장음표시 사용
131쪽
dentes problema est plus quam deteminatini, et nisi casu sonuit accidat, ut determinatis incrugnitarum valoribus reliquae etiam redundantes aequationes Verificentur, Problenia inuoluet in
pugnantiam. Si si in exemplo superiore i s
addas tertiam Conditionem, Ut maior ex numeris quaesitis sit aequalis quadrato differentiae eorundem, hae quidem conditio in repertis numeris casu veriscabitur at si hanc assideres, ut ambo numeri sint pares probloma repugnantiam inuolueret, cum repugnet, ut duouunieri Pare et Lelant summam imparem.
157. Aequati , ad quam problema ultimo reducitur vel Amplex erit, si nempe occurrat unica tantum potentia quanti tis incognitae, Ut in his x - a x - ars vel assecta, si nimirum plures eiusdem quantitatis incognitae occurrant potentiae, ut in his x -- - by x is axy- c. Quaevis item aequatio est primi, secundi, tertii eae gradus, prout quantitas incognita assurgit ad primam, secundam, tertiam ete Potentiam. SCHOLION. Nos qui solis tironibus scribimus, ea solum pertractabimus, quae ad aequationes primi, et secundi gradus pertinent. Qua re praetermittimus ea omnia, quae in gratiam altiorum aequationum tradi hoc loco solent. Siqui tironum ulteriores in algebra progressus facere Voluerint, iis, quae trademus, probe intellectis cetera facile condiscent, quae in libro
de Resolutionibus Aequationum diffuse tradidi
132쪽
158. THEORBNA. Qiuuis aquationis tremistis ex uno membro in aliud transponi potes eum Ax
contrario retenta membrorum aequalitate.
DEHONs T. Terminus enim, qui cum signo contrario transponitur, vel est positivus, vel negativus si est positivus, ea transpositione idem utrinque tollitur; si est negativus, ea trans mtione idem ut inque additur atqui si ab aequalibus tollatur, vel addatur idem , retinetur aequalitas ergo. E. g. Si ui aequatione i ii e terminus scum signo 'ransponitur, Ut sit a m e terminus b reapse utrinque tollitur. Et si inaequatione 3 - - b terminus is cum signo Φ transponitur, ut sit a --x aeo minus C reapse trinque additur. I 59 COROLL. L. Quivis ergo aequationis terminus potest transpositione e negativo pomtiuus e positivo negativus reddi retenta membrorum aequalitate. Potest item quaelibet ae luatio redigi in nihilum, si ex uno membro omnes termini transponantur ad aliud cum signis contrariis, id quod in aequationibus praesertim altioribus acare non raro expedit. E. . si
que aequationis membro iisdem signis affectus
retenta aequalitate trinque deleri potest. E. g. si fuerit 3a - ab is x αα -- e' ais, erit ab utrinque delendo νι --- ααβ' --e' nam delere utrinque quantitatem negativam
idem est, ac eam cum signo ri utrobique adde
133쪽
x aure et delere positiuum idem est, ac eam virobique tollere. 16 Tnao REMA. Siquis terminus aequatiovisse aliquam quamitatem es multiplicatus, postvnt . times alii utrinque per eandem retenta aequalitate diu
di . et illa in termino si delariis aut si s diuisus. possunt reliqui majBoi . et ea ibi Uῖ de .
De modis TR Aequalita enim retiuetur, si utrumque aequationis membrum per andem quantitatam diuidatur, aut multiplicetur atqui per eandem quantitatem diuidendo in primo eam , vel multiplicando in se Iindi, terminus ille erit per idem multiplicatus simul et diuisus quare delato diuisore, ac multiplicatore manet inuariatus ceteri Vero, qui per eam quantitatem non multiplicabaeutur, ne diuidebantur,aam diuidentur in primo Casu, multiplicabuntur in secundo ergo retinebitur membroriun aequa- Iitas, E. g. si fueritis, Ux metae ed diuidendo Vtrumque aequationis moinbrum peris' b
ab'-d cum primum membrum diuisum sit pera , hoc in primo membro omittendo, et alterum per illud multiplicando erit a - - in e
nis ternunt per eandem, vel easdem quantitates fuerint multiplicati, aut diuise, possunt eae R. P. Mari Mathes. I
134쪽
- I x et a in b. Possunt etiam fractiones ab tera post alteram tolli, si nempe utrumque mem-hrum aequationis per singularum fractionum de nominatores successu multiplicetur in praecedente aequatione terminos omnes primum multiplicando perra eritis ax-- x - sab; rursus mustiplicando per cerit a x - 15 φ
164. ΗBo Rama. Potest mirumque aequasi tris membrum retenta aequalitate ad eandem potentiam evehi, vel ex utroque membro eadem radix extrahi.DEMO Irsae R. Quantitatum enim aequalium tam potentiae quam radices eiusdein gradus aequales sunt; cum illae oriantur aequalium per
aequalia multiplicatione uso, hae aequalium per aequalia diuisione las).
