anguli crura C A , CB. Patet ex ultima lib. 6. Hac de causa angulus C dicitur esse tot graduum , quot gramduum est ille arcus o Q , ut si arcus O est grad. 3 2, etiam angulus C erit graduum 32.
quando scitur, quot graduum sit, hoc est, quot graduum sit arcus O inter ejus crura ex Vertice, ut centro descriptus.
379쪽
grad. seu quarta pars circumferentiae totius. Et duo recti dicuntur grad. I 8O quia arcus inter eorum crura descriptus, eosque sit btendens, est grad. I 8o, semissis nempe circumferentiae. Et quatuor recti dicuntur effcere 3εo grad. quia subtenduntur a tota circumferentia. et Si ex anguli vertice ut centro inter ejus la- Fig. i . tera plures describantur arcus o S V; minor aeque est mensura anguli, ac major; quia minor aeque magna pars est suae circumferentiae totius, ac major tuae , ac proinde si arcus major oest ex. gr. 32 graduum, quorum tota circumferentia major O H est 36o, etiam minor arcus SV est graduum 32, quorum minor ci cumferentia S V R T est 3 εo. Patet ex Corol. 3- prop. 33. lib. 6.8 Cujuscunque trianguli tres anguli simul Fig. is simpli essiciunt grad. 18 Q. Quia per 32. lib. I. tres illi anguli simul sumpti semper essiciunt duos
Tectos, ac proinde, si ex angulorum verticibus A , B, C tanquam centris inter trianguli cujusvis crura describantur , eodem intervallo circini , tres arcus F G , X L, O in simul sumpti
semper conflabunt semicirculum, hoc est arcum 18o graduum. Nam si centro C perficiatur semicirculus ΟQΡ, & arcus F G transcribatur ex inia L; tertius arcus XL aequalis erit residuo LP,
adeoque tres simul arcus OQHG, XL conficiunt integrum semicirculum o LX P. 9 Cum in triangulo ABC quocunque - , noti sint duo anguli A grad. Ias, B 3 etiam C tertius innotescit , si utriusquet' dati gradus is y subtrahantur 1 I8o gradiabus . Remanent enim gradus a I tertii am
380쪽
lib. i. Atque hac de causa datis duobus angulis, etiam tertius dicitur esse datus.
Io Pari ratione, si in quovis triangulo ABC notus sit unus angulus sBgrad 39.) innotescit e iam sinima reliquorum C , A ) si gradus anguli ii ti B grad. 39 in subtrahantur a I 8ogradibus; re manent enim gradus I I summae duorum reliquorum C, A). Patet ex annotat. 8 , & 3 a. lib. 1. Et hac de causa dato uno angulo , dicitur &summa reliquorum dari.
1r In triangulo rectangulo B Λ Cὶ dato ac to uno C grad. 3 I etiam acutus alter B innot stet , si acuti dati s C grad. 3I) subtrahantura gradibus qO, remanent enim grad. sues in pro acuto altero B . Patet. ex annotat. 8, ct 32. lib. 1. Et hae de causa in triangulo rectangulo, cumdatur acutus unus, dari dicitur etiam alter.
12 uiuatuor termini A, B, C, Z dicuntur pr portion. 3les cum primus A est ad hi Aha secundum B, ut tertius C ad quar' itu C ad Z 'tum L 13 Termini noti sunt, qui numeris exprimuimtur, hoc est, quando scitur, quot partes alicui
I Cum e quatuor proportionalibus tres termini sunt noti, quartus vero incognitus, is se per innotescet, si secundus multiplicetur per te tium, & productus numerus dividatur per primum , quotiens enim divisionis erit quartus , qui latebat. Atque haec est regula,quae vulgb proportionum, sue trium, & ob summam utilitatem Aurea appellatur, demonstrata est prop. 19. lib. 9. de qua vide plura lib. q. Arithm. cap. I. Dato angulo, datur ex tabulis sinus eiusdem: &dato