Compendiaria matheseos institutio: quam in usum auditorum philosophiae

171쪽

De ProportionibuS. io risertio est aequalitas duarum rati

a num. Hinc si duas rationes aequa- Iecs lint arithmeticae, proportio quoque eritatiuisaetica si geometricae, geometrica. E. g. se - 4: et in proportio arithmetica, et s anmciatur a dissert a s sisut 4 a ;at --aem/. Au in proportio geometrica, et sc inmeiatur a IDM- .cam γε - --.COROLL. Omnis ergo proportiomam Mediabet terminos, duos nimirum antecedentes, et duos consequentes. 396. COROLL. s. Cum indicium aequalitatis istionum geometricarum sit identitas exponentium 383), prὁportionis geometricae certum signum est, si utraque ratio eundem habeate onentem ora 97. PROBLEae A. Construere formulam gener - , quae repraefiniet quamuis proportionem arithme-vcam, vel geometricam. 'REsoLVT. Quaevis ratio arithmetica una be-n repraesentatur hac formula, a a m et altera huic aequalis hac. b. QTd 179), item quaevis ratio geom trica Vna bene repraesentatur hac formula, et altera hut aequalis hac b λη i 84y orgo quamis dua rationes arithmeticae inter se aequalos bene reprae' sentantur pera a ,-ὲio , o go ae-

172쪽

tricae serra ammae 3. - atqui duae rationes aequales faciunt proportionem 194ὶ ergo quaevis proportio arithmetica bene repraesen , latur hac formula aec M-, b et quae-uis geometrica hac larmula, ammis ia. 198. Si primae rationis consequens in secumda fiat antecedens, proportio adpellatur corrima, ac terminus ille, qui ita repetitur m dias proportioralis. E. g. proportiones continuae sunt a 5 - 5 8; a 4 - 4 8. In prior 5 est medius arithmetice, in posteriore 4 es medius geometrice proportionalis interis, et 8. 199. COROLL. Cum cuiusuis proportionis continuae terminus primus possit vocati a sum ferentia, aut exponens . formula generalis proportionis continuae arithmeticae rit haec

mediorum.

DEMONsTR. Quasuis enim proportio arit, metica repraesentatur hac formula uniuersalia:

iraquo summae extremorum, et mediorum aequales sunt, nempe in prima Ἀ--b; in secunda aan ad mae san ad edigo theorema in quavis proportions arithmetica

uniuerse obimet. go I. PROBLEMA. Datis tribus teminis .m nise quartam , aut datis duobus tentam iras inter δε- datas mediam arimanetis, oporti Mem.

173쪽

hinc ααb- a Si datis duobus a rei quaeratur tertius x. stabit haec continua proportio a b - bex; Ergo ab Cit.), Et hinex ab - .a Si inter datos a tu quaeratur naedius stabit haec proportio continua b; a bergo - - iis Cit. . Et hinc -- - . ScΗoLIo t. Tironos huiusmodi problemata ad exempla numerica adplicent, quae nos bru- uitatis studio praetermittimus; sic enam fiet , ut theor Emata ipsa in huiusmodi exemplis tanquam in speculis elucentia clarius persPiciant. 2G2. THEORBΜA. In suavi proportione eometrica factum terminorum extremorum aequatur facta i

nuriorum.

DEMONsTR. Quaevis enim proportio geo metrica continetur hac formula uniuersali aram 4 - a 97 , aut si continua sit hae,a: a1n- am' I99 atqui in utraque factum EXtremorum aequatur facto mediorum, nempe in prinia auem --- 46 , in secunda 'm' sem' ergo theorema in quavis proportione geo' metrica Vniuersi obtinetiao 3. PROBLEMA Dasis tribus terminis quar. tum acie datis duobus tertium aut vir duo δειπmedium Pomcim proportionalem i. enire.

174쪽

REsoLVT. a Si dentur tres termini a , b, c, et quaeratur quartus , stabit haec propo tio a b -ς ergo axa acla Gai, et hinc bea Si datis duobus r.et b, quaeratur tertius x. stabit haec Proportio continua a b et brM

ere ax et b8 cit. et hinc x x a Si inter datos a , et , quaeratur mediiis x, stabit haec proportio a x et x b; ergo abera κ' cit.), Et hinc ob et x. Scuo LION. In hoc problemate continetii ed Iobris illa regula trium, propter usum quotidi mim area dicta, praescribens modum datis tr hus terminis inueniendi quartum geometrie: proportionalem, de qua nos caPite sequenti tractabimus. . 's . THEOR EuΑ. Si duo quaevis fana ae qualia fuerint , factorea erunt reciproce oportio ter se erit fam primi facti ad factorem sec-di , t alter factor feei di ad alterum primi. DEHONsTR. Quaevis enim duo aequaliacta repraesentari possunt per ad c be; ergo si hic ostendero factores esse reciproce proportionales, seu stare hanc prop0rtionem, a: b cod. id erit generatim verum hoc autem sic ostendo. Ilia proportio bona est, in qua utrinque

illam est exponens aga); atqui hic utrobique idem est xyonens, quod Probo nam hic e

Ponentes sunt et u atqui Maequales sint;

175쪽

nam ex hypothesi mi Da ergo utrumque diuidendo per m erit - - . et reducendo Da

ctiones ad minores terminos 76 erit

ro RAE MA Termini quatuor proporti nates mali odi permurari possunt manente semper pr

DEMONsTR. Cum enim Omnis proportio geometrica repraelantetur per hanc arram 4:bm 397 . patet omnes permutationes quae in hac manent proportione fieri possunt, in qua- uis alia locum habere atqui haec varias admittit terminorum Collocatione manente indem utrinque exponente, adeoque manente Pro

portione ii ο), sicuti perinicuum est ex adio m labella.