E. g. si fuerit a x αἷUF, erit eleuam vi ad Potentiam, utrumque membrum exa
135쪽
ι rursus utrumque eleuando ad potentiam ierit e v - b r. Similiter si fuerit, α ab , erit utrinque extrahendo radicem cub,
ScΗoLION ope horum Morematum facilesbluuntur omnia problemata quae ad aequatio nes simplices reducuntur uti elucebit e sequemti capite.
De resoluetione problematum, quae ad amquationes Impsice reducuntur. 165. Roativaea Aequationem si siem, in
I ui, incognita reducere heueseere, ut in no membra aequationis sola inregni ta in astero merae quantitates eo ita sant. Rason vet Q Si in menibus4squationis oecurrant fractiones eas ante omnia tollantur a 63 et si termini omnes per aliquam quan titatem multiplicati sunt, ea ubique deleatur
a Si in utroque membro aequationis occurrant termini quantitatem incognitam continen tes, transferantur signis mutatis in eam Partem, in qua facta finali roductions quantitas incogni'
136쪽
litas incognita, suaderet in fine negativa. 3 Si terminis incognitam continentibus adhaereant quistitates cognitae signis aut iunctae, transferantur omnes ad membrum alterum r59). E. g. si fuerit a x-ψ--, ad' et ab erit transponendo cognitas ' et - ad ad aliud membrum ax - x-3a, 4 Simi litas incognita fuerit per cognitas mullii plicata per eas utrinque omnes termini di uidantur. E. g. in exemplo superiore est multiplicatum per a-b ergo per a i omnes terminos diuidendo erit x -----5 Si quantitas incognita a cognitis iam pIene separata ad aliquam potentiam . . g. secundam. tertiam te eleuata fuerit, X Vtroque men 'hro aequationis extrahatur radix iusdem gradus, uera indicat exponens potentiae. E. g.
Sin autem quantitas incognita signo radicali assecta fuerit eleuetur utrumque membrum ad eam potentiam, quam indicat euonens ram
SCHOLION S in quapiam aequatione tu res adfuerint radicales roductio commodius in e in modum.
137쪽
facta pro radicalibus substitutione erit ρ - - et membrum utrumque eIeuando ad quadratum erit. - - as ac loco. et ponendo valores superiores erit a x-bx--a d-d' quia vere terminus sid ad j xellam num radicalis est , rursus eleuetur utrumque membrum ad quadratum ante bi et ' in alterum membrum traiiciendo emitque a x - aa bH d 4--x- ab Px- - 4fd ibi si pro substituatur eius valor xx, obtinebitur aequatio ab omni radicali libera. Atque hoc pacto quantitates radicales oliminare semper licebit. 6 6. PROBLEm A. Datuvi proh va ad suas a
REsoLvx. Statu quaestionis, et inclusis in ea conditionibus diligenter expensis, sedulo dispiciendum est, quaenam dentur quantitates, quaenam quaerantur, quaenam item inter quaestas stula, a cuius inuentione pendet solutio problematis quaenam denique inter datam et quaesitas intercedant relationes.
