장음표시 사용
381쪽
dato sinu datur angulus ut si detur angulus grad. o, I 6 . gradus quaere in vertice tabulae, minuta autem I 6 in columna prima ad laevam. His adscriptum reperies non tum sinum iblis debitum 6 63 εο , sed etiam tangentem 3 7o6ro, &is ecantem Isioue 396 . Contra si detur sinus ex gr. 6 363 εο, cujus angulum ignores, quaere in colhimua sinuum numerum datum ;vel si non reperiatur , ei proxime aequalem , incolumna prima ad laevam reperies minuta, &invertice gradus anguli quaesiti. Denique hoc observa: in analysi trianguli rectanguli quamvis solum duo data exprimanturi; ut duo latera , vel unum latus cum uno ac to; tamen datum tertium semper est ipse angulus rectus, qui quia per se notus est,& triangulo rectangulo nominato satis subintelligitur,ulterius exprimi non solet. ,
382쪽
Datis Omnibus angulis laterum proportionem invenire.
'A C adscribe totum sinum , lateri A Rsnum oppositi anguli C, lateri C B sinum I anguli oppositi A. Eadem erit laterum
proportio, maae sinuum . Demonstratio patet ex defin. 6. cap. 2. Itaque si cupiam scire, quanto latus unum sit altero m
jus ςx. gr. BC quam Α C : sinum Iooooooo divita per sinum 31sor 81. Quotiens 1 68'' ' hoc indicabit; sicut enim quotiens e , ad I, ita AC est ad BC. Vel alterutri lateri circa rectum , puta BC, cui adscribe sinum totum, lateri B A tangentem acuti C, basi AC secantem ejusdem anguli C.Ita patebit laterum proportio , ut patet ex definit.
Problema II. Fig. io. π Atis basi s BC pedum roo 'acuto uno
i triangulo rectangulo hypotenuia, sive bax sis dicitur, quae ructo angulo opponitur, la tera vero, quae rectum angulum continent.
383쪽
ita eadem basis BC, prout est pedum
ad latus A C, prout est Gnus anguli B grad. is 9. 337 167sad ejusdem lateris AC
In quo analogismo , quia tres primi termini sint noti, etiam quartus incognitus, numeras nempe pedum lateri Λ C debitorum innotescet per regulam proportionum multiplicando vid licet secundum 83 7 1673 per tertium Ioo , &productum 8671673oo dividendo per primum is
visione proveniens, est quartus, qui latebat,numerus pedum scilicet, quos continet latus quς- situm Λ C. Non assimilis inventio lateris A B. Nam quia datur acutus B grad. 39. etiam per 3 a lib. I. seu annotat. II datur acutus alter C grad. 3I; unde etiam sinus utriusq; dantur . Iam Ut basis B C, prout ad latus ignotum Λ B, est sinus totus prout est sinus ang. I OooOoOo 3 13 381,
ita basis B C, prout ad lateris ignoti A B pe- estpe lum des quae.
Cum ergo tria prima sint nota . etiam qua tum , numerus videlicet pedum lateri A B debitorum per regulam trium innotescet. X Demon-
384쪽
Demonstratio. Hoc unum tum hic, tum ferὰ etiam in seque tibus erit demonstrandum, quatuor supra-- distos terminos esse γroportionales. Id vero ex definitione 6.cap. a. manifestum est. Nam basis BC , latus nempe recto angulo A oppositum est sinus totus, seu radius, latus vero A C est sinus anguli oppositi B ex. gr. 19. grad. qui ex tabulis datur 83 7 1673. Igitur quarum partium sinus totus, nempe basis B C est ioo oooo. earum sinus a stili B, nempe latus Λ C est 3ue I 673; ac proinde ut basis BC prout est sinus totus Iooooooo est ad AC8ue i 673 sinum anguli B, ita eadem ba-ss BC ex hyp. too pedes ad idem latus AC quaestum, sive ad numerum pedum in latere ACcontentorum. Qu*d erat demonstrandum. Pari modo per defin. 6 BC est sinus totus 1 ooooooo, & A B sinus anguli C 3r grad. qui ex tabulis datur uerso 38 I. Ergo ut BC sinus t tus I Cooo o ad BA sinum saue es 8r, ita eadem BC ex hyp. pedes roo. ad eandem B Λ incognito pedum numero eonstantem. Quod erat de
Fundamentum hu jus , er omnium sequentium operationum , ac demonstrationum est , quod qua se dva quantitates .a, or Z notae sunt secundum quamvis earum mensuram, er una earum A et ram nota est in alia mensura ex. p. in pedibus , tum etiam altera Z in pedibus neectario innotescet per regulam auream, vide cap. I. lib. q. Arithmnestra , ubi id demonstratum es.