176쪽

ao6. Tri EoRBΜΑ. Si sis duae proportisias eiusmodi, mi consequentes prima fant in secundiam ieeedentes, erunt ex aequo ordinato reliqui termini directe proportionales. DRMONsTR. Quaevis enim duae id genus Proportiones repraesentari possunt his formulis

- --- - , inui in his ost

177쪽

ia a re mi Im, Cum euonens utrobique sit mi ergo theorenia in omnibus eiusmodi pro . Poritonibus generatim oblivet. ao 7. RE ORBΜΑ. Si fiat duae proportiones eiusmodi, primus consequerer primae fiat inseunda antecedens; et se das me ceden primae sal in I cunda consique s. erunt X aequo per urbato reli. qui termis reciproce proportiovales. DEMONs TR. Quaevis enim duae id genus proportiones repraesentari possus his orni ulis a bine:

ao8. COROLL. Si ergo duarum proportio- mim vel antecedemes. Vel consequentes aeqtla-Ies fuerint, erunt reliqui termini directe pro- Portionales nam si in casu primo prima pro- Portio invertatur, in secundo sociuada, habebitur casus theoreinatis n. O 6. Si vero e eX- tremi, vel medii fuerint a quales, erunt reliqui reciproce proportionales nam similli terminorum inversione facta habebitur casus theor

malis . o 7. 2C9. NEOR Irae A. Si proportionis cuiauis an secedentes , ai consequeutra per easdem quantitates

multiplisentur , et diuiduntur, persam eorundem proporti . DEMONsTR. Si enim in formula uniuersaliam : η antecedentes multiplicentur peri , consequerites per o, erit j es amo - D:bviri cum idem sit trodigia expoueus Si autem

178쪽

lac multiplicationis diuisio adhibeatur, erit

a Io. COROLL. Cum ratio cadem permaneat, si tam antecedens, quam Consequens Per Ean' dem quantitatem multiplicetur, vo clividatur ijoo , patet non mutari proportionem, si vel alterutrius . Vel utriusque rationis termini per idem multiplicentur aut dividantur. Hinc si simpla proportionaIta fuerint, erunt Etiam Eorum dupla tripla te vel subdupla, subtripla et c. proportionalia. THEORBAEA duarum etes plurium proportionum antecedenter inter Iri, et consequentes inti se musti Lentvr , aut perse diuidavtur; erant D-cta , vel quot proponionales. DEMONAT R. Nam Proportiones quotcunque

bique exponens . I a COROLL. Radicum proportionalium quaevis eiusdem gradus potentia Proportionales sunt Nam quaevis quatuor radices pro

179쪽

portionales bene repraesent tu per has a b ergo si ostendero harum qua suis potesntias eiusdem gradus esse proportionales, id erit generatim verum hoc autem sic ostendo imprimis de quadratis. Scribatur prior proportio his, erunt facta antecedentium actis Conseqtientium proportionalii tria; atqui haec faeta erunt quadrata ' ergo quadrata erim proportionalia. Similiter ottenditur de cubis si ea proportio te scribatur de quartis potentiis. si quater stribatur etC. 2I3. COROLL. . Et vicissim potentiarum proportionalium quaevis eiusdem gradus radices proportionales sunt. Nam quaevis quatuor potentiae proportionales bene repraesentantur pera e Din. d , dirae De laoa ,

II 4. THEOREMA. Si fiaeriat quoι qtae a sistis aequato, a quotcunque ν ii proportio Ἀ- ω erit aera vel differes la ratum incedereti ni te differ inim omnitimis sequentis , ets cedens ad mim consequentem. 1ONsTR. Plures enim id genus rationes

repraesentari possunt his formulis ge-

neralibus bu diu est autem in his summa em et c. omniurn antecede tum ad summam omnium consequentium um, sciit ar, Vel be is, vel et cma cum idem ubique sit exPoneus m ergo theoream uniuerse in quot'

180쪽

ar uis uls rationibus aequalibus obtinet. Eadem ostdemonstratio pro differentia. ars THEOREAE A. Si fuerim termini quote-que eoasime proportionales, erit primus eorum ad quet libet me primus et serandus inuati ad eam potentiam, quam designat isorum illam visantia. DBaro avst R. Si enim fuerint termini quotcunque continue proportionales, poterit Primus vocari , exponens m erit ergo consequens mam, huius consequens metam', huius consequensmiam etc. I 84 ergo termini quotcunque continue proportionales bene repraesentantur

ergo uniuerse obtinet theorema de quotcunque terminis continue proportionalibus. a I 6 COROLL. Si ergo terminus primus vocetur a secundus , et inter primum acvltimum is intercedant termini continue proportionales numerom, erit distantia primi ab vltimo -m . et hinc primus erit ad illum,

De Regula Urea. a 3 7. exuta aurea, seu methodus inuenien-at' di quantitatem incognitam datis

proportionalem, alia est plex, si nempe datis tribus termitas quaeratur quartus Proportiona-