a Quantitates datae primis alphabeti literis, quaesitae postremis ossignentur. Siquae propict mutuam relationem eadem liter des. gnari Possint, eadem designentur iuxta eam, quam habent relationem , ut si maior sit minoris tripla et minor adpelletur, maior exprimenda est per ax, non per nouam literam. s Videndum accurate, quaenam quantitates iuxta Problematis conditiones vel simul, vel seorsu dicantur esse aequales, vel proportio
138쪽
nales earum aequalitates per aequat necem, Primantur, quae quidem semper tot erunt, quot problema habet conditiones 15 a)t proportio vero, qua occurrit, romiuatur in aequatio
I. Sit propositum quens problema. Tres
inseres luerati sunt aureos I 6o seeundus omnis plures accepit quam primas; verum tertii aequat amιο-rum luera quaeritur squiorum luerum x Patet dari summam lucrorum, nempe 6 aureos, dari item numεrum 8; quaeri autem singulorum Iucrum patet autem inuento primi lucro cete rorum lucra innotescere; nam lucrum secunditantundem est plus auret 8, lucrum tertii e lucro utriusque coalescit. Igitur a sit summa E6o - , α b, lucrum primi-x erit iuxta problematis conditionem lucrum secundi W- b lucrum tertii -a -- b. a Cum lucra omnium trium simul emcere debeant 16 - a, collectis omnium lucris astetur haec aequatio x-- - - ν-- ax--b - a, u ἡ- ab πa. II. Sit propositum sequens problema. M- 'vire tres numeres quorum primus eum somnis faciatis, fecundus eum tertio a renis cum primo II. I Patet hic dari tres numeros M, I x, et 11 ac quaeri tres alios s)Itaque sit 8ama 13 -b; a1- et quia tres numeri quaesiti a se non pendent ita, ut unus ex alio innotescat; singuli singulis literis designandi sunt sit ergo Primus et x, secundus ... . tertius ima s)
139쪽
prima probismatis conditione nascitur haec amquatio M W-a; ex secunda haeos Da-; ex tertia haecm Sit propositum sequens problema. Immnis duos timeros, e quorum primo, ad secundum reansferat- , aris aequales an autem e δε-
evnia ad prin- ranoreatur a primus Aa secundi plus a Perspicuum est quaeri duos num ros a findependinis , et dari duas eorundem relationes, nam stilicet aequalitatis, alteram, ut sic Ioqvar, duplicitatis. Quare' prior voeotur, postatior 3 Iam o prima conditione si ex ad incedato, erit - - γ et ex secunda si ad x ex faccedat 1, erit duplum de a vi ergo hoc illi amquale fiat, debet hoc per a multiplicari, eritque --I-a,- a. Atque ita inuentae sunt duae aequationes e totidem conditionibus pro-hlematis erutae.167. RoηLBΜΑ. Aequatisne intermedias , Aquas problema eslatum es, redurere ad nisam βω- Iem, in qua una tantam eontineatur quantitas ineo- ω. Rusoae v T. Postquam problema in suas aequationes rite resolutum est, hae inter sese ita com- Parandae sunt, ut quantitates incognitae sensim eliminentur, unica in aequatione finali remanente. Et siquidem problema determinatuni fuerit, ea incognitarum eliminatio semper obtineri poterit his modis: a Subsilui ne, si nempe valori Iustam in cognitae ex na aequatione erutus in alter iubstituatur. E. g. sint duae aequationes, in quas
140쪽
Quaeratur in posteriores Ior incognitae L 165 a reperietur F- x Valor hie in priore loco, substituatur, erit a I-4 3 - , ubi unica tantum est iam incognita I. Similiter sint tres aequatione x- y-ι , - 3M- gratae. Quaeratur x in secunda cit. reperietur, sed i et aes in tertia , reperi tur ν - - a VaJores h in prima substituam tur, et obtinebitur aequatio b sa a - - a. ubi nica duntaxat est incognita α Aequesuate duorum cum vn tertio, Cum scilicet e duabus aequationibus totidem Valores ejusdem incognitas elicitintur, ac desindo interso comparantur. Si in postremo supcriore exemplo si tam e prima quam e secunda a Uatione eliciatur valor incognitae x, erit in pri
nica tantummodo est incognita a Curandiam tamen, ut hiersi eiusdem incognitae valores odiuersis conditionibus ruantur serus eorum h1ter se collatio dabit aequationem, Cuius membra adhibita reductione utrinque fient aequaliani luto, ac proinde soluendo Pio mmm