385쪽
Docis latere uno AC milliariorum Iomina Fla. I .cue acuto uno laetus reliquum BA ,σb BCὶ invenire. Fx uno acuto dato notus fas alier : ut si B detur grad. Fq. bis subductis a so. erit C tr. 36. Ut latus datum AC,
ita latus datum AC, prout est milliariorum diventio laseris AB. ad adlatus ignotum ΑΒ, prout est anguli Ctato lateri adjace tis tangens 7263 36 lateris ignoti A Bmilliaria quaesita.
Inventio basis B c. Ut latus datum A C, ad
ita latus datum AC, ad prout est milliariorum
prout est acuti Cdato lateri alacentis secans I 23εοε8o ignotae BC baseos milliaria quaesita. Qirare cum in utroque analogismo tria prima sint cognita, etiam quartum utrobique per regia iam proportionum innotescet: eritque latus Λ smilliariorum 716 basis verb B C milliari
386쪽
Demon trario. PEr defin. s. cap. a. Iatus ΑΒ est tangens an guli C grad. 36, quae ex tabulis datur 72εue a , Iatus verb AC est sinus totus Iooooooo,hoc est, quarum partium latus AC est Iooooooo, earum est AB latus γαε ue 26. Ergo ut AC ICOCooO .
est ad AB 16s αε, ita eadem AC ex hyp. I Coo milliar. ad milliaria quaesti lateris A B , hoc est
ad mimertim milliariorum in Λ B contentorum, ergo dcc. Pari modo per desn. 9. cap. 2. respectu angumili C grad. 36 AC est sinus totus 1 ooooooo&BC secans,quς ex tabulis datur 123 6o68o. Ergo ut AC snus totiis iooooooo est ad BC secantem 1236o68o,ita eadem AC ex hyp. Ioo milliaritam. ad eandem BC ignotum numerum milliariorum continentem, ergo &C. Troblema IV.
Iooc pertic*rum )s uno latere II 89 i perticarum) datis , in enire acutos. gulos , latus alterum B. Ut basis data CB ad latus datum AC perti-
ita basis eadem C B, ad anguli ignoti B, qui da C. prout est sinus ho- to lateri A C opponitus I Coooooo tur, sinum.
Qui proinde per regulam proportionum reperiatur 86ioooo; huic in tabula invenitur proximiamqualis , cui dscrietus est angulus gr. 3, qui per probi. s. cap. a. adhuc reperitur ex ctius rue. ergo est angulus B, qui latebat, inve ..to
387쪽
to autem acuto B datur etiam acutus alter C grad. 27.
Quoniam vero jam in triangulo rectanguIon ta est basis C B cum angulo C, latus qussitum B Λ invenietur per probi. a. Idem latus independenter ab angulis reperiatur per probi. 3. in Scholio prop. 67. lib. I. elem. Demonstratio . per desn. 6.cap. a.CB est sinus totus iooooooo , & C Α est sinus anouli R. ergo ut basis BC 1 poci pertic. ad latus AC 89 I pertic. ita basis eadem BC prout est sinus totus rooooobo ad idem lotus ΛC prout est sinus ignoti anguli B. Aliter. Ut latus C Adatum ad basim CB
pertic. 891 pertic. IOOoi ita sinus totus ad secantem ignoti ang. Iooocooo C datis CB, C A comprehensi. Demonstratio eadem, sed est desin. 9. cap. R. Problema P.
Di bus Iateribus datis B A pedum τ9 , C A
pedum Ioo Iacutos angulos, basim in-
Inveniendus sit angulus acutus C. Ut datum latus AC ad alterum latus adjacensquaesito ang.C datum A B. ita sinus totus ad anguli quaesiti
388쪽
per regulam prop. reperitur 79OOOoo ;huic proxime squalis invenitur in tabula 6is 66xue , cui adscriptum reperies angulum 3 i graduum, qui probi. 9. cap. 2. adhuc reperietur exactius . Tantus ergo est acutus C , qui latebat , quo eκ grad. so subtracto datur & alter B grad. 32, quia vero noti jam sunt acuti anguli, dc ex hyp. etiam latera per probi. a. etiam basis B C siet nota . Alia basis inventio ab angulis independens traditur probi. a. Scholii prop. 47. lib. I. elem.
Demonstratio. Per desn. 9. cap. a. respectu anguli C sinus tmtus est C Λ , tangens B Λ . Ergo ut C A ex hyp. pedum ioci ad B Λ ex hyp. pedum 79. ita e dem CA, prout est sinus totus Iooooooo ad eandem B A, ut est tangens quaesiti anguli C.
Triangulum , in quo nullus angulus rectus est, obliquangulum Voco. Problema V L
DAtis omnibus lateribus lateris segmenta BF, C F) fucta a perpendicutari Flex opposito angulo ducta , s ipsam perpendicularem invenire . Centro A intervallo lateris minoris A B d scribatur circulus secans reliqua latera in Ο, &dc producatur C Λ in L: manifestum est L C ess summam laterum AC , ΛΒ ; & OC disserentiam eorundem; item patet ex prop. 3. lib. 3-B bisectam esse in F. His ita constitutis rectangula
389쪽
BC in & L Coa aequalia sunt. Ergo per I A. vel I6. lib. 6. Ut BC Iatus, in quod ad L C summam lat
perpendicularis rum reliquorum
cadit. BA, AC ita OC disserentia ad rectam C in 'reliquorum laterum. Quare cum tria prima sint nota , etiam quartum nempe C Rinnotescet, haec, si perpendicularis intra triangulum cadit, ut in Iig. 2o a lata a latere noto B C notam relinquet B in, cujus semissis BF est s egmentum quaesitum minus , quo subtracto a latere BC , qtiam majus segmentum C F innotescet. Quod si perpendicularis cadat extrὶ ut in. Fig. χIὶ tunc ex quarta proportionali C mu trahe latus BC , ut innotescat residuum B in hujus enim semissis B F dabit segmentum minus ad quod adjecto latere BC habetur segmentum majus CF. Ipsa vero perpendicularis Α F fiet nota, si ex
quadrato lateris B Λ adjacentis minori segme to subtrahatur quadratum minoris segmenti BF,& ex residuo extrahatur radix , ea enim erit M, Patet ex p. 67. lib. I. Porro ipsa quarta proportionalis C in indicat quando perpendicularis intra triangulum cadat, quando extra ; cum enim minor est latere dato
BC, in quod incidit perpendicularis , ea cadet
intra triangulum, cum major extra.
Hoc problema, qMd fata proinde pulchrum, aque utile est, expeditur etiam per prop. I a. lib. a. ut tradidi in s otio ibidem ; sed modus hic traditus aliquanto facilior est .
390쪽
Atis omnibus angulis luter m proportimen,
In quovis triangulo eadem est inter latera proportio, quae inter sinus angulorum lateribus oppositorum. ἰDemonstrasto i
Esto triangulum obliquangulimi ABC latera habens inaequalia salias enim res per se esset m nifesta in &ex in ori CB abscindatur CI aequalis minori A B, ducanturque IL, B F ad Λ C pe pendiculares, quae quia fetunt inter se parallelae,
erit a CI hoc est A B) ad C B, ut IL ad B F. Sed posito sinu toto CI est IL sinus banguli C,& posito sinu toto AB, hoc est eodem , quo a tὰ, cum AB, C I aequales sint in BF est e sinus: anguli B A C, ergo latus A B est ad latus C B , ut sinus anguli C ad sinum anguli B A C, e
dem erit in reliquorum comparatione laterum demonstratio. i Tantum nota. Cum perpendicularis BF extra triangulum cadit , eam nihilominus esse sinum
anguli BAC, quia d simis est anguli B A F, cum quo e eundem habet sinum angulus B AC, ejus